安徽省江南十校2017届高三摸底联考 数学（文）

安徽省江南十校2017届高三摸底联考
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．-3
2.已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.将函数的图像经过恰当平移后得到一个奇函数的图像，则这个平移可以是（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4.已知直线与圆相切，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．0或1
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6.已知矩形中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图所示的程序框图，如果输入的值是407，值是259，那么输出的值是（ ）
A．2849 B．37 C．74 D．77
8.设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，则当最大时，的值为（ ）
A．5或6 B．6 C．5 D．4或5
9.已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．4 D．2
10. 已知为第三象限角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11. 已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12.已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数的单调递减区间为 ___________．
14.某学校高三年级共有11个班，其中班为文科班，班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，则所选两个班的序号之积为3的倍数的概率为__________．　
15.已知直线过点，则的最小值为_________．
16.已知数列满足，则 ___________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求的大小 ；
（2）若的面积为，求的值．
18.（本小题满分12分）
在2016年6月英国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”．现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如下表：
年龄层次
赞成“留欧”
反对“留欧”
合计
18岁—19岁
6
50岁及50岁以上
10
合计
50
（1）请补充完整上述列联表；
（2）请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由．
参考公式与数据：，其中
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面 ，为的中点，．
（1）求证：平面 ；
（2）设，求点到平面 的距离．
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离大1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在轴右侧，曲线 上存在两点关于直线对称，求的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数其中是实数．设为该函数图像上的两点，横坐标分别为，且．
（1求的单调区间和极值；
（2）若，函数的图像在点处的切线互相垂直，求的最大值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形中，交于点，的角平分线交于点．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
C
C
C
B
D
C
B
D
D
二、填空题
13. 14. 15. 16. -435
三、解答题
17.解：（1）∵，∴由正弦定理得，
即，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）∵，∴，即，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18.解：（1）由题意可得列联表如下：
年龄层次
赞成“留欧”
反对“留欧”
合计
18岁~49岁
20
6
26
50岁及50岁以上
10
14
24
合计
30
20
50
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2），
∵，
∴有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．（1）证明：
又，∴平面 平面．
∵平面 ，∴平面 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（方法二）设线段的中点为，连接．
∵为的中点，
∴，且．
又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴．
∵平面 平面 ，
∴平面 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）解：（方法一）∵四边形为直角梯形，．
∴四边形为正方形，为等腰直角三角形．
∴，即．　
又∵平面 ，∴．
又，∴平面 ，面平面 ，
∴平面 平面 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
过作于点，则平面 ，即为点到平面的距离．
∵，∴，∴，点到平面 的距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
（方法二）设点到平面的距离为．
∵，∴，∴．．．．．．．．．．9分
由方法一得，平面 ，∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20．解：（1）设点的坐标为．
由题意，，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
化简得，，
∴点的轨迹的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设曲线上的两点关于直线对称，则可设直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
由得，
则且．
∴，线段的中点为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∵在直线上，∴．　
∵，∴．
即的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21．解：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
当时，；当时，；当时，，
∴的单调递增区间为和，单调递减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
当时，有极小值无极大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）当时，，
由已知得，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∵，∴，
∴，当，即时，有最小值1，即有最大值-1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．（1）解：∵，∴．
∵，∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证明：分别过点作的平行线交的延长线于两点，则．
∵平分，∴，∴，∴．
又∵，∴四边形是平行四边形，∴．
∴．
∵，∴，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23．解：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得．
由得，曲线的直角坐标方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）设，则点到曲线的距离为
．．．．．．．．．．．8分
当时，有最小值0，所以的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
24．解：（1），当时，由，得；
当时，由得，；
当时，由得，．
综上所述，不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由的图像可知，．．．．．．．．．．．．．．7分
根据题意，有，即，解得或．
故实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分