1.2 直观图 同步练习1（含答案）

1.2
直观图
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.给出以下几个结论:
①水平放置的角的直观图一定是角.
②相等的角在直观图中仍相等.
③相等的线段在直观图中仍相等.
④若两线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行.
其中叙述正确的个数是(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
2.水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(
)
(A)锐角三角形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)任意三角形
3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如
图所示，已知B′C′＝4，A′C′=3，
则△ABC中AB边上的中线的长度为(
)
(A)
(B)
(C)5
(D)
4.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的(
)
(A)2倍
(B)倍
(C)倍
(D)倍
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(易错题)以正方形一组邻边为x轴、y轴的正方形的直观图是一个平行四边形，其中直观图中有一边长为4，则此正方形的面积是________.
6.如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′=
B′D′=2A′D′，由图判断原三角形中AB，BO，BD，
OD从小到大的顺序是_________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.画出正六棱柱的直观图.
8.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.
【挑战能力】
(10分)用斜二测画法画出多边形A1A2…An的直观图A1′A2′…An′，试探索多边形A1A2…An与A1′A2′…An′的面积之间有无确定的数量关系(提示:先从三角形入手).
答案解析
1.【解析】选B.由正方形的直观图是邻边不等的平行四边形，知②③错误.在直观图中平行性不变，故④正确.由斜二测画法的规则知①正确.
2.【解析】选C.如图，原图中∠BAC>90°.
3.【解题指南】先将直观图还原为
原图形，然后再求解.
【解析】选A.原平面图形如图所示.
∴
∴AB边上的中线的长度为
4.【解析】选B.对于一个底边在x轴上的三角形，其直观图在x轴上的底边长度不变，对应的高是原三角形高的倍，由此知其直观图的面积是原三角形面积的倍.
【一题多解】一般性结论，对于特殊情况一定成立.作出Rt△ABO及其直观图(如图)，求它们的面积比即可.
设OA=a，OB=2b，则O′A′=a，O′B′=b，
S△ABO=ab，S△A′B′O′=
故选B.
5.【解析】若直观图中与x′轴平行的那条边的长为4，则此正方形的面积为16；若直观图中与y′轴平行的那条边的长为4，则此正方形的面积为82=64.
答案：
16或64
【误区警示】本题易出现漏解，只得到一种答案的错误.
6.【解析】将直观图还原为原图形如图，
由三角形的有关性质可知，
BO>AB>BD>OD.
答案：OD7.【解析】(1)画轴.画x′轴、y′轴、z′轴，
使∠x′O′y′=45°，∠x′O′z′=90°.
(2)画底面.根据平面图形的直观图的画法画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长.
(4)成图.顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图.
8.【解析】(1)画直角坐标系xOy，在x轴上
取OA=O′A′，即CA=C′A′.
(2)在原图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′
轴于D′，在x轴上取OD=O′D′，过D作
DB∥y轴，并使DB=2D′B′.
(3)连接AB、BC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，如图所示.
【挑战能力】
【解析】(1)设有△ABC，CD为高，AB边平行于x轴，其直观图为△A′B′C′，则有C′D′=CD，
△A′B′C′的高为C′M=C′D′=CD，
所以S△A′B′C′=A′B′·C′M=AB·CD=S△ABC.
(2)当△ABC的三边都不与x轴平行时，必可过其一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交，不妨设可过A作直线交BC于D，则AD将△ABC分成两个三角形△ABD和△ACD，由(1)可知
S△A′B′C′=S△A′B′D′+S△A′C′D′=S△ABD+S△ACD=S△ABC.
(3)对多边形A1A2…An，可连接A1A3，A1A4，…，A1An-1，得到(n-2)个三角形，
即△A1A2A3，△A1A3A4，…，A1An-1An，由(1)和(2)知
综上可知，一个多边形与其直观图的面积之间有确定的数量关系.