1.6.2 垂直关系的性质 学案
课时目标 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
知识梳理
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
?________
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
作业设计
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
①?n⊥α； ②?m∥n；
③?m⊥n； ④?n⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC．
反思感悟
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．
答案
知识梳理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
作业设计
1． B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF
∴有PG4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．]
6．A [设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC，
∴PA⊥BC，又BC⊥PO，
∴BC⊥AO，同理AC⊥BO，
∴O为△ABC的垂心．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON平行等于CD平行等于AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC平行等于BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
1.6.2 垂直关系的性质 学案
课时目标 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
知识梳理
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?a?α．
(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么a∥α(a与α的位置关系)．
作业设计
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．若α⊥β，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．设x，y，z中有两条直线和一个平面，已知条件可推得x⊥z，则x，y，z中可能为平面的是( )
A．x或y B．x C．y D．z
6．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，Pl，则下列结论中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．
证明：AB⊥PC．
13．如图所示，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．
反思感悟
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
2．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；
(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，?b⊥α；
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，?a⊥β．
答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
作业设计
1．D
2．D
[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．A 6．D
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P到O的距离恰好为以2 cm，3 cm，6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．
12．证明 因为△PAB是等边三角形，
所以PB＝PA．
因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AC＝BC．
如图，取AB的中点D，连结PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
13．证明
(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点．
又∵M是线段AC1的中点，
∴MF∥AN．
又∵MF平面ABCD，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1．
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC1A1．
又∵NA?平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．
