2.1.2 直线的方程 第1课时 学案
直线方程的点斜式
问题导学
1．求直线的点斜式方程
活动与探究1
根据下列条件写出直线的点斜式方程．
(1)斜率为－，且过点(－1，2)；
(2)经过点(3，1)，倾斜角为45°；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7；
(4)过点B(－1，0)，D(4，－5)；
(5)过点C(－2，3)，与x轴垂直．
迁移与应用
(1)经过点(－，2)，倾斜角是60°的直线方程为__________；
(2)经过点(10，3)且平行于x轴的直线方程为__________；
(3)若直线l的方程为y＝－2(x＋1)－1，则该直线的斜率为__________；
(4)若直线方程为y－2＝k(x＋3)，则该直线必经过定点P，P点坐标为__________．
名师点津
(1)求直线的点斜式方程时，首先应确定直线的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．
(2)已知直线的斜截式方程或将直线方程化为斜截式后，可求出该直线所经过的定点．一般地，方程y－y0＝k(x－x0)表示的直线必经过定点(x0，y0)．
2．求直线的斜截式方程
活动与探究2
求下列直线的方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行．
迁移与应用
1．倾斜角为30°，且在y轴上的截距为－5的直线方程是__________．
2．若直线方程为y＋3＝2(x－1)，则它在y轴上的截距为__________．
名师点津
1．求直线的斜截式方程时，只需确定直线的斜率与直线在y轴上的截距即可．
2．斜截式方程是点斜式方程的一种特殊情况，利用斜截式求直线的方程时，要先判断直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直线的方程不能用斜截式求解，但在用待定系数法求直线方程时，常用斜截式设出直线方程．
3．直线在y轴、x轴上的截距指的是直线与y轴、x轴交点的纵坐标、横坐标，它可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距与距离不同；求直线截距的方法是：在直线方程中令x＝0，解出y的值即为直线在y轴上的截距；在直线方程中令y＝0，求得x的值，即为直线在x轴上的截距．
3．点斜式方程的应用
活动与探究3
直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线l的方程．
迁移与应用
斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程．
名师点津
1．已知斜率及任意一点的坐标，我们习惯上选择点斜式求直线的方程；如果该点比较特殊(直线与坐标轴的交点)，则习惯上选择斜截式求直线的方程．
2．解决此类问题的常用方法是待定系数法，首先设出直线方程，然后根据已知条件求出待定系数．方程的思想是解答此类题目的重要手段．
当堂检测
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )．
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
2．过点P(－2，0)，斜率是3的直线的方程是( )．
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．直线y＝2x－1在y轴上的截距为( )．
A． 2 B．1
C．－1 D．
4．(1)斜率是，在y轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为__________；
(2)直线y＝mx＋1(m∈R)经过定点M，则M的坐标为__________．
5．已知直线l的方程为kx－y＋2k＋2＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l在y轴上的截距为4，求k的值．
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．满足一个方程 在直线l上
预习交流1 提示：不能．因为虽然以方程y＝x(x≥0)的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但过原点且平分第一、三象限的直线上的某些点不是方程y＝x(x≥0)的解，如(－1，－1)是不满足方程y＝x(x≥0)的．
2．y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
预习交流2 提示：不相同．前者表示整条直线，而后者表示少了点(x0，y0)的直线．
预习交流3 提示：x＝x0.
3．k b 截距
预习交流4 提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．
预习交流5 提示：直线方程的斜截式是y＝kx＋b，其中k，b∈R；而一次函数的解析式是y＝kx＋b，其中k≠0，b∈R.即在一次函数解析式中，要求x的系数不能为零，而斜截式方程则无此限制．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1 思路分析：直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件，解题时首先分析所求直线的斜率是否存在，若存在，斜率是什么，再根据点斜式写出方程．
解：(1)所求直线的斜率为－，又过点(－1，2)，故所求方程为y－2＝－(x＋1)．
(2)设直线的倾斜角为α，
∵α＝45°，k＝tan α＝tan 45°＝1，
∴所求直线的点斜式方程为y－1＝x－3.
(3)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7，0)．
又斜率为，由直线的点斜式方程得y－0＝[x－(－7)]．
(4)直线的斜率为k＝＝－1，∴直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)．
(5)x＝－2.
迁移与应用 (1)y－2＝(x＋) (2)y＝3 (3)－2 (4)(－3，2)
解析：(1)k＝tan 60°＝，故所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋)．
(2)由直线与x轴平行，得直线的斜率k＝0.
故所求直线的方程为y＝3.
(3)直线方程可化为y＋1＝－2(x＋1)，它表示经过点(－1，－1)，斜率为－2的直线，即直线斜率为－2.
(4)直线方程为y－2＝k(x＋3)，它表示经过点(－3，2)，斜率为k的直线，因此直线经过的定点P的坐标为(－3，2)．
活动与探究2 思路分析：(1)已知斜率和在y轴上的截距，可直接利用斜截式写方程；(2)所求直线与x轴平行，此时斜率为0是特殊的直线，可以确定直线上所有点的纵坐标，再由纵坐标写直线的方程．
解：(1)由斜截式可得所求直线的方程为y＝－4x＋7；
(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为2，所以所求的直线方程为y＝2.
迁移与应用 1．y＝x－5
解析：斜率k＝tan 30°＝，所以直线方程为y＝x－5.
2．－5 解析：在方程y＋3＝2(x－1)中，令x＝0，得y＝－5，因此直线在y轴上的截距为－5.
活动与探究3 思路分析：已知斜率，且三角形面积与坐标轴上的截距有关，因此可设截距式y＝x＋b，利用直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，求出截距，从而得出直线l的方程．
解：∵直线l的斜率为，
∴设直线l的方程为y＝x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－4b.
由直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，可得×|－4b|×|b|＝2，∴b2＝1，解得b＝±1.
故所求直线l的方程为y＝x±1.
迁移与应用 解：设直线的斜截式方程为y＝－x＋b，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝b，
由|b|＋|b|＋＝9，
即|b|＝9，得|b|＝3，即b＝±3，∴所求直线的方程为y＝－x±3.
当堂检测
1．D 2．D 3．C
4．(1)y＝x－2 (2)(0，1)
5．(1)证明：直线l的方程可化为y－2＝k(x＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2，2)，斜率为k的直线，故直线过定点(－2，2)．
(2)解：令x＝0，得y＝2k＋2，依题意有2k＋2＝4，故k＝1.
2.1.2 直线方程的两点式和一般式 第2课时 学案
问题导学
1．直线的两点式和截距式方程
活动与探究1
求满足下列条件的直线的方程：
(1)经过点A(－1，－5)和B(2，1)；
(2)经过点A(0，－3)和B(4，0)；
(3)经过点M(2，6)，且在两坐标轴上的截距相等．
迁移与应用
1．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2，－3)，B(－5，－6)；
(2)过点A(－3，－4)，B(－3，10)；
(3)在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2；
(4)在x轴，y轴上的截距都是4.
2．求过点A(3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
名师点津
1．已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．
2．由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时，要注意这一局限性，避免造成丢解．一般地，当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标轴上的截距互为相反数、在x轴上的截距是在y轴上截距的k(k≠0)倍时，经过原点的直线均符合这些要求，求其方程时应分类讨论．
2．直线方程的一般式
活动与探究2
设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
迁移与应用
1．经过点(1，－3)，且斜率是直线3x＋2y－1＝0的斜率的2倍的直线方程的一般式是__________．
2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
名师点津
把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．
3．直线方程的综合应用
活动与探究3
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
迁移与应用
1．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )．
A．b＞0，d＜0，a＜c
B．b＞0，d＜0，a＞c
C．b＜0，d＞0，a＞c
D．b＜0，d＞0，a＜c
2．若直线(3a＋2)x＋y＋8＝0不过第二象限，求a的取值范围．
名师点津
1．含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．
2．直线在坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y轴上的截距确定，若直线斜率为k，在y轴上的截距为b，那么当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限．
当堂检测
1．过A(1，1)，B(0，－1)两点的直线方程是( )．
A．＝x B．＝
C．＝ D．y＝x
2．在x轴，y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．
A．＋＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．＋＝0
3．若直线mx＋(m－2)y＋3＝0的斜率存在，则实数m的取值范围是( )．
A．m≠0 B．m≠2
C．m≠0且m≠2 D．m≠3
4．若直线3x＋4y＋m＝0经过第二、三、四象限，则m的取值范围是__________．
5．△ABC的三个顶点分别为A (0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．
求：(1)边AC所在直线方程；
(2)AC边上的中线BD所在直线方程．
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．＝ ＋＝1 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
预习交流1 提示：不能．当x1＝x2或y1＝y2时，x2－x1＝0或y2－y1＝0，此时方程＝无意义，因此不能用两点式表示．当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；当y1＝y2时，直线方程为y＝y1.
预习交流2 提示：若A＝B＝0，则方程变为C＝0，此时该式不能表示任何直线．故直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0必须加上A，B不同时为0这个条件，才能表示一条直线．
预习交流3 提示：当B≠0时，直线的斜率为－，在y轴上的截距为－；
当B＝0时，直线的斜率不存在，在y轴上的截距不存在．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1 思路分析：(1)直接根据直线方程的两点式写出方程；(2)可利用直线方程的两点式，也可利用截距式直接写出方程；(3)需要对直线在两坐标轴上的截距等于0和不等于0进行分类求解．
解：(1)由两点式得：＝，整理得2x－y－3＝0，此即为所求直线的方程．
(2)(方法1)由两点式得：＝，整理得3x－4y－12＝0，即直线方程为3x－4y－12＝0.
(方法2)由于直线经过点(0，－3)和(4，0)，所以直线在x轴、y轴上的截距分别是4和－3，由截距式得＋＝1，整理得3x－4y－12＝0.
(3)①当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设其方程为＋＝1，
又直线经过点M(2，6)，所以＋＝1，解得a＝8.
因此直线方程为＋＝1，即x＋y－8＝0.
②当直线在两坐标轴上的截距相等且均等于0时，设其方程为y＝kx，又直线经过点M(2，6)，所以6＝2k，解得k＝3.直线方程为y＝3x.
综上，直线的方程为x＋y－8＝0或y＝3x.
迁移与应用 1．解：(1)＝，整理得x－y－1＝0.
(2)∵直线与x轴垂直，
∴方程为x＝－3.
(3)＋＝1，整理得x－y＋2＝0.
(4)＋＝1，整理得x＋y－4＝0.
2．解：(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，
设直线l的方程为＋＝1.
又l过点A(3，4)，∴＋＝1，解得 a＝－1.
∴直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在坐标轴上截距均为0时，设直线l的方程为y＝kx，将(3，4)代入得k＝，
∴直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
活动与探究2 思路分析：(1)要使直线在x轴上的截距为－3，可令y＝0，得x＝＝－3，但需m2－2m－3≠0；(2)当斜率为－1时，有－＝－1，但需注意2m2＋m－1≠0.
解：(1)由题意可得
由①得m≠－1且m≠3，
由②得m＝3或m＝－.
∴m＝－.
(2)由题意得
由③得m≠－1且m≠，
由④得m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
迁移与应用 1．3x＋y＝0
解析：由3x＋2y－1＝0得y＝－x＋，该直线斜率为－，从而所求直线斜率为2×＝－3，于是由点斜式可得所求直线方程为y＋3＝－3(x－1)，整理得3x＋y＝0.
2．C 解析：因为AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，显然B≠0.
将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝－x－，所以k＝－＜0，b＝－＞0.所以直线不经过第三象限．
活动与探究3 思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．
(1)证明：方法一：将直线l的方程整理为y－＝a，∴l的斜率为a，且过定点A.而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二：直线l的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0.
∵上式对任意的a总成立，∴必有即
即l过定点A.以下同方法一．
(2)解：直线OA的斜率为k==3.
要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x=0时，y=≤0，∴a≥3.
迁移与应用 1．C 解析：由题图形可知，直线l1的斜率－＞0，在y轴上的截距－＜0，因此a＜0，b＜0；直线l2的斜率－＞0，在y轴上的截距－＞0，因此c＜0，d＞0.且l1的斜率大于l2的斜率，即－＞－，因此a＞c，故选C.
2．解：直线方程化为y＝－(3a＋2)x－8，由于该直线不过第二象限，∴－(3a＋2)≥0，∴a≤－.
当堂检测
1．A 2．B 3．B 4．m＞0
5．解：(1)∵A(0，4)，C(－8，0)，
∴由直线的截距式方程，得＋＝1，即为x－2y＋8＝0.
∴边AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)设中点D(x0，y0)，由中点坐标公式，得x0＝＝－4，y0＝＝2.由直线的两点式方程得BD所在直线的方程为＝，即为2x－y＋10＝0.∴AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－y＋10＝0.
