1.4 空间图形的基本关系与公理 同步练习3（含答案）

1.4
空间图形的基本关系与公理
同步练习
1．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′(　　)．
A．一定平行且方向相同
B．一定平行且方向相反
C．一定不平行
D．不一定平行
2．已知直线a，b，c，下列说法正确的是(　　)．
A．a∥b，b∥c，则a∥c
B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交
D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c
3．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)．
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．平行
4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是(　　)．
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN＜(AC＋BD)
5．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF和CD所成的角是(　　)．
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有__________条．
(第6题图)
7．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与∠______的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与∠______的两边分别平行且方向相反．
(第7题图)
8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．
9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
求证：(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠D1EA1.
10．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是△PAB和△PBC的重心，AC＝9.
(1)求MN的长；
(2)若点P，B的位置变化，会影响M，N的位置和MN的长度吗？
参考答案
1答案：D　解析：由于两角不一定在同一个平面内，或两角所在的平面不一定平行．
2答案：A　解析：A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90°角，但AB与BC不平行，D错．
3答案：C　解析：如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．
4答案：D　解析：如图，取BC的中点H，据题意有MH＝AC，MH∥AC，HN＝BD，HN∥BD.在△MNH中，由两边之和大于第三边知，MN＜MH＋HN＝(AC＋BD)．
5答案：
D　解析：如图，作FG∥CD交BC于G，连接EG，则EG∥AB，故∠EFG(或其补角)为EF和CD所成的角．
∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.
又∵AB＝2，CD＝4，
∴EG＝1，FG＝2.
∴sin∠EFG＝.∴∠EFG＝30°.
6答案：4　解析：与EF平行的棱为B1C1，BC，AD，A1D1.
7答案：(1)D1B1C1　(2)
A1D1B1
8答案：　解析：∵B1B∥A1A，
∴∠BB1D(或其补角)就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD.
在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝.
cos∠BB1D＝＝.
∴AA1与B1D所成的角的余弦值为.
9答案：证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM＝A1B1，EM∥A1B1.
∵A1B1＝C1D1，且A1B1∥C1D1，∴EM＝C1D1，且EM∥C1D1.
∴四边形EMC1D1为平行四边形．
∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB＝C1F，且MB∥C1F.
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.
(2)由(1)知，ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠D1EA1.
10答案：解：(1)如图，连接PM并延长交BA于E，连接PN并延长交CB于F，连接EF.
∵M，N分别是△ABP和△BPC的重心，故E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF＝AC，且EF∥AC.
又，
∴MN＝EF，且MN∥EF.
∴MN＝.
(2)由(1)知MN的长与B，P的位置无关，恒是定值．但若P，B位置发生变化，M，N的位置也会改变．