2.3.1-2.3.2 空间直角坐标系的建立和空间直角坐标系中点的坐标 课件1
文档属性
| 名称 | 2.3.1-2.3.2 空间直角坐标系的建立和空间直角坐标系中点的坐标 课件1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 763.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-22 15:10:02 | ||
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文档简介
课件56张PPT。2.3.1 空间直角坐标系的建立
2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.已知点M的位置，求其坐标的方法：
过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标.点的坐标的确定 2.特殊位置的点的坐标形成
在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示.其中x，y，z∈R.【例1】在长方体OABC-D′A′B′C′
中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=2，
以O为原点以OA、OC、OD′所在的直
线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐
标系如图所示，写出D′、C、A′、B′四点的坐标.
【审题指导】空间直角坐标系已经给出，且长方体各边的长度均知道，解答本题的关键是找出各个点在xOy，yOz，xOz坐标平面内的相应分量，从而写出点的坐标.【规范解答】因为D′在z轴上，且|OD′|=2，则它的z坐标为2，它的x，y坐标都是0，所以D′点的坐标是(0，0，2)，点C在y轴上，且|OC|=4，所以点C的坐标为(0，4，0)，点A′的坐标为(3，0，2)，点B′的坐标为(3，4，2).【互动探究】在题设条件不变的情况下，求棱BB′中点的坐标.
【解题提示】求出点B的坐标，然后求棱BB′中点的坐标.
【解析】∵点B在xOy平面内，且|OA|=3，|OC|=4，∴B(3，4，0).
又∵B′的坐标为(3，4，2)，
∴棱BB′中点的坐标为(3，4，1).【例】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
【审题指导】四棱锥P-ABCD是正四棱锥，解答时可先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.【规范解答】∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于AB、BC所在的直线分别为
y轴、x轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2，-2，0)、B(2，2，0)、C(-2，2，0)、
D(-2，-2，0)、【变式备选】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．【解析】由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标
系.
因为E，F，G，H分别为侧棱中点，
由立体几何知识可知，平面EFGH与
底面ABCD平行，从而这4个点的z坐标都为P的z坐标的一半，也就是b，由H为DP中点，得H(0，0，b)；E在底面上的投影为AD中点，所以E的x坐标和y坐标分别为a和0，所以E(a，0，b)，同理G(0，a，b)；F在坐标平面xDz和yDz上的投影分别为点E和G，故F与E的x坐标相同都是a，与G的y坐标也相同为a，又F的z坐标为b，故F(a，a，b)．已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：
1.先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y0＜0)或正向(y0＞0)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向
(z0＞0)或负向(z0＜0)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).已知点的坐标确定点的位置2.以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.
3.先在x轴上找到点M1(x0，0，0)，过M1作x轴的垂直平面α；再在y轴上找到点M2(0，y0，0)，过M2作y轴的垂直平面β；在z轴上找到点M3(0，0，z0)，过M3作z轴的垂直平面γ，三个平面α、β、γ交于一点，此交点即为所求点M. 在某一坐标平面内确定点的位置时，可以参考平面直角坐标系中的有关方法.【例2】在空间直角坐标系中，作出点M(4，-2，5).
【审题指导】解答本题可有三种思路：
①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；
②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4，2，5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；
③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M.【规范解答】方法一：将原点
沿x轴正方向平移4个单位得点
M1(4，0，0)，再把M1沿与y轴
平行的直线且与y轴相反方向
平移2个单位，得到点M2(4，-2，0)，最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点M.方法二：以O为顶点构造长方体，使
这个长方体在点O处的三条棱分别在
x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴
上，且棱长分别为4，2，5.则长方
体中顶点O相对的顶点即为所求的点M.方法三：在x轴上找到x坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面α；在y轴上找到y坐标为-2的点，过此点作与y轴垂直的平面β；在z轴上找到z坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面γ，则α、β、γ交于一点，此交点即为所求的点M.【变式训练】点P(3，2，0)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)z轴上 (B)xOy面上
(C)yOz面上 (D)xOz面上
【解析】选B.∵点P(3，2，0)的z坐标为0，
∴点P(3，2，0)在xOy面上，选B. 空间直角坐标系中，有关点的坐标对称问题
P(x，y，z)关于坐标平面xOy对称的点P1(x，y，-z)；
P(x，y，z)关于坐标平面yOz对称的点P2(-x，y，z)；
P(x，y，z)关于坐标平面xOz对称的点P3(x，-y，z)；
P(x，y，z)关于x轴对称的点P4(x，-y，-z)；
P(x，y，z)关于y轴对称的点P5(-x，y，-z)；
P(x，y，z)关于z轴对称的点P6(-x，-y，z).点的对称问题【例3】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱长为a.
(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；
(2)求B1关于z轴对称的点的坐标；
(3)求B1关于原点对称的点的坐标.
【审题指导】坐标系已经给出，解答本题只需先求出点B1的坐标，在此基础上借助点关于点、线、平面的对称原则求解便可.【规范解答】∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
∴易求得点B1的坐标为(a，a，a).
(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a，a，-a)；
(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(-a，-a，a)；
(3)B1关于原点对称的点的坐标为(-a，-a，-a).【变式训练】求点A(1，2，-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
【解题提示】发挥空间想象能力，结合图形可写A点对称点的坐标，但要注意各坐标的符号.【解析】如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM=CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1，2，1).
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，
使AN=NB，
则A与B关于x轴对称，且B(1，-2，1).
∴A(1，2，-1)关于坐标平面xOy对称的点是C(1，2，1)，
A(1，2，-1)关于x轴对称的点是B(1，-2，1).【典例】(12分)四面体P-ABC是一个
正方体截下的一角，且满足|PA|=a，
|PB|=b，|PC|=c，建立如图所示的空
间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐
标.
【审题指导】几何体的形状已知，且坐标系已给出.求解本题的关键是依据题设条件正确写出△ABC的顶点坐标，进而借助重心坐标公式求出点G的坐标.【规范解答】 由图可知P点为坐标原点，点A，B，C分别在x，y，z轴上，且|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，
∴A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). ……………………5分
设△ABC的重心G的坐标为(x，y，z)，
则 …………………………………10分
即重心G的坐标为 ………………………… 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，
所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建
立适当坐标系写出各顶点的坐标.
【解题提示】题中给出了三棱柱的
棱长，要求各顶点的坐标，可以以AC的中点为原点找出两两垂直的三条线分别为x、y、z轴建系，然后确定各点坐标.【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1，
可得BO⊥AC，分别以OB、OC、OO1为x、
y、z轴建立空间直角坐标系.
因为三棱柱各棱长均为2，所以OA=OC=1，
可得1.点Q(0，0，3)的位置是( )
(A)在x轴上 (B)在y轴上
(C)在z轴上 (D)在面xOy上
【解析】选C.z轴上的坐标满足x=y=0.2.点(2，-1，3)与点(2，-1，-3)( )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于xOy平面对称 (D)关于z轴对称
【解析】选C.点(2，-1，3)与点(2，-1，-3)的x坐标，y坐标相同，z坐标互为相反数，故这两点关于xOy平面对称.3.点P(1，2，-1)在xOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x+y+z=( )
(A)3 (B)2
(C)1 (D)0
【解析】选D.点P(1，2，-1)在xOz平面的垂足为B(1，0， -1)，∴x+y+z=1+0-1=0.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点A的坐标为(0，0，0)，C1的坐标为(1，1，1)，则线段AC1的中点坐标为__________.
【解析】结合中点坐标公式易得线段AC1的中点坐标为
答案： 5.在空间直角坐标系中，作出点M(6，-2，4).
【解析】点M的位置可按如下步骤作出：
先在x轴上作出横坐标是6的点M1，再将
M1沿与y轴平行的方向向左移动2个单位
得到点M2，然后将M2沿与z轴平行的方
向向上移动4个单位即得点M，M点的位置如图所示.一、选择题(每题4分，共16分)
1.在空间直角坐标系O-xyz中，点P(-2，0，3)位于( )
(A)xOz平面内 (B)yOz平面内
(C)y轴上 (D)z轴上
【解析】选A.∵点P(-2，0，3)的y坐标为零，
∴点P(-2，0，3)在xOz平面内.2.已知点A(-3，1，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为
( )
(A)(1，-3，-4) (B)(-4，1，-3)
(C)(3，-1，-4) (D)(4，-1，3)
【解析】选C.点A关于原点的对称点的坐标为(3，-1，-4).3.在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
(A)(0，2，0) (B)(1，2，0)
(C)(1，0，3) (D)(0，2，3)
【解题提示】垂足Q的坐标，即为点P(1，2，3)在平面xOy内的射影.
【解析】选B.因为过P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q在xOy平面内，故满足z=0，x，y不变.故选B.4.以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )
(A)( ，1，1) (B)(1， ，1)
(C)(1，1， ) (D)( ， ，1)
【解析】选C.由题可知点C(1，1，0)，C1(1，1，1)，
∴棱CC1中点坐标为(1，1， ).二、填空题(每题4分，共8分)
5.写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标_________，________，_________.
【解析】点P(2，3，4)在x，y，z轴上的射影的坐标分别为(2，0，0)，(0，3，0)，(0，0，4).
答案：(2，0，0) (0，3，0) (0，0，4)6.如图所示的
空间直角坐标系中，正方体棱长为2，
|PQ|=3|PR|，则点R的空间直角坐标
为__________.
【解题提示】充分借助平面几何的性质及条件|PQ|=
3|PR|求点R的坐标.【解析】过点R作RT⊥QT，如图所示，
由|PQ|=3|PR|及相似三角形的知识
可知
同理可求
∴点R的空间直角坐标为
答案： 【方法技巧】巧用平面几何的性质求空间点的坐标
立体几何是平面几何的拓展延伸，求解立体几何中的问题常常利用“降维”的思想，把立体几何问题平面化.如本题中巧用平行线的性质建立点T与点R坐标间的联系从而顺利写出所要求解的点的坐标.三、解答题(每题8分，共16分)
7.已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C(3，7，-5)，求点D的坐标.
【解题提示】利用平行四边形的对称性求点D的坐标.【解析】∵ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，
C(3，7，-5)，
∴线段AC的中点坐标为
设点D的坐标为(x，y，z)，则对角线BD的中点坐标也为
解得
∴点D的坐标为(5，13，-3).8.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5．以这个长方体
的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′
分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建
立空间直角坐标系，求长方体各个
顶点的坐标．【解析】因为AB=12，AD=8，AA′=5，点A在坐标原点，即A(0，0，0)，且B，D，A′分别在x轴、y轴、z轴上，所以它们的坐标分别为B(12，0，0)，D(0，8，0)，A′(0，0，5)．
点C，B′，D′分别在xOy平面、xOz平面和yOz平面内，坐标分别为C(12，8，0)，B′(12，0，5)，D′(0，8，5)．
点C′在三条坐标轴上的射影分别是点B，D，A′，故点C′的坐标为(12，8，5)．【挑战能力】
(10分)(1)在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点A，B，C，使得这3个点的坐标都满足z=3，并画出图形；
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．【解析】(1)取三个点A(0，0，3)，C(4，0，3)，B(0，4，3)，其图形如图所示：
(2)A，B，C三点不共线，可以确定一
个平面，又因为这三点在xOy平面的同
侧，且到xOy平面的距离相等，所以平
面ABC平行于xOy平面，而且平面ABC内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足z=3．
2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.已知点M的位置，求其坐标的方法：
过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标.点的坐标的确定 2.特殊位置的点的坐标形成
在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示.其中x，y，z∈R.【例1】在长方体OABC-D′A′B′C′
中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=2，
以O为原点以OA、OC、OD′所在的直
线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐
标系如图所示，写出D′、C、A′、B′四点的坐标.
【审题指导】空间直角坐标系已经给出，且长方体各边的长度均知道，解答本题的关键是找出各个点在xOy，yOz，xOz坐标平面内的相应分量，从而写出点的坐标.【规范解答】因为D′在z轴上，且|OD′|=2，则它的z坐标为2，它的x，y坐标都是0，所以D′点的坐标是(0，0，2)，点C在y轴上，且|OC|=4，所以点C的坐标为(0，4，0)，点A′的坐标为(3，0，2)，点B′的坐标为(3，4，2).【互动探究】在题设条件不变的情况下，求棱BB′中点的坐标.
【解题提示】求出点B的坐标，然后求棱BB′中点的坐标.
【解析】∵点B在xOy平面内，且|OA|=3，|OC|=4，∴B(3，4，0).
又∵B′的坐标为(3，4，2)，
∴棱BB′中点的坐标为(3，4，1).【例】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
【审题指导】四棱锥P-ABCD是正四棱锥，解答时可先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.【规范解答】∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于AB、BC所在的直线分别为
y轴、x轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2，-2，0)、B(2，2，0)、C(-2，2，0)、
D(-2，-2，0)、【变式备选】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．【解析】由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标
系.
因为E，F，G，H分别为侧棱中点，
由立体几何知识可知，平面EFGH与
底面ABCD平行，从而这4个点的z坐标都为P的z坐标的一半，也就是b，由H为DP中点，得H(0，0，b)；E在底面上的投影为AD中点，所以E的x坐标和y坐标分别为a和0，所以E(a，0，b)，同理G(0，a，b)；F在坐标平面xDz和yDz上的投影分别为点E和G，故F与E的x坐标相同都是a，与G的y坐标也相同为a，又F的z坐标为b，故F(a，a，b)．已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：
1.先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y0＜0)或正向(y0＞0)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向
(z0＞0)或负向(z0＜0)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).已知点的坐标确定点的位置2.以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.
3.先在x轴上找到点M1(x0，0，0)，过M1作x轴的垂直平面α；再在y轴上找到点M2(0，y0，0)，过M2作y轴的垂直平面β；在z轴上找到点M3(0，0，z0)，过M3作z轴的垂直平面γ，三个平面α、β、γ交于一点，此交点即为所求点M. 在某一坐标平面内确定点的位置时，可以参考平面直角坐标系中的有关方法.【例2】在空间直角坐标系中，作出点M(4，-2，5).
【审题指导】解答本题可有三种思路：
①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；
②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4，2，5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；
③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M.【规范解答】方法一：将原点
沿x轴正方向平移4个单位得点
M1(4，0，0)，再把M1沿与y轴
平行的直线且与y轴相反方向
平移2个单位，得到点M2(4，-2，0)，最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点M.方法二：以O为顶点构造长方体，使
这个长方体在点O处的三条棱分别在
x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴
上，且棱长分别为4，2，5.则长方
体中顶点O相对的顶点即为所求的点M.方法三：在x轴上找到x坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面α；在y轴上找到y坐标为-2的点，过此点作与y轴垂直的平面β；在z轴上找到z坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面γ，则α、β、γ交于一点，此交点即为所求的点M.【变式训练】点P(3，2，0)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)z轴上 (B)xOy面上
(C)yOz面上 (D)xOz面上
【解析】选B.∵点P(3，2，0)的z坐标为0，
∴点P(3，2，0)在xOy面上，选B. 空间直角坐标系中，有关点的坐标对称问题
P(x，y，z)关于坐标平面xOy对称的点P1(x，y，-z)；
P(x，y，z)关于坐标平面yOz对称的点P2(-x，y，z)；
P(x，y，z)关于坐标平面xOz对称的点P3(x，-y，z)；
P(x，y，z)关于x轴对称的点P4(x，-y，-z)；
P(x，y，z)关于y轴对称的点P5(-x，y，-z)；
P(x，y，z)关于z轴对称的点P6(-x，-y，z).点的对称问题【例3】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱长为a.
(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；
(2)求B1关于z轴对称的点的坐标；
(3)求B1关于原点对称的点的坐标.
【审题指导】坐标系已经给出，解答本题只需先求出点B1的坐标，在此基础上借助点关于点、线、平面的对称原则求解便可.【规范解答】∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
∴易求得点B1的坐标为(a，a，a).
(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a，a，-a)；
(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(-a，-a，a)；
(3)B1关于原点对称的点的坐标为(-a，-a，-a).【变式训练】求点A(1，2，-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
【解题提示】发挥空间想象能力，结合图形可写A点对称点的坐标，但要注意各坐标的符号.【解析】如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM=CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1，2，1).
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，
使AN=NB，
则A与B关于x轴对称，且B(1，-2，1).
∴A(1，2，-1)关于坐标平面xOy对称的点是C(1，2，1)，
A(1，2，-1)关于x轴对称的点是B(1，-2，1).【典例】(12分)四面体P-ABC是一个
正方体截下的一角，且满足|PA|=a，
|PB|=b，|PC|=c，建立如图所示的空
间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐
标.
【审题指导】几何体的形状已知，且坐标系已给出.求解本题的关键是依据题设条件正确写出△ABC的顶点坐标，进而借助重心坐标公式求出点G的坐标.【规范解答】 由图可知P点为坐标原点，点A，B，C分别在x，y，z轴上，且|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，
∴A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). ……………………5分
设△ABC的重心G的坐标为(x，y，z)，
则 …………………………………10分
即重心G的坐标为 ………………………… 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，
所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建
立适当坐标系写出各顶点的坐标.
【解题提示】题中给出了三棱柱的
棱长，要求各顶点的坐标，可以以AC的中点为原点找出两两垂直的三条线分别为x、y、z轴建系，然后确定各点坐标.【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1，
可得BO⊥AC，分别以OB、OC、OO1为x、
y、z轴建立空间直角坐标系.
因为三棱柱各棱长均为2，所以OA=OC=1，
可得1.点Q(0，0，3)的位置是( )
(A)在x轴上 (B)在y轴上
(C)在z轴上 (D)在面xOy上
【解析】选C.z轴上的坐标满足x=y=0.2.点(2，-1，3)与点(2，-1，-3)( )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于xOy平面对称 (D)关于z轴对称
【解析】选C.点(2，-1，3)与点(2，-1，-3)的x坐标，y坐标相同，z坐标互为相反数，故这两点关于xOy平面对称.3.点P(1，2，-1)在xOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x+y+z=( )
(A)3 (B)2
(C)1 (D)0
【解析】选D.点P(1，2，-1)在xOz平面的垂足为B(1，0， -1)，∴x+y+z=1+0-1=0.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点A的坐标为(0，0，0)，C1的坐标为(1，1，1)，则线段AC1的中点坐标为__________.
【解析】结合中点坐标公式易得线段AC1的中点坐标为
答案： 5.在空间直角坐标系中，作出点M(6，-2，4).
【解析】点M的位置可按如下步骤作出：
先在x轴上作出横坐标是6的点M1，再将
M1沿与y轴平行的方向向左移动2个单位
得到点M2，然后将M2沿与z轴平行的方
向向上移动4个单位即得点M，M点的位置如图所示.一、选择题(每题4分，共16分)
1.在空间直角坐标系O-xyz中，点P(-2，0，3)位于( )
(A)xOz平面内 (B)yOz平面内
(C)y轴上 (D)z轴上
【解析】选A.∵点P(-2，0，3)的y坐标为零，
∴点P(-2，0，3)在xOz平面内.2.已知点A(-3，1，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为
( )
(A)(1，-3，-4) (B)(-4，1，-3)
(C)(3，-1，-4) (D)(4，-1，3)
【解析】选C.点A关于原点的对称点的坐标为(3，-1，-4).3.在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
(A)(0，2，0) (B)(1，2，0)
(C)(1，0，3) (D)(0，2，3)
【解题提示】垂足Q的坐标，即为点P(1，2，3)在平面xOy内的射影.
【解析】选B.因为过P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q在xOy平面内，故满足z=0，x，y不变.故选B.4.以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )
(A)( ，1，1) (B)(1， ，1)
(C)(1，1， ) (D)( ， ，1)
【解析】选C.由题可知点C(1，1，0)，C1(1，1，1)，
∴棱CC1中点坐标为(1，1， ).二、填空题(每题4分，共8分)
5.写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标_________，________，_________.
【解析】点P(2，3，4)在x，y，z轴上的射影的坐标分别为(2，0，0)，(0，3，0)，(0，0，4).
答案：(2，0，0) (0，3，0) (0，0，4)6.如图所示的
空间直角坐标系中，正方体棱长为2，
|PQ|=3|PR|，则点R的空间直角坐标
为__________.
【解题提示】充分借助平面几何的性质及条件|PQ|=
3|PR|求点R的坐标.【解析】过点R作RT⊥QT，如图所示，
由|PQ|=3|PR|及相似三角形的知识
可知
同理可求
∴点R的空间直角坐标为
答案： 【方法技巧】巧用平面几何的性质求空间点的坐标
立体几何是平面几何的拓展延伸，求解立体几何中的问题常常利用“降维”的思想，把立体几何问题平面化.如本题中巧用平行线的性质建立点T与点R坐标间的联系从而顺利写出所要求解的点的坐标.三、解答题(每题8分，共16分)
7.已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C(3，7，-5)，求点D的坐标.
【解题提示】利用平行四边形的对称性求点D的坐标.【解析】∵ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，
C(3，7，-5)，
∴线段AC的中点坐标为
设点D的坐标为(x，y，z)，则对角线BD的中点坐标也为
解得
∴点D的坐标为(5，13，-3).8.如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5．以这个长方体
的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′
分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建
立空间直角坐标系，求长方体各个
顶点的坐标．【解析】因为AB=12，AD=8，AA′=5，点A在坐标原点，即A(0，0，0)，且B，D，A′分别在x轴、y轴、z轴上，所以它们的坐标分别为B(12，0，0)，D(0，8，0)，A′(0，0，5)．
点C，B′，D′分别在xOy平面、xOz平面和yOz平面内，坐标分别为C(12，8，0)，B′(12，0，5)，D′(0，8，5)．
点C′在三条坐标轴上的射影分别是点B，D，A′，故点C′的坐标为(12，8，5)．【挑战能力】
(10分)(1)在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点A，B，C，使得这3个点的坐标都满足z=3，并画出图形；
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．【解析】(1)取三个点A(0，0，3)，C(4，0，3)，B(0，4，3)，其图形如图所示：
(2)A，B，C三点不共线，可以确定一
个平面，又因为这三点在xOy平面的同
侧，且到xOy平面的距离相等，所以平
面ABC平行于xOy平面，而且平面ABC内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足z=3．