1.2 直观图 同步练习3（含答案）

1.2
直观图
同步练习
1．如图所示，该直观图表示的平面图形为(　　)．
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．正三角形
解析　由于AB∥y′轴，BC∥x′轴，所以AB⊥BC，因此△ABC为直角三角形．
答案　C
2．下列关于斜二测画法的叙述中，正确的个数为(　　)．
(1)两条相交直线的直观图可能是平行直线；
(2)两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直；
(3)正方形的直观图可能是梯形；
(4)平行四边形的直观图是平行四边形；
(5)相等线段的直观图仍然相等．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析　由于斜二测画法的保共点性，所以(1)错；原来垂直的两直线，在直观图中夹角可能为45°，所以(2)错；保平行性，所以(3)错，(4)对；与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以(5)错．
答案　A
3．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)．
解析　C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的.
答案　C
4．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是________________．
解析　斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．
答案　①②
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析　由直观图可知实际图形为直角三角形，且∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝5，AB边上中线为.
答案　
6．画出水平放置的等腰梯形的直观图．
解　画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，
使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′
∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连结B′C′、D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图(2)．
7．如图所示，为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列选项中的(　　)．
解析　很明显平面图形是梯形，在直观图中，右边的线段与y′轴平行，因此平面图形的上底与右边的腰应垂直．
答案　C
8．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(　　)．
A.a2　　　B.a2　　　C.a2　　　D.a2
解析　画△ABC直观图如图(1)所示：
图(1)　　　　　　　　　图(2)　　
则A′D′＝a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝a.
画△ABC的实际图形，则如图(2)所示，
AO＝2A′O′＝a，BC＝B′C′＝a，
∴S△ABC＝BC·AO＝a2.
答案　C
9．在正方体ABCD A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________(只填序号)．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的正投影是正方形；
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的正投影是全等的平行四边形．
解析　①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B、C、D、A，故投影是正方形，正确；
②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝，故四边形AGD′E不是菱形．对于③由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．
答案　①③
10．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的________倍．
解析　由于平行于y轴的线段其平行性不变，长度变为原来的一半，又直观图中∠x′O′y′＝45°，∴S′＝×S＝S.
答案　
11．把如图所示的水平放置的直观图A′B′C′D′还原为真正的平面图形．
解　画法：(1)在水平放置的直观图中延长D′A′，交x′轴于E′.
(2)如图所示，画互相垂直的轴Ox，Oy，取OE＝O′E′，过E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过D作DC∥x轴，过A作AB∥x轴，并且截取DC＝D′C′，AB＝A′B′.
(3)连结BC，得直观图A′B′C′D′的还原图形．
12．(创新拓展)一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
解　如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．
因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.
连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.