1.4 空间图形的基本关系与公理 教案

1.4
空间图形的基本关系与公理
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系；(2)理解异面直线的概念，以及空间图形基本关系；(3)掌握空间图形的三个公理．
2．过程与方法
培养和发展学生的空间想象能力，运用图形语言进行交流的能力，通过典例的学习和自主探索让学生体会蕴涵在其中的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度，体会推理论证中反映出的辨证思维的价值观．
●重点难点
重点：空间图形的基本关系及3个公理．
难点：三种语言：文字语言、图形语言和符号语言的转化．
教学时要注意图形语言、文字语言、符号语言的综合描述，在用文字和符号描述对象时，要紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，以帮助学生在图形的基础上发展数学语言．
●教学建议
本节知识与学生的生活联系密切，如直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等都可以在学生的生活世界中找到模型．因此教学时，既要引导学生多从生活中的实际出发，把所学到的知识同周围的现象联系起来，同时还要注意让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程．另外，还应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言．
●教学流程
通过两大问题引出空间图形的位置关系及3个公理 通过例1及变式训练，使学生掌握文字语言、图形语言、符号语言间的转化 通过例2及互动探究，使学生掌握点、线共面问题的证明 通过例3及变式训练，让学生掌握点共线、线共点问题的证明 归纳整理课堂小结，整体认识本节所学知识 完成当堂双基达标，巩固本节所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系(重点)．2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关系(难点)．3．掌握空间图形的三个公理(重点).
知识1
空间图形的基本位置关系
【问题导思】　
1．长方体的一个顶点与12条棱和6个面有12种位置关系？
2．12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
3．棱所在直线与面之间有几种位置关系？
4．六个面之间有哪几种位置关系．
【提示】　1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交．
3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
4．平行和相交．
1.
位置关系
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
点A不在直线a上
点B在直线a上
A a
B∈a
点与面的位置关系
点A在平面α内
点B在平面α外
A∈α
B α
直线与直线的位置关系
平行
a∥b
相交
a∩b＝O
异面
a与b异面
直线与平面的位置关系
线在面内
a α
线面相交
a∩α＝A
线面平行
a∥α
续表　　
平面与平面的位置关系
面面平行
α∥β
面面相交
α∩β＝a
2．异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线．
知识2
空间图形的公理
【问题导思】　
1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？
【提示】　1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
名称
内容
图形表示
符号表示
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)
若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l α
公理2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)
若A、B、C三点不共线，则A、B、C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l
类型1
文字语言、图形语言、符号语言的互译
例1　根据图形，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．
图1－4－1
(1)图(1)可以用符号语言表示为：_______________.
(2)图(2)可以用符号语言表示为：______________.
【思路探究】　(1)图中平面α、平面β是什么关系？
(2)图(1)中直线a与平面α，直线b与平面β，直线a、b与交线AB是什么关系？
(3)图(2)中△ABC的三个顶点满足什么条件？
【自主解答】　(1)α∩β＝AB，a α，b β，a∥AB，b∥AB.
(2)α∩β＝MN，A∈MN，B∈α，C∈β，B MN，C MN.
规律方法
1．分析好图形的位置关系是本题的解题关键．
2．三种语言之间转化的基本思路是，观察图形、分析位置关系、符号表示．
变式训练
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线b β且a∥AB，b∥AB的图形是(　　)
【解析】　由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
【答案】　D
类型2
点、线共面问题
例2　已知：如图1－4－2所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
图1－4－2
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
【思路探究】　先选取两条直线构造一个平面，然后证明另一条直线在这个平面上或构造两个平面，证明这两个平面重合．
【自主解答】　法一　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
法二　(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，
即直线l1、l2、l3在同一平面内．
规律方法
1．同一法证明直线共面的步骤
(1)证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；
(2)证明其余直线上均有两点也在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面．
2．重合法证明直线共面的步骤
(1)证明这些直线确定若干个平面；
(2)利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面．
互动探究
本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同一平面内．
【证明】　∵l1∥l2，
∴l1、l2确定一个平面记为α.
∵l1∩l3＝C，∴C∈l1.
∵l1 α，∴C∈α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
∵l2 α，∴B∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α，
即l1、l2、l3在同一平面内.
类型3
点共线问题
例3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图1－4－3，求证：P、Q、R三点共线．
图1－4－3
【思路探究】　(1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何关系？
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关系？
【自主解答】　法一　∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，
∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
规律方法
1．法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．
2．证明此类问题的关键是证明这些点是两个相交平面的公共点．
变式训练
　如图1－4－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．
图1－4－4
【证明】　∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
且A1C在平面A1D1CB内，
∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，
∴B、Q、D1三点共线.
忽视平面的确定性致误
典例　已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
【错解】　∵A，B，C，D共面，
∴点A在点B，C，D所确定的平面内．
∵点B，C，D，E四点共面，
∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，
∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，
即点A，B，C，D，E一定共面．
【错因分析】　在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．
【防范措施】　证明共面问题的理论依据是公理2，注意平面的确定可以免避上述错误的出现．
【正解】　A，B，C，D，E五点不一定共面．
(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；
(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．
1．空间中点、线、面的位置关系，异面直线的画法及判定．
2．文字语言、图形语言、符号语言三种语言的转化．
3．公理1，公理2，公理3都是判定点、线、面位置关系的依据．公理1的作用是证明直线在平面内，公理2是确定平面的依据，由公理1和公理2可解决点、线共面的证明问题，公理3是判定两个平面相交的依据，同时也可用来证明点共线或三条线交于一点的问题.
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)
A．A∈l，l α　　　
　　　B．A∈l，l α
C．A l，l α
D．A l，l α
【解析】　点A在直线上用“∈”，直线在平面外用“”．
【答案】　A
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有
(　　)
A．2条　　　B．4条　　　C．6条　　　D．8条
【解析】　画出图形，观察图形可知与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．
【答案】　B
3．一条直线和直线外两点可确定平面的个数是(　　)
A．1
B．
2
C．
3
D．1或2
【解析】　当这两点与直线共面时，可确定一个平面；当这两点和直线不共面时，可确定两个平面．
【答案】　D
4．如图1－4－5，在△ABC中，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．
图1－4－5
【解】　AC在平面α内．
∵AB在平面α内．
∴A∈α.
又BC在平面α内．
∴C∈α，
∴AC在平面α内．
一、选择题
1．下列叙述中错误的是(　　)
A．若P∈α∩β且α∩β＝l，则P∈l
B．三点A，B，C只能确定一个平面
C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α
【解析】　不共线的三点才能确定平面，所以B错．
【答案】　B
2．下列说法正确的是(　　)
A．平面α和平面β只有一个公共点
B．两两相交的三条直线必共面
C．不共面的四点中，任何三点不共线
D．有三个公共点的两平面必重合
【解析】　四点中，若三点共线，则四点便成了一条直线和直线外一点，则共面，所以与四点不共面矛盾，所以C正确．
【答案】　C
3．已知a，b是异面直线，直线c
∥a，则c与b(　　)
A．一定是异面直线　　B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
【解析】　若a，b异面，c∥a，则c与b相交或异面，则C正确．
【答案】　C
图1－4－6
4．如图1－4－6，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，
且点C∈β，点C l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　)
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．直线AR
【解析】　∵C∈平面ABC，AB?平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，l β，R∈l，∴R∈β，
∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.
【答案】　C
5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则(　　)
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
【解析】　因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．
【答案】　A
二、填空题
图1－4－7
6．如图1－4－7所示，用符号语言可表示为________．
【解析】　根据图形语言与符号语言之间的转化可得α∩β＝m，n α，m∩n＝A.
【答案】　α∩β＝m，n α，m∩n＝A
图1－4－8
7．如图1－4－8，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】　观察图形可知①③错误，②④正确．
【答案】　②④
8．下列说法中正确的个数是________．
①两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
【解析】　对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，故④不正确．故正确的个数为1.
【答案】　1
三、解答题
9．用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解】　(1)语句可表示为α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形如图①所示．
(2)语句可表示为平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形如图②所示．
图1－4－9
10．如图1－4－9所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
【证明】　∵AB∥CD，
∴可设AB，CD确定一个平面β.
又∵AB∩α＝E，AB β，
∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵由公理3两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线．
∴E，F，G，H四点必定共线．
11．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a、b、c、d共面．
【证明】　(1)无三线共点情况．
如图所示，设a∩d＝M，
b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，
a∩c＝R，b∩c＝S，∵a∩d＝M，
∴a、d可确定一个平面α.
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，
∴NQ α，即b α，同理c α，
∴a、b、c、d共面．
(2)有三线共点的情况，
如图所示，
设b、c、d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N、P、M且K a，
∵K a，∴K和a确定一个平面，设为β.
∵N∈a，a β，∴N∈β，∴NK β，即b β.
同理c β，d β，∴a、b、c、d共面，
由(1)(2)可知a、b、c、d共面
备选例题
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点．
【思路探究】　解答本题可先证明两条直线相交于一点，再证明该交点也在另外一条直线上．
【自主解答】　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.
由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a、b、c三条直线相交于同一点．
规律方法
1．证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．
2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．
备选变式
　如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一点．
【证明】　∵A1B1∥AB，
∴直线A1B1与AB确定一平面α.
同理，直线B1C1与BC确定一平面β，直线C1A1与CA确定一平面γ.
易知β∩γ＝C1C.
又△ABC与△A1B1C1不全等，
∴AA1与BB1相交，
设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.
而AA1 γ，BB1 β，∴P∈γ，P∈β，
∴P在平面β与平面γ的交线上．
又β∩γ＝C1C，
根据公理2知，P∈C1C，
∴直线AA1、BB1、CC1交于一点．
第2课时　空间图形的公理(公理4，定理)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解公理4及等角定理，会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．
(2)了解异面直线所成的角的定义，会求异面直线所成的角．
2．过程与方法
通过学习公理4及等角定理培养学生的空间想象能力，通过异面直线所成的角让学生体会数学的转化、化归方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度．
●重点难点
重点：公理4与等角定理．
难点：异面直线所成的角．
公理4表明了平行的传递性，可以作判断两条直平行的依据，其直接作用是证明等角定理，为研究异面直线所成角打基础．等角定理是定义异面直线所成角的理论基础．
●教学建议
本节知识是上节课的继续，上节课讲了3个公理、异面直线的概念，本节课解决异面直线所成角及它的理论基础公理4、定角定理，因此教学时宜采用探究式模式，让学生以长方体为载体，通过“观察”引入公理4，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会．
●教学流程
通过问题引出公理4，等角定理及异面直线所成的角 通过例1及变式训练，使学生掌握公理4的应用 通过例2及互动探究，使学生掌握等角定理的应用 通过例3及变式训练，使学生掌握如何求异面直线所成的角 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行矫正
课标解读
1.了解公理4及等角定理．2．会用公理4和等角定理进行简单的推理论证(重点)．3．了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角(重点、难点).
知识1
公理4、等角定理
【问题导思】　
1．把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？
2．在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？
3．在平面上，“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．那么在空间中，结论是否仍然成立呢？
【提示】　1.平行.2.平行.3.仍成立．
1．公理4
文字语言
图形语言
符号语言
平行于同一条直线的两条直线平行
若a∥b，b∥c，则a∥c
2.定理(等角定理)
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识2
异面直线所成的角
【问题导思】　
在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，棱AB与棱B′C′什么关系？在平面内我们是如何定量的研究两条相交直线的位置关系的？那么在空间中又如何定量的确定棱AB与棱B′C′的相对位置关系？
【提示】　棱AB与棱B′C′是异面直线；在平面内我们通过两条直线的“夹角”来定量的确定两条相交直线的位置关系，类似的，我们可以用两条棱“所成的角”来定量的确定异面直线的相对位置关系．
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a、b所成的角．
取值范围
异面直线所成的角θ的取值范围：(0，]
特例
当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b
类型1
公理4的应用
例1　已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD、AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．
【思路探究】　观察图形→证明MN∥A′C′
且MN≠A′C′
【自主解答】　如图，连接AC.
∵M、N分别为CD、AD的中点，∴MN平行并等于AC.
由正方体的性质可知AC平行并等于A′C′，∴MN平行并等于A′C′，
∴四边形MNA′C′是梯形．
规律方法
1．解答本题易出现“只证MN∥A′C′”，而忽视“证明MN≠A′C′”的错误．
2．公理4是证明两直线平行的重要方法，应用的关键在于寻找与所证直线平行的“中间直线”．
图1－4－10
已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、CC1的中点，如图1－4－10所示．求证：BF綊ED1.
【证明】　如图所示，取BB1的中点G.连接GC1、GE.
∵F为CC1的中点，∴BG平行并等于C1F.
∴四边形BGC1F为平行四边形．
∴BF平行并等于GC1.又∵EG平行并等于A1B1，A1B1平行并等于C1D1，∴EG平行并等于C1D1，
∴四边形EGC1D1为平行四边形，
∴ED1平行并等于GC1.∴BF平行并等于ED1.
类型2
等角定理的应用
例2　如图1－4－11所示，已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，
图1－4－11
求证：∠C1E1B1＝∠CEB.
【思路探究】　证明空间两角相等有何定理？
【自主解答】　连结EE1，∵E，E1分别是AD，A1D1的中点，∴A1E1綊AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A平行并等于E1E.
又A1A平行并等于B1B，
由公理4知B1B平行并等于E1E，
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1∥EB.
同理E1C1∥EC.
又∠C1E1B1与∠CEB的对应边方向相同，
∴∠C1E1B1＝∠CEB.
规律方法
1．本题易出现漏掉“对应边方向相同”这样的错误．
2．利用空间等角定理证明两角相等时，一要说明两角的对应边分别平行；二要说明两角的方向相同．
互动探究
正方体ABCD—A1B1C1D1不变，其他条件改为E、F、G分别是棱CC1、BB1、DD1中点．求证：∠BGC＝∠FD1E.
图1－4－12
【证明】　∵E、F、G分别是正方体的棱CC1、BB1、DD1的中点，
∴CE平行并等于GD1，BF平行并等于GD1，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．
∴GC∥D1E，GB∥D1F，
∵∠BGC与∠FD1E的方向相同，
∴∠BGC＝∠FD1E.
类型3
求异面直线所成的角
例3　如图1－4－13所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．
图1－4－13
【思路探究】　如何找出异面直线所成的角？
【自主解答】　如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.
∵E，F分别为BC，AD的中点，
∴EG∥CD，GF∥AB，EG＝CD，GF＝AB.
∴∠GFE就是EF与AB所成的角，
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，即∠EGF＝90°.
∵AB＝CD，∴GF＝EG，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.
规律方法
1．异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°.
2．利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤是：
(1)平移；(2)证明；(3)计算；(4)检验．
变式训练
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AD的中点，求AD1与EF所成的角的大小．
图1－4－14
【解】　∵EF∥B1D1，
∴∠AD1B1为AD1与EF所成的角或其补角，连接AB1，
则△AB1D1为正三角形．
∴∠AD1B1＝60°.
化归思想在求两异面直线所成角问题中的应用
(12分)如图1－4－15，空间四边形ABCD中，两条对边AB＝3，CD＝3，E、F分别是另外两条对边AD、BC上的点，且＝＝，EF＝，求AB和CD所成的角的大小．
图1－4－15
【思路点拨】　
在BD上取点M使BM＝MD→EM∥AB，MF∥DC
→∠EMF(或其补角)即为所求
【规范解答】　如题图，在BD上取点M使BM＝MD，连接EM，MF.
∵＝＝，
∴EM平行并等于AB，MF平行并等于DC.
4分
∴∠EMF(或其补角)为AB和CD所成的角.
6分
∵AB＝3，CD＝3，∴EM＝2，MF＝1.又∵EF＝，
∴∠EMF＝60°.
10分
∴AB和CD所成的角为60°.
12分
【思维启迪】　通过作平行线把异面直线所成的角转化为相交两直线所成的角，这就体现了化归思想．
1．平行公理又称平行线的传递性，它表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节．
2．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件．
3．异面直线所成的角通过作平行线转化为相交直线所成的角．
1．a，b，c为三条不重合的直线，如果a⊥c，b⊥c，则a，b的位置关系必定是(　　)
A．相交　　　　
　　　
B．平行
C．异面
D．以上答案都不对
【解析】　垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面．
【答案】　D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与DD1所成的角是(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
【解析】　AA1∥DD1 ∠AA1B是异面直线A1B与DD1所成的角，
在Rt△ABA1中，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，故选B.
【答案】　B
图1－4－16
3．已知如图1－4－16，在三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN
<(AC＋BD)
【解析】　如题图，取AD的中点P，连接NP、MP.
∵M、N也分别为AB、CD的中点，
∴NP平行并等于AC，MP平行并等于BD，
∴在△MPN中，
MP＋NP＝(AC＋BD)>MN.
【答案】　D
4．如图1－4－17所示，不共面的三条射线OA、OB、OC，点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC上的点，且＝＝.
图1－4－17
求证：△A1B1C1∽△ABC.
【证明】　在△OAB中，∵＝，∴A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
∴∠C1A1B1＝∠CAB，
∠A1B1C1＝∠ABC.
∴△A1B1C1∽△ABC.
一、选择题
1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)
A．相交　　　B．异面　　　C．相交或异面　　
D．平行
【解析】　可能相交，如图，A1B1∥C1D1，DD1与A1B1异面，而DD1与C1D1相交；
可能异面，E、F为B1C1、BC的中点，则EF与A1B1、EF与C1D1都是异面直线，不可能平行，故选C.
【答案】　C
2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
【解析】　OB与O1B1不一定平行，反例如图．
【答案】　D
3．已知一对等角，若一个角的一边和另一个角的一边平行，则它的另一边(　　)
A．一定平行
B．一定不平行
C．一定相交
D．不一定平行
【解析】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∠D1A1B1＝∠DAB，AD∥A1D1，AB∥A1B1，
但∠D1A1B1＝∠B1C1C.A1D1∥B1C1，A1B1与CC1不平行，故选D.
【答案】　D
图1－4－18
4．如图1－4－18，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45°　　　　B．60°　　　　C．90°　　　　D．120°
【解析】　取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG、IH、HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
【答案】　B
5．下列命题中，正确的结论有(　　)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】　①错，符合条件的两角相等或互补；②符合等角定理；③错，可能不相等也不互补；④是公理4.故②④正确．
【答案】　B
二、填空题
图1－4－19
6．如图1－4－19，在三棱锥P—ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
【解析】　据异面直线的定义可知共3对，AP与BC，CP与AB，BP与AC.
【答案】　3
7．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．
【解析】　如图，可借助长方体理解，
令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，
DD1均满足题目条件，
故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．
【答案】　平行、相交或异面
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有________条．
【解析】　与AD1成60°的面对角线有A1C1，B1D1，AC，BD，AB1，A1B，D1C，DC1共8条．
【答案】　8
三、解答题
9．长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
图1－4－20
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.
【证明】　(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM平行并等于A1B1，
∵A1B1平行并等于C1D1，
∴EM平行并等于C1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MB平行并等于C1F，
∴BF∥C1M，
∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠D1EA1.
10．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，求异面直线AD与BC1所成角的大小．
【解】　如图，取AC中点E，
连接C1E，BE，
∵C1D平行并等于AE，
∴四边形AEC1D为平行四边形，
∴C1E∥AD，
∴∠BC1E即为异面直线AD和BC1所成角．
在Rt△ABC中，
AC＝＝2，
∴BE＝EC＝，
在Rt△C1CE中，
EC1＝＝，
又∵BC1＝2，
∴△BC1E中，BC＝BE2＋EC，
∴∠BEC1＝90°，
∴sin∠BC1E＝＝＝，
∴∠BC1E＝30°.
11．长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为1，M、N分别是边C1D1与A1D1的中点．
(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；
(2)求梯形MNAC的面积．
【解】　(1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线，如图所示，
则有MN平行并等于A1C1，
又A1C1平行并等于AC，
∴MN平行并等于AC.
∴M、N、A、C共面，
且四边形MNAC为梯形．
∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M，
∴AN＝CM.
∴四边形MNAC为等腰梯形．
(2)由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2.
AC＝2，MN＝，
∴梯形MNAC的高为
h＝
＝，
∴S梯形ACMN＝(AC＋MN)h＝.
备选例题
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点．
求证：(1)EF綊E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【思路探究】　第(1)问若能设法证明两直线平行于同一条直线，则借助公理4可解；第(2)问考虑利用等角定理求解．
【自主解答】　(1)连接BD，
B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF平行并等于BD.同理，E1F1平行并等于B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形．因此BD綊B1D1，
又EF平行并等于BD，E1F1平行并等于B1D1，所以EF平行并等于E1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1平行并等于B1C1，又B1C1平行并等于BC，所以MF1平行并等于BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此BM∥CF1.
因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1平行并等于AB，所以A1M平行并等于BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BM∥A1E.因此，CF1∥A1E.同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
规律方法
1．空间中证两条直线平行的方法有：
(1)借助于平面几何知识，如三角形中位线的性质，平行四边形的性质等．
(2)借助于公理4.
2．在应用等角定理时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的，还要注意角的两角的方向是相同还是相反．
备选变式
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
【证明】　取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1，又N为B1C1的中点，B1C1平行并等于A1D1.
∴C1N平行并等于PA1，四边形PA1NC1为平行四边形，
A1N∥C1P.
又由PM平行并等于DD1平行并等于CC1，
得C1P∥CM.
∴CM∥A1N.