2.1.2 直线的方程 第1课时 学案
直线方程的点斜式
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1．记住直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．
2．会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，了解截距的概念，会根据直线的斜率和截距求直线方程．
3．体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
重点：直线方程的点斜式、斜截式的理解与应用．
难点：直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．
疑点：当斜率不存在时如何写出直线方程，此时点斜式和斜截式方程还适用吗？
预习导引
1．直线方程的点斜式和斜截式
方程名称
确定条件
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
已知一点P0(x0，y0)和斜率k
y－y0＝k(x－x0)
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知一点可设点斜式方程
斜截式
已知斜率和在y轴上的截距
y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直的直线21世纪教育网
①已知在y轴上的截距；②已知斜率可设斜截式方程
预习交流1
方程y－y0＝k(x－x0)与方程＝k表示的直线是否相同？
提示：不相同．前者表示整条直线，而后者表示少了点(x0，y0)的直线．
预习交流2
当直线l经过点P(x0，y0)且与x轴垂直时，它的方程是什么？
提示：x＝x0.
2．直线的截距
方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程，其中k为斜率，b叫作直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称为直线的截距．
预习交流3
直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离有什么关系？
提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．
预习交流4
(1)经过点A(－3，－3)，斜率为4的直线的点斜式方程是__________；
(2)斜率是2，在y轴上的截距是1的直线的斜截式方程是__________．
提示： (1)y＋3＝4(x＋3) (2)y＝2x＋1
课堂合作探究
问题导学
1．求直线的点斜式方程
活动与探究1
根据下列条件写出直线的点斜式方程．
(1)与直线y＝－x有相同的斜率，且过点(－1，2)；
(2)经过点(3，1)，倾斜角为135°；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7；
(4)过点B(－1，0)，与x轴平行；
(5)过点C(－2，3)，与x轴垂直．
思路分析：直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件，解题时首先分析所求直线的斜率是否存在，若存在，斜率是什么，再根据点斜式写出方程．
解：(1)所求直线的斜率为－，又过点(－1，2)，故所求方程为y－2＝－(x＋1)．
(2)设直线的倾斜角为α，
∵α＝135°，k＝tan α＝tan 135°＝－1，
∴所求直线的点斜式方程为y－1＝－(x－3)．
(3)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7，0)．
又斜率为，由直线的点斜式方程得y－0＝[x－(－7)]．
(4)y＝0.
(5)x＝－2.
迁移与应用
(1)求经过点(－，2)，倾斜角是60°的直线方程；
(2)求经过点(10，3)且平行于x轴的直线方程；
(3)求经过点(－3，－2)，倾斜角是120°的直线方程．
解：(1)k＝tan 60°＝，故所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋)．
(2)由直线与x轴平行，得直线的斜率k＝0.
故所求直线的方程为y＝3.
(3)由k＝tan 120°＝－，故所求直线的方程为y＋2＝－(x＋3)．
名师点津 求直线的点斜式方程时，首先应确定直线的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．
2．求直线的斜截式方程
活动与探究2
求下列直线的方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行．
思路分析：(1)已知斜率和在y轴上的截距，可直接利用斜截式写方程；(2)所求直线与x轴平行，此时斜率为0是特殊的直线，可以确定直线上所有点的纵坐标，再由纵坐标写直线的方程．
解：(1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝－4x＋7；
(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为2，所以所求的直线方程为y＝2.
迁移与应用
1．斜率为，在y轴上的截距为－5的直线方程是__________．
答案：y＝x－5
2．直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的截距为6，斜率为－2，故直线l的方程为y＝－2x＋6.
名师点津 1.在求直线的斜截式方程时，首先要确定直线的斜率和截距．在这里，要分清是在x轴上的截距还是在y轴上的截距．另外，还要区分好
截距和距离是两个不同的概念．截距可以取一切实数，即可为正数、负数、零，而距离只能是非负数．
2．一般地，在设直线方程时，若已知点的坐标，可用点斜式；若已知直线斜率，可设斜截式．
3．点斜式方程的综合应用
活动与探究3
直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线l的方程．
思路分析：已知斜率，且与坐标轴上的截距有关，因此可设截距式y＝x＋b，利用直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
解：∵直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－4b.
由直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，可得×|－4b|×|b|＝2，∴b2＝1，解得b＝±1.
故所求直线l的方程为y＝x±1.
迁移与应用
斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程．
解：设直线的斜截式方程为y＝－x＋b，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝b，
由|b|＋|b|＋＝9，
即|b|＝9，得|b|＝3，即b＝±3，
∴所求直线的方程为y＝－x±3.
名师点津 解决此类问题的常用方法是待定系数法，首先设出直线方程，然后根据已知条件求出待定系数来．方程的思想是解答此类题目的重要手段．
当堂检测
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )．
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
答案：D
2．过点P(－2，0)，斜率是3的直线的方程是( )．
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
答案：D
3．直线y＝2x－1在y轴上的截距为( )．
A．2 B．1 C．－1 D.
答案：C
4．(1)斜率是，在y轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为__________；
(2)已知直线的斜截式方程是y＝x－1，那么此直线的斜率是__________．
答案：(1)y＝x－2 (2)1
5．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程；且求t为何值时，直线过点(4，－3)？并作出该直线的图像．
解：由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－ 3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5，故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．直线y＝－2x＋5的图像如图所示．
2.1.2 直线的方程 第2课时 学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1．记住直线方程的两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围．
2．会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距．
3．会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式．
4．熟练掌握直线方程的综合应用.
重点：(1)直线方程的两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围．
(2)直线方程五种形式的相互转化及应用．
难点：对直线方程一般式的理解与应用．
疑点：直线方程的一般式化为截距式时是否进行分类讨论？
预习导引
1．直线方程的两点式、截距式、一般式
预习交流1
直线的两点式方程能用＝(x1≠x2，y1≠y2)代替吗？
提示：方程＝所表示的图形不含点(x1，y1)，不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．
预习交流2
我们已经学习了直线方程的五种形式，在解题时应如何选择方程的形式？
提示：一般地，直线方程形式的选择技巧如下：
(1)已知一点，通常选择点斜式；
(2)已知斜率，通常选择斜截式或点斜式；
(3)已知截距，通常选择截距式；
(4)已知两点，通常选择两点式．
预习交流3
直线方程的几种形式是如何转化的？
提示：
课堂合作探究
问题导学
1．直线的两点式和截距式方程
活动与探究1
已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D.
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．
思路分析：先利用两点式求出直线AD的方程，然后利用所给条件求出直线BC在x轴、y轴上的截距，用截距式表示出直线BC的方程．
解：(1)∵线段BC的中点坐标为D，
△ABC的顶点坐标A(1，－ 1)，由两点式得直线AD的方程＝，即BC边上的中线所在直线的方程为5x－4y－9＝0.
(2)设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，
由题意得a＋b＝9，①
直线BC的截距式方程为＋＝1，
∵点D在直线BC上，∴＋＝1，
∴6b＋3a＝2ab.②
由①②可得2a2－21a＋54＝0，即 (2a－9)(a－6)＝0，
解得a＝或a＝6.
因此，所求直线BC在两坐标轴上的截距为或
∴直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
迁移与应用
1．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2，－3)，B(－5，－6)；
(2)过点A(－3，－4)，B(－3，10)；
(3)在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2；
(4)在x轴，y轴上的截距都是4.
解：(1)＝，整理得x－y－1＝0.
(2)∵直线与x轴垂直，
∴方程为x＝－3.
(3)＋＝1，整理得x－y＋2＝0.
(4)＋＝1，整理得x＋y－4＝0.
2．求过点A(3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
解：(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，
设直线l的方程为＋＝1.
又l过点A(3，4)，
∴＋＝1，解得 a＝－1.
∴直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在坐标轴上截距均为0时，设直线l的方程为y＝kx，将(3，4)代入得k＝，
∴直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
名师点津 已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．
2．直线方程的一般式
活动与探究2
设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
思路分析：(1)要使直线在x轴上的截距为－3，可令y＝0，得x＝＝－3，但需m2－2m－3≠0；
(2)当斜率为－1时，有－＝－1，但需注意2m2＋m－1≠0.
解：(1)由题意可得
由①得m≠－1且m≠3，
由②得m＝3或m＝－.
∴m＝－.
(2)由题意得
由③得m≠－1且m≠，
由④得m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
迁移与应用
1．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，显然B≠0.
将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝，所以k＝，b＝.
所以直线不经过第三象限．
答案：C
2．(1)若直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，求实数m的值；
(2)求直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的图形的面积．
解：(1)令y＝0，则(2m2－m＋3)x＝4m＋1，显然2m2－m＋3≠0，故＝1，即2m2－5m＋2＝0，解得m＝2或.
(2)方程可化为＋＝1，它在x轴、y轴上的截距分别是，，所以它与两坐标轴围成的图形的面积
S＝·，即S＝.
名师点津 把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．
3．直线方程的综合应用
活动与探究3
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．
(1)证明：方法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二：直线l的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.以下同方法一．
(2)解：直线OA的斜率为
k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3.
迁移与应用
1．若k∈R，直线y＋1＝k(x－2)恒过一个定点，则这个定点的坐标为 ( )．
A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，－1)．
答案：D
2．若直线(3a＋2)x＋y＋8＝0不过第二象限，求a的取值范围．
解：直线方程化为y＝－(3a＋2)x－8，
由于该直线不过第二象限，
∴－(3a＋2)≥0，∴a≤－.
名师点津 含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．
当堂检测
1．过A(1，1)，B(0，－1)两点的直线方程是( )．
A.＝x B.＝
C.＝ D．y＝x
答案：A
2．在x轴，y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝0
答案：B
3．直线l：Ax＋By＋C＝0过原点和第二、四象限，则( )．
A．C＝0，B＞0 B．C＝0，A＞0，B＞0
C．C＝0，AB＞0 D．C＝0，AB＜0
解析：由直线l过原点知C＝0.
又直线过第二、四象限，∴－＜0，∴AB＞0.
答案：C
4．关于x，y的方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程，求实数a的取值范围．
解：若a2－a－2与2－a同时为0，
则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0不表示任何直线，
此时a＝2，
所以当a≠2时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程．
5．△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．
求：(1)边AC所在直线方程；
(2)AC边上的中线BD所在直线方程．
解：(1)∵A(0，4)，C(－8，0)，∴由直线的截距式方程，得＋＝1，即为x－2y＋8＝0.
∴边AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)设中点D(x0，y0)，由中点坐标公式，
得x0＝＝－4，y0＝＝2.
由直线的两点式方程得BD所在直线的方程为
＝，即为2x－y＋10＝0.
∴AC边上的中线BD所在直线的方程为
2x－y＋10＝0.
