1.1.1 简单旋转体 同步练习1（含答案）

1.1.1
简单旋转体
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．关于下列几何体，说法正确的是(　　)
A．图①是圆柱
B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台
D．图⑤是圆台
[答案]　D
[解析]　图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为(　　)
A．10　　　　
B．20　　　　
C．40　　　　
D．15
[答案]　B
[解析]　圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是(　　)
A．圆锥
B．圆柱
C．球体
D．以上均有可能
[答案]　B
[解析]　圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．
4．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成(　　)
[答案]　C
[解析]　汽车内胎是圆形筒状几何体．
5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　)
[答案]　B
[解析]　由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为(　　)
A．13
B．12
C．5
D．
[答案]　A
[解析]　设球的半径为R，则R＝＝13.
二、填空题
7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为________．
[答案]　2
[解析]　设下底面半径为r，则＝tan45°，∴r＝2.
8．有下列说法：
①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．
其中正确的有________．
[答案]　①
[解析]　球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
三、解答题
9．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的小圆锥的母线长是3
cm，求圆台OO′的母线长．
[解析]　设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.过轴SO作截面
如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，
∴＝.
又SA′＝3，SA＝3＋l，O′A′＝r，OA＝4r，
∴＝＝.解得l＝9.
即圆台的母线长为9
cm.
能力提升
一、选择题
1．下列命题中，错误的是(　　)
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
[答案]　B
[解析]　当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
[答案]　B
[解析]　如图，设球的半径为R，
两截面圆的半径分别为r1，r2，
则πr＝5π，πr＝8π，
∴r1＝，r2＝2.
又O1O2＝1，取OO2＝x，
则有R2＝5＋(x＋1)2，R2＝8＋x2，
∴5＋(x＋1)2＝8＋x2，
∴x＝1，∴R＝3.
二、填空题
3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．
[答案]　2
[解析]　如图所示，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高是，
∵·2r·＝8，
∴r＝2.∴圆锥的高为＝2.
4．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为，则其底面面积为________．
[答案]　
[解析]　如图所示，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC，设圆锥的底面半径为r.
∵△ABC为等腰三角形，
∴△ABO为直角三角形．
又∵∠BAO＝30°，
∴BO＝r＝AB＝.
∴底面圆O的面积为S＝πr2＝.
三、解答题
5．如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
[解析]　(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．
(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图(2)所示．
(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．
6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长．
[解析]　如图△SAB为等边圆锥的轴截面，
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则在轴截面△SAB中，
有OB＝r，SO＝h，SB＝l，
且∠SBO＝60°.
在直角△SOB中，h＝r，l＝2r，
所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝r2，
根据题意得r2＝，
解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝r＝.
即该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2.
7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析]　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．
因为圆台上底面面积为4πcm2，
所以上底面半径为2cm.
又因为圆台下底面面积为25πcm2，
所以下底面半径为5cm，
所以高为AM＝＝3(cm)．
(2)延长BA，CD相交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
因为Rt△SAO1∽Rt△SBO，
所以＝，即＝，
解得l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.