2.1.2 直线的方程 学案
课时目标 1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．21世纪教育网版权所有
知识梳理
直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
点
斜
式
点P(x0，y0)
和斜率k
斜率
存在
斜
截
式
斜率k和在y
轴上的截距b
斜率
存在
作业设计
一、选择题
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(－1,2)，斜率为1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
4．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是( )
5．集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是( )
A．A＝B B．B?A
C．A?B D．以上都不对
6．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
二、填空题
7．经过点(1,2)且斜率为3的直线在y轴上的截距为________．
8．已知一条直线经过点P(1,2)且斜率为2，则该直线的斜截式方程是________．
9．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
正确的为________(填序号)．
三、解答题
10．写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且斜率为2；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．
11．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l的方程．
能力提升
12．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)的关系用直线AB的方程表示(如图所示)．试求：21教育网
(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李？
13．等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为，点B(－3，2)，求直线AC、BC及角A的平分线所在直线方程．21cnjy.com
反思感悟
1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0．直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．21·cn·jy·com
2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．www.21-cn-jy.com
答案
知识梳理
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
点
斜
式
点P(x0，y0)
和斜率k
y－y0＝
k(x－x0)
斜率
存在
斜
截
式
斜率k和在
y轴上的
截距b
y＝kx＋b
斜率
存在
作业设计
1．C [易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．]
2．C 3．B 4．D
5．B [一次函数y＝kx＋b(k≠0)；
直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0，
所以B?A．]
6．C [直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．]
7．－1
8．y＝2x
9．②③
10．解 (1)直线点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，
即y＝－1．
11．解 设直线l的方程为y＝x＋b，
则x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b．
由已知可得·|b|·|6b|＝3，
即6|b|2＝6，
∴b＝±1．
故所求直线方程为
y＝x＋1或y＝x－1．
12．解 (1)由题图知，A(60,6)，B(80,10)，
设直线AB的方程为y＝kx＋b，
将A、B两点代入得，，
解得
∴y＝x－6．
(2)依题意，令y＝0，得x＝30．
即旅客最多可免费带30千克行李．
13．解 AC：y＝x＋2＋．
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
∴BC倾斜角为30°或120°．
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，
角A平分线倾斜角为120°，
∴所在直线方程为y＝－x＋2－．
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，角A平分线倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝x＋2＋．
2.1.2 直线的方程 学案
课时目标 掌握直线方程的两点式、截距式及一般式，并能应用它们解决相关问题．
知识梳理
1．关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B______________)叫做直线的一般式方程．21cnjy.com
2．比较直线方程的五种形式(填空)
形式
方程
局限
各常数的
几何意义
点斜式
不能表示k不存在的直线
(x0，y0)是直线上一定点，
k是斜率
斜截式
不能表示k不存在的直线
k是斜率，b是y轴
上的截距
两点式
x1≠x2，y1≠y2
(x1，y1)、(x2，y2)是直线
上两个定点
截距式
不能表示与坐标轴平行
及过原点的直线
a是x轴上的非零截距，
b是y轴上的非零截距
一般式
无
当B≠0时，－是斜率，
－是y轴上的截距
作业设计
一、选择题
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
2．下列说法正确的是( )
A．方程＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式
3．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．只可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．只可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
4．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )21教育网
6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )www.21-cn-jy.com
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
二、填空题
7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为____________，化为截距式为____________．
8．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是
________．
9．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是
________________．
三、解答题
10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．
11．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．2·1·c·n·j·y
能力提升
12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
反思感悟
1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．21·cn·jy·com
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．
3．强调两个问题：
(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)与＝(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．21·世纪*教育网
答案
知识梳理
1．Ax＋By＋C＝0 不同时为0
2．
形式
方程
局限
各常数的
几何意义
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示k不存在的直线
(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率
斜截式
y＝kx＋b
不能表示k不存在的直线
k是斜率，b是y轴上的截距
两点式
＝
x1≠x2，y1≠y2
(x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距
一般式
Ax＋By＋C＝0
无
当B≠0时，－是斜率，－是y轴上的截距
作业设计
1．D 2．A 3．B
4．B [令x＝0得，y＝－b2．]
5．C [将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得C．]
6．D [当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，
将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；
当b≠0时，方程设为＋＝1，求得b＝，
∴选D．]
7．y＝－x－3 ＋＝1．
8．m∈R且m≠1
解析 由题意知，2m2＋m－3与m2－m不能同时为0，由2m2＋m－3≠0得m≠1
且m≠－；由m2－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1．
9．＋＝1或＋y＝1
解析 设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即＋＝1或＋y＝1．21世纪教育网版权所有
10．解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0．
(2)x＝－3，即x＋3＝0．
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．
(4)y＝3，即y－3＝0．
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0．
(6)由截距式方程得＋＝1，
即x＋3y＋3＝0．
11．解 (1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0．
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－．
∴－＝2·
解之得λ＝，此时y＝x．
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或y＝x．
12．
解 (1)将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
∴l的斜率为a，
且过定点A(，)．
而点A(，)在第一象限，故l过第一象限．
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3．
∵l不经过第二象限，∴a≥3．
