2.2.1 圆的标准方程 课件2
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课件56张PPT。2.2.1 圆的标准方程1.圆的标准方程中参数a，b，r的作用
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a，b，r，其中(a，b)为圆心，r为半径.结合圆的定义可知，圆心(a，b)在确定圆时起定位作用，即影响圆的位置；而半径r在确定圆时起定形作用，即影响圆的大小.用直接法求圆的方程 2.几种特殊位置的圆的标准方程：
求圆的标准方程一般是用待定系数法，需三个独立的条件，转化成解方程(组)问题.【例1】求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，-3)的圆的标准方程.
【审题指导】已知圆心的位置，半径r及过点A(2，-3)，求解本题的关键是依据圆心的位置设出圆的标准方程，然后代入点A(2，-3)求参数.【规范解答】∵圆心在x轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25，
∵过点A(2，-3)，
∴(2-a)2+(-3)2=25，
解得:a=-2，或a=6，
∴所求圆的标准方程为
(x+2)2+y2＝25或(x-6)2+y2=25.【互动探究】把条件“圆心在x轴上”换成“圆心在y轴上”求相应问题.
【解析】∵圆心在y轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为x2+(y-a)2=25，
∵过点A(2，-3)，
∴4+(-3-a)2=25，
解得:
∴所求圆的标准方程为 求圆的标准方程时常用的几何性质
(1)弦的垂直平分线必过圆心；
(2)圆的任意两条弦的垂直平分线的交点必为圆心；
(3)圆心与切点的连线长为半径；
(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足r2=d2+h2.利用圆的几何性质求圆的标准方程 求圆的方程时，联想圆的几何性质和结合图形解题可以达到事半功倍的效果！【例2】过点A(4，1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2，1).求圆C的标准方程.
【审题指导】由题意得出圆心既在线段AB的中垂线上，又在过点B(2，1)且与直线x-y-1=0垂直的直线上，联立方程可求出圆心和半径.可见灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2，1)且与直线x-y-1=0垂直的直线上，又在线段AB的中垂线上.
∴过点B(2，1)且与直线x-y-1=0垂直的直线为x+y-3=0.
线段AB的中垂线为x=3.
联立方程 解得
即圆心C(3，0).
又半径
所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=2.【变式训练】已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(-3，3)，且圆心C在直线l：x+y+5=0上.
(1)求线段AB的垂直平分线方程；
(2)求圆C的标准方程.
【解题提示】利用中点坐标公式求线段AB的中点，进而求出线段AB的垂直平分线的方程；联立直线l及线段AB的垂直平分线的方程求圆心，进而求出圆的标准方程.【解析】(1)因为A(0，2)，B(-3，3)，所以线段AB的中点
坐标为 直线AB的斜率
故线段AB的垂直平分线方程是
即3x-y+7=0.(2)由 得
所以圆心C的坐标为(-3，-2).
∴圆的半径
所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 与对称有关的圆的方程的分类求解策略利用对称求圆的方程 不论圆关于点对称还是关于直线对称，其半径不变，变的只是圆心的位置.【例3】已知圆C:(x+2)2+(y-6)2=1和直线l:3x-4y+5=0，求圆C关于直线l对称的圆的标准方程.
【审题指导】直线及圆的方程已知，解答本题的关键是确定圆心坐标.由题意可知两圆圆心关于直线l对称，故可利用对称的思想求出圆心坐标，进而写出圆的标准方程.【规范解答】∵圆C:(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为(-2，6)，半径r=1，设所求圆的圆心C′(a，b)，
由题意可知C与C′关于直线l对称，
则有
解得a=4，b=-2.
又所求圆的半径r=1，
故所求圆的标准方程为(x-4)2+(y+2)2=1.【互动探究】条件不变，求圆C关于原点对称的圆的方程.
【解题提示】圆心关于原点的对称点即为所求圆的圆心.
【解析】∵圆C:(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为(-2，6)，半径r=1，设所求圆的圆心C′(a，b)，
由题意可知C与C′关于原点对称，则有C′(2，-6)，
又所求圆的半径r=1，
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+6)2=1. 解决与圆的方程相关的实际应用题的步骤：圆在生产实际中的应用【例】如图所示是某圆拱桥的一孔
圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，
拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用
一个支柱支撑，求支柱CD的高度(精确到0.01 m).
【审题指导】由本题条件可知，此问题应首先建系，转化成求圆的方程，再利用它求出线段CD的高度.【规范解答】以AB所在的直线为x轴，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则圆心在y轴上.
设圆心的坐标是(0，b)，
圆的半径是r，
那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面用待定系数法求b和r的值.因为P、B都在圆上，
所以它们的坐标(0，4)、(10，0)都是这个圆的方程的解.
于是得到方程组
解得b=-10.5，r2=14.52.
所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点C的横坐标x=-2代入这个圆的方程，
得(-2)2+(y+10.5)2=14.52，
(因为C的纵坐标y>0，所以根取正值).
于是
即支柱CD的高度约为3.86 m.【变式备选】一座圆形拱桥，当水面
在如图所示位置时，拱顶离水面2米，
水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
【解题提示】先建立适当的坐标系，求出圆的方程，最后借助圆的方程解决该问题.【解析】以圆形拱顶点为原点，以过圆形拱顶点的竖直直
线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系.
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知可得A(6，-2)，
设圆的半径为r，则C(0，-r)，
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标代入上述方程可得r=10，
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′、B′，
可设A′(x0，-3)(x0>0)，代入x2+(y+10)2=100，
解得 米，
∴水面宽度 米.【典例】(12分)求同时满足下列条件的圆C的标准方程：
(1)截y轴所得弦MN长为4；
(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1；
(3)圆心在直线y=x上.
【审题指导】确定圆的方程需要三个独立的条件，而题设恰好给出了三个条件，因此求解本题的关键是利用圆的几何性质建立关于圆心(a，b)及半径r的方程.【规范解答】设圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2， 则圆心为(a，b)，半径是r.
∵圆截y轴所得弦长为4，∴r2=4+a2. ……………………3分
∵被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1，
……………………………………………6分
∵圆心(a，b)在直线y=x上，∴a=b. ……………………8分∴由
解得 或
…………………………………………………………10分
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8
或(x+2)2+(y+2)2=8. …………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知圆C经过点A(1，3)、B(2，2)，并且直线l：3x-2y=0平分圆C，求圆C的方程.【解析】设圆C的圆心坐标为(a，b)，由于直线l：3x-2y=0平分圆C，故圆C的圆心C(a，b)在直线l上，
即3a-2b=0. ①
又|CA|=|CB|，
②
把①代入②得a=2，b=3.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.1.以原点为圆心，以3为半径的圆的标准方程为( )
(A)x2+y2=3 (B)x2+y2=9
(C)(x-3)2+(y-3)2=9 (D)(x-3)2+y2=9
【解析】选B.由圆的标准形式可知(x-0)2+(y-0)2=9，即x2+y2=9.选B.2.以(-1，2)为圆心，且过原点的圆的标准方程为( )
(A)(x-1)2+(y+2)2=5
(B)(x-1)2+(y+2)2=
(C)(x+1)2+(y-2)2=
(D)(x+1)2+(y-2)2=5
【解析】选D.∵原点到圆心的距离即为圆的半径，
∴r2=(-1)2+22=5.∴以(-1，2)为圆心且过原点的圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.选D.3.以点A(-5，4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为( )
(A)(x+5)2+(y-4)2=25
(B)(x-5)2+(y+4)2=16
(C)(x+5)2+(y-4)2=16
(D)(x-5)2+(y+4)2=25
【解析】选C.∵所求圆与x轴相切，∴圆的半径为4，故所求圆的方程为(x+5)2+(y-4)2=16.选C.4.以A(-1，2)，B(5，-6)为直径两端点的圆的标准方程为___________.
【解析】由题意可得圆心为(2，-2)，半径
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
答案：(x-2)2+(y+2)2=255.求以圆(x+1)2+(y-4)2=5的圆心为圆心，以原点到直线x+y-1=0的距离为半径的圆的标准方程.
【解析】∵原点到直线x+y-1=0的距离
∴所求圆的半径为
又∵圆(x+1)2+(y-4)2=5的圆心坐标为(-1，4).
∴所求圆的方程为一、选择题(每题4分，共16分)
1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
(A)4x+2y-5=0
(B)4x-2y-5=0
(C)x+2y-5=0
(D)x-2y-5=0【解析】选B.∵A(1，2)，B(3，1)的中点为
又
∴线段AB的垂直平分线的方程为
即4x-2y-5=0.2.圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0，0)对称的圆的方程为( )
(A)(x-2)2+y2=5 (B)x2+(y-2)2=5
(C)(x+2)2+(y+2)2=5 (D)x2+(y+2)2=5
【解析】选A.圆(x+2)2+y2=5的圆心为(-2，0)，其关于原点P(0，0)的对称点为(2，0)，故所求圆的圆心坐标为(2，0)，又两圆的半径相等，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.3.过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x-1)2+(y-1)2=4
(C)(x+3)2+(y-1)2=4 (D)(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】选B.线段AB的中垂线方程为x-y=0，联立
解得 即圆心为(1，1).
又过点A(1，-1)，所以所求圆的半径为r=2，
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.4.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为( )
(A)x-y+3=0 (B)x-y-3=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+3=0
【解析】选A.圆C的圆心为(-1，2)，又所求直线的斜率k=1，
故由点斜式得y-2=x+1，即x-y+3=0.二、填空题(每题4分，共8分)
5.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________.
【解析】设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2，
答案：(x-2)2+y2=106.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3-b，3-a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________，圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为__________.【解析】设PQ的垂直平分线的斜率为k，
则
而且PQ的中点坐标是
∴l的方程为：
∴y=-x+3，而圆心(2，3)关于直线y=-x+3对称的点的坐标为(0，1)，
∴对称圆的方程为：x2+(y-1)2=1.
答案：-1 x2+(y-1)2=1三、解答题(每题8分，共16分)
7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围.【解析】(1)∵点M(6，9)在圆上，
∴(6-5)2+(9-6)2＝a2，即a2=10，
又a＞0，
∴｜PN｜＞｜QN｜，故点P在圆外，
点Q在圆内， 【方法技巧】点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：
把点M(x0，y0)代入圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2利用以下关系求解：
(1)(x0-a)2+(y0-b)2＞r2，点在圆外；
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上；
(3)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2，点在圆内.8.已知圆过点(-5，3)，且圆心是直线x+2y-1=0与直线3x-4y+3=0的交点，求圆的标准方程.
【解析】由 得
即所求圆的圆心坐标为
又由两点间的距离得
所求圆的半径是
所以所求圆的标准方程为【挑战能力】
(10分)已知x、y满足(x-1)2+y2=1，求
的最小值.
【解题提示】把S中被开方数配方，等价转化成圆上的动点到定点的距离.【解析】
又点P(x，y)在圆(x-1)2+y2=1上运动，
即S表示圆上的动点到定点(-1，1)
的距离.如图所示：
显然当定点(-1，1)和圆心(1，0)共
线时取到最值，且最小值为
的最小值为
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a，b，r，其中(a，b)为圆心，r为半径.结合圆的定义可知，圆心(a，b)在确定圆时起定位作用，即影响圆的位置；而半径r在确定圆时起定形作用，即影响圆的大小.用直接法求圆的方程 2.几种特殊位置的圆的标准方程：
求圆的标准方程一般是用待定系数法，需三个独立的条件，转化成解方程(组)问题.【例1】求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，-3)的圆的标准方程.
【审题指导】已知圆心的位置，半径r及过点A(2，-3)，求解本题的关键是依据圆心的位置设出圆的标准方程，然后代入点A(2，-3)求参数.【规范解答】∵圆心在x轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25，
∵过点A(2，-3)，
∴(2-a)2+(-3)2=25，
解得:a=-2，或a=6，
∴所求圆的标准方程为
(x+2)2+y2＝25或(x-6)2+y2=25.【互动探究】把条件“圆心在x轴上”换成“圆心在y轴上”求相应问题.
【解析】∵圆心在y轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为x2+(y-a)2=25，
∵过点A(2，-3)，
∴4+(-3-a)2=25，
解得:
∴所求圆的标准方程为 求圆的标准方程时常用的几何性质
(1)弦的垂直平分线必过圆心；
(2)圆的任意两条弦的垂直平分线的交点必为圆心；
(3)圆心与切点的连线长为半径；
(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足r2=d2+h2.利用圆的几何性质求圆的标准方程 求圆的方程时，联想圆的几何性质和结合图形解题可以达到事半功倍的效果！【例2】过点A(4，1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2，1).求圆C的标准方程.
【审题指导】由题意得出圆心既在线段AB的中垂线上，又在过点B(2，1)且与直线x-y-1=0垂直的直线上，联立方程可求出圆心和半径.可见灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2，1)且与直线x-y-1=0垂直的直线上，又在线段AB的中垂线上.
∴过点B(2，1)且与直线x-y-1=0垂直的直线为x+y-3=0.
线段AB的中垂线为x=3.
联立方程 解得
即圆心C(3，0).
又半径
所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=2.【变式训练】已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(-3，3)，且圆心C在直线l：x+y+5=0上.
(1)求线段AB的垂直平分线方程；
(2)求圆C的标准方程.
【解题提示】利用中点坐标公式求线段AB的中点，进而求出线段AB的垂直平分线的方程；联立直线l及线段AB的垂直平分线的方程求圆心，进而求出圆的标准方程.【解析】(1)因为A(0，2)，B(-3，3)，所以线段AB的中点
坐标为 直线AB的斜率
故线段AB的垂直平分线方程是
即3x-y+7=0.(2)由 得
所以圆心C的坐标为(-3，-2).
∴圆的半径
所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 与对称有关的圆的方程的分类求解策略利用对称求圆的方程 不论圆关于点对称还是关于直线对称，其半径不变，变的只是圆心的位置.【例3】已知圆C:(x+2)2+(y-6)2=1和直线l:3x-4y+5=0，求圆C关于直线l对称的圆的标准方程.
【审题指导】直线及圆的方程已知，解答本题的关键是确定圆心坐标.由题意可知两圆圆心关于直线l对称，故可利用对称的思想求出圆心坐标，进而写出圆的标准方程.【规范解答】∵圆C:(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为(-2，6)，半径r=1，设所求圆的圆心C′(a，b)，
由题意可知C与C′关于直线l对称，
则有
解得a=4，b=-2.
又所求圆的半径r=1，
故所求圆的标准方程为(x-4)2+(y+2)2=1.【互动探究】条件不变，求圆C关于原点对称的圆的方程.
【解题提示】圆心关于原点的对称点即为所求圆的圆心.
【解析】∵圆C:(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为(-2，6)，半径r=1，设所求圆的圆心C′(a，b)，
由题意可知C与C′关于原点对称，则有C′(2，-6)，
又所求圆的半径r=1，
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+6)2=1. 解决与圆的方程相关的实际应用题的步骤：圆在生产实际中的应用【例】如图所示是某圆拱桥的一孔
圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，
拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用
一个支柱支撑，求支柱CD的高度(精确到0.01 m).
【审题指导】由本题条件可知，此问题应首先建系，转化成求圆的方程，再利用它求出线段CD的高度.【规范解答】以AB所在的直线为x轴，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则圆心在y轴上.
设圆心的坐标是(0，b)，
圆的半径是r，
那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面用待定系数法求b和r的值.因为P、B都在圆上，
所以它们的坐标(0，4)、(10，0)都是这个圆的方程的解.
于是得到方程组
解得b=-10.5，r2=14.52.
所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点C的横坐标x=-2代入这个圆的方程，
得(-2)2+(y+10.5)2=14.52，
(因为C的纵坐标y>0，所以根取正值).
于是
即支柱CD的高度约为3.86 m.【变式备选】一座圆形拱桥，当水面
在如图所示位置时，拱顶离水面2米，
水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
【解题提示】先建立适当的坐标系，求出圆的方程，最后借助圆的方程解决该问题.【解析】以圆形拱顶点为原点，以过圆形拱顶点的竖直直
线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系.
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知可得A(6，-2)，
设圆的半径为r，则C(0，-r)，
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标代入上述方程可得r=10，
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′、B′，
可设A′(x0，-3)(x0>0)，代入x2+(y+10)2=100，
解得 米，
∴水面宽度 米.【典例】(12分)求同时满足下列条件的圆C的标准方程：
(1)截y轴所得弦MN长为4；
(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1；
(3)圆心在直线y=x上.
【审题指导】确定圆的方程需要三个独立的条件，而题设恰好给出了三个条件，因此求解本题的关键是利用圆的几何性质建立关于圆心(a，b)及半径r的方程.【规范解答】设圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2， 则圆心为(a，b)，半径是r.
∵圆截y轴所得弦长为4，∴r2=4+a2. ……………………3分
∵被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1，
……………………………………………6分
∵圆心(a，b)在直线y=x上，∴a=b. ……………………8分∴由
解得 或
…………………………………………………………10分
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8
或(x+2)2+(y+2)2=8. …………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知圆C经过点A(1，3)、B(2，2)，并且直线l：3x-2y=0平分圆C，求圆C的方程.【解析】设圆C的圆心坐标为(a，b)，由于直线l：3x-2y=0平分圆C，故圆C的圆心C(a，b)在直线l上，
即3a-2b=0. ①
又|CA|=|CB|，
②
把①代入②得a=2，b=3.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.1.以原点为圆心，以3为半径的圆的标准方程为( )
(A)x2+y2=3 (B)x2+y2=9
(C)(x-3)2+(y-3)2=9 (D)(x-3)2+y2=9
【解析】选B.由圆的标准形式可知(x-0)2+(y-0)2=9，即x2+y2=9.选B.2.以(-1，2)为圆心，且过原点的圆的标准方程为( )
(A)(x-1)2+(y+2)2=5
(B)(x-1)2+(y+2)2=
(C)(x+1)2+(y-2)2=
(D)(x+1)2+(y-2)2=5
【解析】选D.∵原点到圆心的距离即为圆的半径，
∴r2=(-1)2+22=5.∴以(-1，2)为圆心且过原点的圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.选D.3.以点A(-5，4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为( )
(A)(x+5)2+(y-4)2=25
(B)(x-5)2+(y+4)2=16
(C)(x+5)2+(y-4)2=16
(D)(x-5)2+(y+4)2=25
【解析】选C.∵所求圆与x轴相切，∴圆的半径为4，故所求圆的方程为(x+5)2+(y-4)2=16.选C.4.以A(-1，2)，B(5，-6)为直径两端点的圆的标准方程为___________.
【解析】由题意可得圆心为(2，-2)，半径
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
答案：(x-2)2+(y+2)2=255.求以圆(x+1)2+(y-4)2=5的圆心为圆心，以原点到直线x+y-1=0的距离为半径的圆的标准方程.
【解析】∵原点到直线x+y-1=0的距离
∴所求圆的半径为
又∵圆(x+1)2+(y-4)2=5的圆心坐标为(-1，4).
∴所求圆的方程为一、选择题(每题4分，共16分)
1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
(A)4x+2y-5=0
(B)4x-2y-5=0
(C)x+2y-5=0
(D)x-2y-5=0【解析】选B.∵A(1，2)，B(3，1)的中点为
又
∴线段AB的垂直平分线的方程为
即4x-2y-5=0.2.圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0，0)对称的圆的方程为( )
(A)(x-2)2+y2=5 (B)x2+(y-2)2=5
(C)(x+2)2+(y+2)2=5 (D)x2+(y+2)2=5
【解析】选A.圆(x+2)2+y2=5的圆心为(-2，0)，其关于原点P(0，0)的对称点为(2，0)，故所求圆的圆心坐标为(2，0)，又两圆的半径相等，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.3.过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x-1)2+(y-1)2=4
(C)(x+3)2+(y-1)2=4 (D)(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】选B.线段AB的中垂线方程为x-y=0，联立
解得 即圆心为(1，1).
又过点A(1，-1)，所以所求圆的半径为r=2，
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.4.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为( )
(A)x-y+3=0 (B)x-y-3=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+3=0
【解析】选A.圆C的圆心为(-1，2)，又所求直线的斜率k=1，
故由点斜式得y-2=x+1，即x-y+3=0.二、填空题(每题4分，共8分)
5.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________.
【解析】设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2，
答案：(x-2)2+y2=106.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3-b，3-a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________，圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为__________.【解析】设PQ的垂直平分线的斜率为k，
则
而且PQ的中点坐标是
∴l的方程为：
∴y=-x+3，而圆心(2，3)关于直线y=-x+3对称的点的坐标为(0，1)，
∴对称圆的方程为：x2+(y-1)2=1.
答案：-1 x2+(y-1)2=1三、解答题(每题8分，共16分)
7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围.【解析】(1)∵点M(6，9)在圆上，
∴(6-5)2+(9-6)2＝a2，即a2=10，
又a＞0，
∴｜PN｜＞｜QN｜，故点P在圆外，
点Q在圆内， 【方法技巧】点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：
把点M(x0，y0)代入圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2利用以下关系求解：
(1)(x0-a)2+(y0-b)2＞r2，点在圆外；
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上；
(3)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2，点在圆内.8.已知圆过点(-5，3)，且圆心是直线x+2y-1=0与直线3x-4y+3=0的交点，求圆的标准方程.
【解析】由 得
即所求圆的圆心坐标为
又由两点间的距离得
所求圆的半径是
所以所求圆的标准方程为【挑战能力】
(10分)已知x、y满足(x-1)2+y2=1，求
的最小值.
【解题提示】把S中被开方数配方，等价转化成圆上的动点到定点的距离.【解析】
又点P(x，y)在圆(x-1)2+y2=1上运动，
即S表示圆上的动点到定点(-1，1)
的距离.如图所示：
显然当定点(-1，1)和圆心(1，0)共
线时取到最值，且最小值为
的最小值为