1.4 空间图形的基本关系与公理 同步练习4（含答案）

1.4
空间图形的基本关系与公理
同步练习
1．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为(　　)．
A．60°　
　　B．120°　　　C．30°　　
　D．60°或120°
解析　由等角定理不难知α，β相等或互补．
所以β＝60°或120°.
答案　D
2．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ.则下列结论中不正确的为
(　　)．
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形
解析　当λ＝μ时，EH平行且等于FG，
∴EFGH为平行四边形，故D中结论不正确．
答案　D
3．四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与BC所成的角为(　　)．
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析　如图，取BD中点G，连结EG，则∠EFG为异面直线EF与BC所成角．
∵EG＝AD，GF＝BC，
∴EG＝GF.
∵AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，
∴EG⊥GF，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°.故选B.
答案　B
4．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
解析　根据图知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)中应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”．所以(1)中应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，B1∈平面A1B1B且B1 A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以(2)(4)中应该填“异面”．
答案　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
5．下列命题正确的序号是________．
①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线；
②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形；
③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形；
④四边都相等的四边形都是菱形；
⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．
解析　由空间四边形的定义知命题①、②、③都是真命题．空间四边形的四条边可以相等，故命题④为假命题．关于命题⑤可构造正方体ABCD A1B1C1D1，如图，∠D1AB＝∠ABC＝∠BCD1＝90°，但∠AD1C＝60°，四边形ABCD1不是矩形，故⑤为假命题．
答案　①②③
6．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且满足＝＝，＝＝2.
(1)求证：四边形EFGH是梯形；
(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．
(1)证明　∵＝＝，∴EH平行且等于BD.
∵＝＝2，∴FG平行且等于BD.
∴EH平行且等于FG，所以四边形EFGH是梯形．
(2)解　∵BD＝a，∴EH＝a，FC＝a，
∴梯形EFGH的中位线的长为(EH＋FG)＝a.
7．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)．
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析　等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．
答案　D
8．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是(　　)．
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN＜(AC＋BD)
解析　如图所示，取BC中点E，
连接ME，NE，
MN<(AC＋BD)．
答案　D
9．在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH的形状为________．
解析　E、F、G、H分别为所在边的中点，
由中位线性质知，EF平行且等于AC，GH平行且等于AC，
∴EF平行且等于GH.∴四边形EFGH为平行四边形．
又AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，且EF⊥FG.
∴四边形EFGH为正方形．
答案　正方形
10．异面直线a、b，a⊥b，
c与a成30°角，则c与b所成角的范围是________．
解析　如图，c与a成30°，即c与a′成30°，然后让c绕着点A转动，转动过程中，c与a′始终成30°角，不难发现在c转动过程中，c与b所成角最小为60°，最大为90°.
答案　[60°，90°]
11．如图，正方体ABCD A1B1C1D1，求A1B与B1D1所成的角．
解　如图，连结BD、A1D.
∵ABCD A1B1C1D1是正方体，
∴DD1平行且等于BB1，
∴DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1，
∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B＝BD＝A1D，
即△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD＝60°.
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角．
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
12．(创新拓展)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解　取AC的中点F，连接EF、BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角．
在Rt△EAB中，
AB＝1，AE＝AD＝，
∴BE＝＝.
在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，
AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，
AB＝1，AF＝，
∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，
cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.