2.2.3
直线与圆、圆与圆的位置关系
第1课时
学案
直线与圆的位置关系
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1．能够说出直线与圆的位置关系的种类．2．依据直线和圆的方程，能够熟练地写出它们的交点坐标，学会用代数法判断直线和圆的位置关系；能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小用几何法判断直线和圆的位置关系．3．能够根据直线和圆的位置关系解决有关问题.
重点：直线与圆的位置关系的判断应用．难点：通过方程组的解用代数法研究直线和圆的位置关系；圆的几何性质在解题中的应用．疑点：根据直线与圆的位置关系如何建立关系式求解有关问题．
预习导引
1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
预习交流1
判断直线与圆的位置关系时，代数法与几何法哪个更方便？
提示：已知直线及圆的方程，判断两者的位置关系时，几何法较简单，一般情况下，在判断直线与圆的位置关系时，优先考虑使用几何法．
预习交流2
直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )．
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
提示：B
2．怎样解决圆的切线方程与弦长问题？
提示：(1)涉及圆的切线方程，其解题思路是圆心到直线的距离等于半径，需注意考虑直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证)．
(2)对于圆的弦长问题求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．
预习交流3
(1)若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2相切，则b的值为( )．
A．±4
B．±2
C．±
D．±2
(2)直线x＋y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的线段的长为( )．
A．1
B.
C.
D．2
提示：(1)B (2)C
课堂合作探究
问题导学
1．直线与圆的位置关系的判断
活动与探究1
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0，当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点？
思路分析：直线与圆有两个公共点 直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点 直线与圆相切；直线与圆没有公共点 直线与圆相离．
解：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程并化简整理得：(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ＞0时，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点；
当Δ＜0时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
当d＜2时，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d＞2时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
迁移与应用
1．判断下列圆与直线的位置关系．
(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0，直线4x－3y＋6＝0；
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0，直线2x－y＋5＝0.
解：(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0可化为(x－4)2＋(y＋1)2＝25，∴圆心(4，－1)，半径r＝5.
圆心(4，－1)到直线4x－3y＋6＝0的距离d＝＝5＝r，∴圆与直线相切．
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，圆心(2，
0)，半径r＝1，圆心到直线2x－y＋5＝0的距离d＝＝＝＞1＝r，∴圆与直线相离．
2．(1)已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系；
(2)若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，求k的取值范围．
解：(1)∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，∴x＋y＜R2.又圆心O(0，0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为d＝＞＝R，∴直线x0x＋y0y＝R2与圆x2＋y2＝R2相离．
(2)由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜1，解得k∈.
名师点津
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置关系和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而联立方程的方法用得比较少．
2．直线与圆的相切问题
活动与探究2
(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，求过点P(2，3)的圆的切线方程；
(2)过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
思路分析：(1)先判断点与圆的位置关系，再利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率乘积为－1求出切线斜率．(2)设出切线方程，利用点到直线的距离等于圆的半径，列出切线斜率所满足的方程，求出斜率，但要注意分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)因为(2－1)2＋(3－2)2＝2，所以点P(2，3)在圆上．
由圆的方程可得圆心C(1，2)，半径r＝.
由斜率公式得kCP＝＝1，故所求切线的斜率为－1.由直线的点斜式方程得所求的切线方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
(2)因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
迁移与应用
1．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__________．
解析：点A在圆O上，过点A且与圆O相切的直线的斜率为－，故切线方程为y－2＝－(x－1)．
令x＝0得y＝；令y＝0得x＝5.
故三角形的面积为×5×＝.
答案：
2．求圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)的圆的方程．
解：设圆心(a，－2a)，由圆与直线y＝1－x相切于点(2，－1)，得＝，
解得a＝1.∴所求圆的圆心为(1，－2)，半径r＝＝.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
名师点津
求圆的切线方程一般有三种方法：
(1)利用常见结论：过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，代入切点坐标求切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)，解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
(3)直接法：由切线斜率与圆心和切点的连线斜率乘积为－1，求出切线斜率，再写出直线的点斜式方程即可．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，应注意斜率不存在的情况．
3．直线与圆相交时的弦长问题
活动与探究3
过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程．
思路分析：设出直线方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成的直角三角形求解．注意讨论斜率存在与否．
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝52，
∴圆心C(1，2)，半径r＝5.
由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，∴圆心到直线的距离d＝＝＝3.
①当直线AB⊥x轴时，
∵l过(4，－4)，∴AB方程为x＝4，点C(1，2)到l的距离d＝|4－1|＝3，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，设方程为y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0.∴d＝＝3，解得k＝－.∴l的方程为y＋4＝－(x－4)，即3x＋4y＋4＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
迁移与应用
1．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
解析：d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
名师点津
有关直线与圆相交时的弦长问题常用几何法来处理．如图，若半径为r，弦心距为d，则弦长|AB|＝2.
2．(2011湖北高考，文14)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为______．
解析：设直线的斜率为k，则可得直线方程为y－kx＋2－k＝0，圆心到直线距离d＝，又圆心到直线的垂线段，圆的半径，弦的一半构成直角三角形，所以d2＋2＝1，可求得k＝1或k＝.
答案：1或
当堂检测
1．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )．
A．相交但不过圆心
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
解析：∵d＝＝＝＜2，
∴直线与圆相交，且不过圆心(0，0)．
答案：A
2．直角坐标平面内，过点P(2，1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线( )．
A．有两条
B．有且仅有一条
C．不存在
D．不能确定
解析：∵点P(2，1)在圆x2＋y2＝4外，∴切线有2条．
答案：A
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )．
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
解析：圆心C(a，0)到直线x－y＝2的距离d＝，由题意得d2＋()2＝22，解得d＝.所以＝，解得a＝0或a＝4.
答案：D
4．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__________．
解析：∵r＝＝＝，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心为(1，2)，半径为1.设直线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离为d＝，故有＝0，解得k＝2.故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝02.2.3
圆与圆的位置关系
第2课时
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1．能够说出圆与圆的位置关系的种类．2．依据圆和圆的方程，学会用代数法判断两圆的位置关系；能通过比较两圆心之间的距离和两半径的和或差的大小用几何法判断圆和圆的位置关系．3．能够根据两圆的位置关系解决两圆相交、相切问题.
重点：根据两圆的方程判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系解决两圆相交、相切问题．难点：相交两圆的公共弦所在直线方程及弦长的求法．疑点：遇到两圆相切时是否分内切与外切进行讨论.
预习导引
1．圆与圆的位置关系有几种？
圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．
2．怎样判断圆与圆的位置关系？
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0≤d＜|r1－r2|
公切线条数
4
3
2
1
0
(2)代数法：设两圆方程分别为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
相离或内含
预习交流1
两圆有且只有一个公共点，两圆位置关系如何？若两圆没有公共点呢？
提示：两圆有且只有一个公共点，则两圆的位置关系为相切(外切或内切)；若两圆没有公共点，则两圆的位置关系为相离或内含．
预习交流2
(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝c2和圆(x－b)2＋(y－a)2＝c2相切，则( )．
A．(a－b)2＝c2
B．(a－b)2＝2c2
C．(a＋b)2＝c2
D．(a＋b)2＝2c2
提示：(1)B (2)B
课堂合作探究
问题导学
1．判断两圆的位置关系
活动与探究1
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，圆C1与圆C2为什么关系？
(2)当m＝4时，圆C1与圆C2为什么关系？
(3)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
思路分析：(1)，(2)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系．(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d＜|r1－r2|.
解：(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.
两圆的圆心距d＝＝2，
又∵r1＋r2＝3＋1＝4，|r1－r2|＝|3－1|＝2，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2.∴圆C1与圆C2相交．
(2)当m＝4时，两圆的方程分别可化为：
C1：(x－4)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.
两圆的圆心距d＝＝，
又∵r1＋r2＝3＋1，∴d＞r1＋r2.∴圆C1与圆C2相离．
(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则＜3－1，即(m＋1)2＜0，显然不等式无解．
故不存在m使得圆C1与圆C2内含．
迁移与应用
实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程：
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
所以圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)．
从而|C1C2|＝＝5，
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，k＝14时，两圆内切．
当14＜k＜34时，则4＜＜6，
即|r2－r1|＜|C1C2|＜r1＋r2时，两圆相交．
当34＜k＜50时，则＜4，
即|＋1|＜|C1C2|时，两圆相离．
名师点津
判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，d＝r1＋r2时，两圆外切，d＝|r1－r2|时，两圆内切，d＞r1＋r2时，两圆相离，0≤d＜|r1－r2|时，两圆内含，|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交．
2．与两圆相交有关的问题
活动与探究2
已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
思路分析：→→
→
解：(1)将两圆方程化为标准方程，21世纪教育网
圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
则圆C1的圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4， ③
把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴或
∴交点坐标为(－4，0)和(0，2)．
∴两圆的公共弦长为＝2.
方法二：两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，∴公共弦长2l＝2.
迁移与应用
1．圆x2＋y2＋3x－y＝0 ①和圆3x2＋3y2＋2x＋y＝0②相交弦所在的直线方程是________________．
解析：联立方程组，由①×3－②即得7x－4y＝0为所求．
答案：7x－4y＝0
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2.
由两圆方程作差得公共弦所在直线方程为y＝.
圆心(0，0)到公共弦的距离d＝＝＝1，得a＝1.
答案：1
名师点津
求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
注意：(1)当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线．
(2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程．
3．与两圆相切有关的问题
活动与探究3
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
思路分析：利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出方程组求解，其中圆与圆外切转化为圆心距问题，圆与直线相切转化为点线距问题．
解：圆方程x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意得解之，得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
迁移与应用
已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0和圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明两圆相切；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程．
解：(1)证明：由题目可知圆C1圆心坐标为(－2，2)，半径r1＝；圆C2圆心坐标为(4，－2)，半径r2＝，|C1C2|＝2，r1＋r2＝2，则|C1C2|＝r1＋r2，所以两圆外切．
(2)由题目可求得两圆相切于点(1，0)，由题意知，所求圆心应在过C1(－2，2)，C2(4，－2)的直线2x＋3y－2＝0上．
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则有
解得
所求圆的方程为3x2＋3y2＋24x－20y－27＝0.
名师点津
处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题．
当堂检测
1．圆A：x2＋y2－2x＝0和圆B：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
解析：圆A的圆心为A(1，0)，半径r1＝1，圆B的圆心为B(0，2)，半径r2＝2，所以|AB|＝.又因为|r2－r1|＝1＜＜r1＋r2＝3，所以两圆相交．
答案：B
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )．
A.
B.
C．2
D．2
解析：两圆的方程相减，可得公共弦所在的直线为12x＋6y－90＝0，即2x＋y－15＝0，设公共弦为AB.由解得A(7，1)，B(5，5)，即|AB|＝＝2.
答案：C
3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是______________．
解析：两圆相交其交点所在直线方程为(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
4．以
(0，2)为圆心，且与圆x2＋y2＝1相外切的圆的方程是____________．
解析：设所求圆的半径为r，则2＝r＋1，∴r＝1，
故所求圆的方程是x2＋(y－2)2＝1.
答案：x2＋(y－2)2＝121世纪教育网
5．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝16}，集合B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2＝a－1}，当A∩B＝时，求a的取值范围．
解：由题意知，此题应分三种情况：
(1)B＝，则a＜1.
(2)B≠且B中只有一个元素，则a－1＝0，
即a＝1，不在集合A中，满足题意．
(3)集合B中含有无数个元素，则两个集合所表示的圆内含或相离，
圆x2＋y2＝16的圆心为O1(0，0)，半径为4，
圆x2＋(y－2)2＝a－1的圆心为O2(0，2)，
半径为，所以a＞1.
|O1O2|＝＝2.
①两圆内含时，|O1O2|＜4－或|O1O2|＜－4，
即2＜4－或2＜－4，解得1＜a＜5或a＞37；
②两圆相离时，|O1O2|＞4＋，即2＞4＋，无解．
综上所述，a的取值范围是a＜5或a＞37.
