1.1 简单几何体 教案
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文档简介
1.1
简单几何体
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类．
2．过程与方法
通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力．
3．情感、态度与价值观
通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：简单几何体的结构特征．
难点：简单几何体的分类．
教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征．
●教学建议
本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体．
●教学流程
创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？ 引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台 通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题 通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征 通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成 归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.认识简单旋转体、简单多面体的结构特征．并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(难点)．2．掌握简单几何体的分类(重点).
知识1
简单旋转体
【问题导思】
观察下列图形
思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？
【提示】 共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成．
1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
2．圆柱、圆锥、圆台的概念及比较
名称
定义
图形表示
相关概念
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的圆心球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台
高：在旋转轴上这条边的长度底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线
知识2
简单多面体
【问题导思】
观察下列图形
思考它们有什么共同特征？
【提示】 组成几何体的每个面都是平面多边形．
1．多面体的定义
把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
表示
棱柱AC′或棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′
棱锥S－AC或棱锥S－ABCDE
棱台AC′或棱台ABCD－A′B′C′D′
结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
有一个面为多边形，其余各面为有一个公共顶点的三角形
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面
平行四边形
三角形
梯形
底面
平行且全等的多边形
多边形
平行且边数相等的多边形
类型1
平面图形的旋转
例1 一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？
【思路探究】 解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．
【自主解答】 图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．
规律方法
1．平面图形的旋转问题一方面要观察平面图形的形状，另一方面要注意旋转轴的位置．
2．线段绕轴旋转一周后形成图形的意义
(1)垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；(2)垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆环面；(3)不垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆锥侧面；(4)不垂直于旋转轴且与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆台侧面；(5)与旋转轴平行的线段旋转所得的图形是圆柱侧面．
互动探究
若将本例中的三角板绕直线l旋转360°(如图1－1－1，其中三角形斜边上的高与直线l垂直)，得到什么图形？
图1－1－1
【解】 旋转360°，得一个圆柱挖去以圆柱上下两个底面为底面的两个圆锥而成的几何体．
类型2
多面体的结构特征
例2 如图1－1－2所示是长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCEF把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体是棱柱吗？若不是，请说明理由；若是，请指出其底面和侧棱．
图1－1－2
【思路探究】 (1)所得的两部分中哪两个面是互相平行的？
(2)若用平行平面作为棱柱的底面，各部分是否是棱柱？
【自主解答】 截面BCEF右方部分是棱柱BB′F—CC′E，其中平面BB′F和平面CC′E是其底面，BC，B′C′，FE是其侧棱，截面BCEF左方部分是棱柱ABFA′—DCED′，其中四边形ABFA′和DCED′是其底面，AD，BC，FE，A′D′是其侧棱．
规律方法
1．对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置．
2．认识、判断一个多面体的结构特征，主要从侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其特征．
变式训练
下列几何体中棱柱的个数为( )
图1－1－3
A．5
B．4
C．3
D．2
【解析】 ①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．
【答案】 D
类型3
简单组合体的构成
例3 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成？
图1－1－4
【思路探究】 认真分析所给几何体的结构，根据简单几何体的特征来说明其组成．
【自主解答】 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体．
图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体．
图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底面重合的三棱台组成的组合体．
规律方法
1．熟练掌握各简单几何体的特征是解决本题的关键．
2．组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体．
变式训练
试判断下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．
【解】 图①是由一个圆锥，一个圆柱和一个圆台组合而成的；
图②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的；
图③是由一个三棱台和一个三棱柱组合而成的；
图④是由一个球和一个圆柱组合而成的.
忽视棱柱的定义致误
典例 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？
【错解】 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
【错因分析】 题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
【防范措施】 正确理解简单几何体的特征、定义可以避免错误．
【正解】 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
1．棱柱、棱锥、棱台的共性
棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体．
2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性
圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．
3．组合体的构成
(1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种类型．
1．有下列命题，其中正确的是( )
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【解析】 圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”，故①③错误，②④正确．
【答案】 D
2．如图1－1－5是由图中的哪个平面图形旋转后得到的( )
【解析】 因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.所以选A.
【答案】 A
3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
【解析】 若是六棱锥，则顶点在底面上，不能构成几何体．
【答案】 D
4．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，矩形ABCD绕AB旋转得圆柱，求其底面半径r及母线长l.
【解】 因为AB为旋转轴，所以r＝BC＝3，l＝AB＝2.
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．圆锥的底面和侧面都是圆面
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【解析】 A错误，圆锥的侧面应为曲面；B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时，正确，其他情况则结论就是错误的；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.
【答案】 C
2．下列说法中正确的是( )
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
【解析】 棱柱都有两个底面，A错误；三棱柱的顶点最少，6个；侧棱最少，3条；棱最少，9条．故选B.
【答案】 B
3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．
【答案】 D
4．下列命题中，正确的是( )
①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；
②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；
③圆台的所有母线的延长线交于同一点；
④侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
A．①④
B．②③
C．③④
D．③
【解析】 ①中棱锥的顶点位置不定，未必能保证侧面为全等的等腰三角形，故①错；②中棱锥，当底面多边形为圆内接多边形，且圆心的正上方为棱锥的顶点时，即可使棱锥的侧棱都相等，但并不一定为正棱锥(以后可证)；③正确，④不正确，反例如图：三棱锥S—ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝2，SA＝BC＝1，显然满足条件，但并非正三棱锥．故选D.
【答案】 D
图1－1－6
5．如图1－1－6，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱台的组合体
D．不确定
【解析】 水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．
【答案】 A
二、填空题
6．(1)伐木工人将树伐倒后，再将枝杈砍掉，根据需要将其截成不同长度的圆木，圆木可以近似地看成________体；
(2)用铁丝做一个三角形，在三个顶点上分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形，从而获得一个几何体模型，如果筷子的长度相同且所在直线平行，那么这个几何体是________．
【解析】 (1)由圆柱的结构特征可知此圆木近似地看作是一个圆柱体；
(2)在该模型中已知一面为三角形，含有筷子的三个面为平行四边形，可知另一个铁丝三角形所在面与最先的铁丝三角形所在平面平行，故此几何体是三棱柱．
【答案】 (1)圆柱 (2)三棱柱
图1－1－7
7．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．
【解析】 三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．
【答案】 圆锥挖去一个球的组合体
8．圆台两底面半径分别是2
cm和5
cm，母线长是3
cm，则它的轴截面的面积是________．
【解析】 画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝
＝63(cm2)．
【答案】 63
cm2
三、解答题
9．如图1－1－8所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．
图1－1－8
【解】 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
10．用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥母线长是3
cm，求圆台的母线长．
【解】 设圆台的母线长为y
cm，圆台上、下底面半径分别是x
cm、4x
cm，作圆锥的轴截面如图．
在Rt△SOA中，O′A′∥OA，
所以SA′∶SA＝O′A′∶OA.
即3∶(y＋3)＝x∶4x，
解得y＝9.
所以圆台的母线长为9
cm.
图1－1－9
11．如图1－1－9所示，是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
【解】 过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，
A′－BCC′.
备选例题
已知下列说法：
①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴，旋转一周所得的旋转体是圆台；
③用一个平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台；
④以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作球．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路探究】 利用旋转体的定义判断．
【自主解答】
甲
圆锥是以直角三角形的直角边为轴旋转形成的，如果不是直角边，将得到图甲所示的几何体，故①错误．
圆台是以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成的，故②错误．
如图乙(1)所示，如果用来截圆锥的平面平行于圆锥的底面，则可得一圆锥和一圆台，否则将得不到圆锥与圆台(如图乙(2)所示)，故③错．
乙
④是球面的定义，球面所围成的几何体叫作球．如常见的篮球、足球可看作球面而不是球．
【答案】 A
规律方法
1．本题主要考查对圆锥、圆柱、圆台、球的定义的理解．特别注意旋转面与旋转体的差别：旋转体包含旋转面所围成的空间中的部分．
2．概念辨析题的判断方法：①利用定义、性质直接判断；②利用常见几何体举反例．
备选变式
有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．
【解析】 球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
【答案】 ①
简单几何体
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类．
2．过程与方法
通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力．
3．情感、态度与价值观
通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：简单几何体的结构特征．
难点：简单几何体的分类．
教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征．
●教学建议
本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体．
●教学流程
创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？ 引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台 通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题 通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征 通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成 归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.认识简单旋转体、简单多面体的结构特征．并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(难点)．2．掌握简单几何体的分类(重点).
知识1
简单旋转体
【问题导思】
观察下列图形
思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？
【提示】 共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成．
1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
2．圆柱、圆锥、圆台的概念及比较
名称
定义
图形表示
相关概念
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的圆心球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台
高：在旋转轴上这条边的长度底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线
知识2
简单多面体
【问题导思】
观察下列图形
思考它们有什么共同特征？
【提示】 组成几何体的每个面都是平面多边形．
1．多面体的定义
把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
表示
棱柱AC′或棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′
棱锥S－AC或棱锥S－ABCDE
棱台AC′或棱台ABCD－A′B′C′D′
结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
有一个面为多边形，其余各面为有一个公共顶点的三角形
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面
平行四边形
三角形
梯形
底面
平行且全等的多边形
多边形
平行且边数相等的多边形
类型1
平面图形的旋转
例1 一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？
【思路探究】 解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．
【自主解答】 图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．
规律方法
1．平面图形的旋转问题一方面要观察平面图形的形状，另一方面要注意旋转轴的位置．
2．线段绕轴旋转一周后形成图形的意义
(1)垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；(2)垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆环面；(3)不垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆锥侧面；(4)不垂直于旋转轴且与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆台侧面；(5)与旋转轴平行的线段旋转所得的图形是圆柱侧面．
互动探究
若将本例中的三角板绕直线l旋转360°(如图1－1－1，其中三角形斜边上的高与直线l垂直)，得到什么图形？
图1－1－1
【解】 旋转360°，得一个圆柱挖去以圆柱上下两个底面为底面的两个圆锥而成的几何体．
类型2
多面体的结构特征
例2 如图1－1－2所示是长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCEF把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体是棱柱吗？若不是，请说明理由；若是，请指出其底面和侧棱．
图1－1－2
【思路探究】 (1)所得的两部分中哪两个面是互相平行的？
(2)若用平行平面作为棱柱的底面，各部分是否是棱柱？
【自主解答】 截面BCEF右方部分是棱柱BB′F—CC′E，其中平面BB′F和平面CC′E是其底面，BC，B′C′，FE是其侧棱，截面BCEF左方部分是棱柱ABFA′—DCED′，其中四边形ABFA′和DCED′是其底面，AD，BC，FE，A′D′是其侧棱．
规律方法
1．对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置．
2．认识、判断一个多面体的结构特征，主要从侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其特征．
变式训练
下列几何体中棱柱的个数为( )
图1－1－3
A．5
B．4
C．3
D．2
【解析】 ①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．
【答案】 D
类型3
简单组合体的构成
例3 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成？
图1－1－4
【思路探究】 认真分析所给几何体的结构，根据简单几何体的特征来说明其组成．
【自主解答】 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体．
图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体．
图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底面重合的三棱台组成的组合体．
规律方法
1．熟练掌握各简单几何体的特征是解决本题的关键．
2．组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体．
变式训练
试判断下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．
【解】 图①是由一个圆锥，一个圆柱和一个圆台组合而成的；
图②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的；
图③是由一个三棱台和一个三棱柱组合而成的；
图④是由一个球和一个圆柱组合而成的.
忽视棱柱的定义致误
典例 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？
【错解】 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
【错因分析】 题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
【防范措施】 正确理解简单几何体的特征、定义可以避免错误．
【正解】 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
1．棱柱、棱锥、棱台的共性
棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体．
2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性
圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．
3．组合体的构成
(1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种类型．
1．有下列命题，其中正确的是( )
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【解析】 圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”，故①③错误，②④正确．
【答案】 D
2．如图1－1－5是由图中的哪个平面图形旋转后得到的( )
【解析】 因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.所以选A.
【答案】 A
3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
【解析】 若是六棱锥，则顶点在底面上，不能构成几何体．
【答案】 D
4．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，矩形ABCD绕AB旋转得圆柱，求其底面半径r及母线长l.
【解】 因为AB为旋转轴，所以r＝BC＝3，l＝AB＝2.
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．圆锥的底面和侧面都是圆面
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【解析】 A错误，圆锥的侧面应为曲面；B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时，正确，其他情况则结论就是错误的；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.
【答案】 C
2．下列说法中正确的是( )
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
【解析】 棱柱都有两个底面，A错误；三棱柱的顶点最少，6个；侧棱最少，3条；棱最少，9条．故选B.
【答案】 B
3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．
【答案】 D
4．下列命题中，正确的是( )
①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；
②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；
③圆台的所有母线的延长线交于同一点；
④侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
A．①④
B．②③
C．③④
D．③
【解析】 ①中棱锥的顶点位置不定，未必能保证侧面为全等的等腰三角形，故①错；②中棱锥，当底面多边形为圆内接多边形，且圆心的正上方为棱锥的顶点时，即可使棱锥的侧棱都相等，但并不一定为正棱锥(以后可证)；③正确，④不正确，反例如图：三棱锥S—ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝2，SA＝BC＝1，显然满足条件，但并非正三棱锥．故选D.
【答案】 D
图1－1－6
5．如图1－1－6，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱台的组合体
D．不确定
【解析】 水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．
【答案】 A
二、填空题
6．(1)伐木工人将树伐倒后，再将枝杈砍掉，根据需要将其截成不同长度的圆木，圆木可以近似地看成________体；
(2)用铁丝做一个三角形，在三个顶点上分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形，从而获得一个几何体模型，如果筷子的长度相同且所在直线平行，那么这个几何体是________．
【解析】 (1)由圆柱的结构特征可知此圆木近似地看作是一个圆柱体；
(2)在该模型中已知一面为三角形，含有筷子的三个面为平行四边形，可知另一个铁丝三角形所在面与最先的铁丝三角形所在平面平行，故此几何体是三棱柱．
【答案】 (1)圆柱 (2)三棱柱
图1－1－7
7．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．
【解析】 三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．
【答案】 圆锥挖去一个球的组合体
8．圆台两底面半径分别是2
cm和5
cm，母线长是3
cm，则它的轴截面的面积是________．
【解析】 画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝
＝63(cm2)．
【答案】 63
cm2
三、解答题
9．如图1－1－8所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．
图1－1－8
【解】 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
10．用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥母线长是3
cm，求圆台的母线长．
【解】 设圆台的母线长为y
cm，圆台上、下底面半径分别是x
cm、4x
cm，作圆锥的轴截面如图．
在Rt△SOA中，O′A′∥OA，
所以SA′∶SA＝O′A′∶OA.
即3∶(y＋3)＝x∶4x，
解得y＝9.
所以圆台的母线长为9
cm.
图1－1－9
11．如图1－1－9所示，是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
【解】 过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，
A′－BCC′.
备选例题
已知下列说法：
①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴，旋转一周所得的旋转体是圆台；
③用一个平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台；
④以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作球．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路探究】 利用旋转体的定义判断．
【自主解答】
甲
圆锥是以直角三角形的直角边为轴旋转形成的，如果不是直角边，将得到图甲所示的几何体，故①错误．
圆台是以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成的，故②错误．
如图乙(1)所示，如果用来截圆锥的平面平行于圆锥的底面，则可得一圆锥和一圆台，否则将得不到圆锥与圆台(如图乙(2)所示)，故③错．
乙
④是球面的定义，球面所围成的几何体叫作球．如常见的篮球、足球可看作球面而不是球．
【答案】 A
规律方法
1．本题主要考查对圆锥、圆柱、圆台、球的定义的理解．特别注意旋转面与旋转体的差别：旋转体包含旋转面所围成的空间中的部分．
2．概念辨析题的判断方法：①利用定义、性质直接判断；②利用常见几何体举反例．
备选变式
有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．
【解析】 球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
【答案】 ①