1.4 空间图形的基本关系与公理 同步练习1（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.4 空间图形的基本关系与公理 同步练习1（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 227.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 16:24:05 | ||
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文档简介
1.4
空间图形的基本关系与公理
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在三棱锥P-ABC
的六条棱所在的直线中，异面直线共有(
)
(A)2对
(B)3对
(C)4对
(D)6对
2.已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是(
)
(A)MN≥(AC+BD)
(B)MN≤(AC+BD)
(C)MN=(AC+BD)
(D)MN<(AC+BD)
3.(易错题)在正方体ABCD
-A1B1C1D1各个表面的对角线中与AD1所成的角为
60°的有(
)
(A)4条
(B)6条
(C)8条
(D)10条
4.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(
)
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)90°
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α=45°，则β=________.
6.在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图所示，不共面的三条直线a，b，c交于点O，
在点O的同侧，在a，b，c上分别取点A和A1，B和B1，
C和C1，使得求证：△ABC∽△A1B1C1.
8.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中，
求异面直线AC1与B1D1所成的角.
【挑战能力】
(10分)在长方体ABCD
-A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)．
(1)过P点在空间中作一直线l，使l∥直线BD，
应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线
BD成α角，其中0°＜α≤90°，这样的直线有几
条，应该如何作图？
答案解析
1.【解析】选B.根据异面直线的定义可知共有3对，它们是：AP与BC，CP与AB，BP与AC.
2.【解析】选D.如图，取BC的中点H，据题意有
MHAC，HNBD.在△MNH中由两边之和大于第
三边知，MN3.【解析】选C.与AD1相交且所成角为60°的表面的对角线有4条，另外与这4条对角线平行的对角线也有4条，即共有8条.
4.【解析】选C.如图所示，延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角.设AB=AC=AA1=1，则A1D=，DB=，
A1B=，故△A1BD为正三角形，
∴∠DA1B=60°.
【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍
(1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.③补形平移法.
(2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行.
(3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形，②解三角形求角或求角的三角函数值.
5.【解析】由等角定理，两角两组对边分别平行，一组方向相同，另一组方向相反，则两角互补，所以β=135°.
答案：135°
6.【解题指南】由中位线定理结合已知条件进行判断.
【解析】如图，E，F，G，H分别为中点，∴EFAC，
GHAC，∴EFGH，∴四边形EFGH为平行四边形.
又
AC⊥BD，∴FG⊥GH.∵AC=BD，
∴FG=GH，∴EFGH为正方形.
答案：正方形
7.【解题指南】由比例式先证明平行，结合等角定理说明对应角相等即可证明.
【证明】∵∴A1B1∥AB，
∵∴B1C1∥BC，
结合图形，由等角定理可得∠A1B1C1=∠ABC，
同理可证∠B1A1C1=∠BAC，∴△ABC∽△A1B1C1.
8.【解题指南】先作出异面直线AC1与B1D1所成的角，然后在三角形中求角.
【解析】如图，连接A1C1交B1D1于点O，则O为
A1C1的中点，取A1A的中点E，连接EO，EB1，则
EOAC1.所以∠EOB1为异面直线AC1与B1D1所成
的角或其补角.设该正方体棱长为2a，则在△B1OE
中，B1O=B1D1=，
EO=AC1=
因为EO2+B1O2=B1E2，所以△B1OE为直角三角形，且∠EOB1=90°，所以AC1与B1D1所成的角为90°.
【挑战能力】
【解析】(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P点作直线l，
使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.
(2)在平面A1C1内作直线m，
使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，
即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，
且m与BD所成的角α满足：0°＜α≤90°．
当α＝90°时，这样的直线m有且只有一条，
当α≠90°时，这样的直线m有两条．
空间图形的基本关系与公理
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在三棱锥P-ABC
的六条棱所在的直线中，异面直线共有(
)
(A)2对
(B)3对
(C)4对
(D)6对
2.已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是(
)
(A)MN≥(AC+BD)
(B)MN≤(AC+BD)
(C)MN=(AC+BD)
(D)MN<(AC+BD)
3.(易错题)在正方体ABCD
-A1B1C1D1各个表面的对角线中与AD1所成的角为
60°的有(
)
(A)4条
(B)6条
(C)8条
(D)10条
4.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(
)
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)90°
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α=45°，则β=________.
6.在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图所示，不共面的三条直线a，b，c交于点O，
在点O的同侧，在a，b，c上分别取点A和A1，B和B1，
C和C1，使得求证：△ABC∽△A1B1C1.
8.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中，
求异面直线AC1与B1D1所成的角.
【挑战能力】
(10分)在长方体ABCD
-A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)．
(1)过P点在空间中作一直线l，使l∥直线BD，
应该如何作图？并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线
BD成α角，其中0°＜α≤90°，这样的直线有几
条，应该如何作图？
答案解析
1.【解析】选B.根据异面直线的定义可知共有3对，它们是：AP与BC，CP与AB，BP与AC.
2.【解析】选D.如图，取BC的中点H，据题意有
MHAC，HNBD.在△MNH中由两边之和大于第
三边知，MN
4.【解析】选C.如图所示，延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角.设AB=AC=AA1=1，则A1D=，DB=，
A1B=，故△A1BD为正三角形，
∴∠DA1B=60°.
【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍
(1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.③补形平移法.
(2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行.
(3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形，②解三角形求角或求角的三角函数值.
5.【解析】由等角定理，两角两组对边分别平行，一组方向相同，另一组方向相反，则两角互补，所以β=135°.
答案：135°
6.【解题指南】由中位线定理结合已知条件进行判断.
【解析】如图，E，F，G，H分别为中点，∴EFAC，
GHAC，∴EFGH，∴四边形EFGH为平行四边形.
又
AC⊥BD，∴FG⊥GH.∵AC=BD，
∴FG=GH，∴EFGH为正方形.
答案：正方形
7.【解题指南】由比例式先证明平行，结合等角定理说明对应角相等即可证明.
【证明】∵∴A1B1∥AB，
∵∴B1C1∥BC，
结合图形，由等角定理可得∠A1B1C1=∠ABC，
同理可证∠B1A1C1=∠BAC，∴△ABC∽△A1B1C1.
8.【解题指南】先作出异面直线AC1与B1D1所成的角，然后在三角形中求角.
【解析】如图，连接A1C1交B1D1于点O，则O为
A1C1的中点，取A1A的中点E，连接EO，EB1，则
EOAC1.所以∠EOB1为异面直线AC1与B1D1所成
的角或其补角.设该正方体棱长为2a，则在△B1OE
中，B1O=B1D1=，
EO=AC1=
因为EO2+B1O2=B1E2，所以△B1OE为直角三角形，且∠EOB1=90°，所以AC1与B1D1所成的角为90°.
【挑战能力】
【解析】(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P点作直线l，
使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.
(2)在平面A1C1内作直线m，
使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，
即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，
且m与BD所成的角α满足：0°＜α≤90°．
当α＝90°时，这样的直线m有且只有一条，
当α≠90°时，这样的直线m有两条．