1.4.1 空间图形基本关系的认识 同步练习1（含答案）

1.4.1
空间图形基本关系的认识
同步练习
一 选择题(每小题4分，共16分)
1.下列叙述中错误的是(
)
(A)A∈l，A∈α，B∈l，B∈α lα
(B)梯形一定是平面图形
(C)空间中三点能确定一个平面
(D)A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β=AB
2.两条异面直线指的是(
)
(A)在空间内不相交的两条直线
(B)分别位于两个不同平面内的两条直线
(C)某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
(D)不在同一平面内的两条直线
3.如图所示，平面α∩β=
l，点A，B∈α，点C∈β且Cl，AB∩l
=R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ是(
)
(A)直线AC
(B)直线BC
(C)直线CR
(D)以上均不正确
4.已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，
若a∩b=P，则(
)
(A)P∈c
(B)Pc
(C)c∩a=
(D)c∩β=
二 填空题(每小题4分，共8分)
5.四条线段顺次首尾相连，它们最多确定的平面个数为___________.
6.(易错题)空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是_____________.
三 解答题(每小题8分，共16分)
7.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图.求证:点B，D，P在同一条直线上.
8.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三
条直线，即α∩β=c，β∩γ=a，γ∩α=b，若
直线a和b不平行.
求证:a，b，c三条直线必过同一点.
【挑战能力】
(10分)如图，定线段AB所在的直线与定平
面α相交，交点为O，P为定直线外一点，
Pα，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，
B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是
否恒过一定点，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.由公理1知A正确，由公理3知D正确，由公理2的推论知B正确，只有不共线的三个点才能确定一个平面，故C错误.
2.【解析】选D.由异面直线的定义易知.
3.
【解析】选C.C∈β，C∈γ，∴C在β与γ的交线上，又R∈AB，AB平面γ，∴R∈γ，又R∈β，∴R在β与γ的交线上，故CR为β与γ的交线.
4.【解题指南】根据题目条件推断P∈α，P∈γ，进而由公理3推出P在α与γ的交线上.
【解析】选A.∵a∩b=P，∴P∈a且P∈b.
又∵aα，bγ，∴P∈α且P∈γ.
又∵α∩γ=c，∴P∈c.
5.【解析】每相邻的两条都可以确定1个平面，因为有四个顶点，因此最多可以确定4个平面.
答案:4
6.【解析】如图，在长方体ABCD
-A1B1C1D1中，
①AA1∩AB=A，
AA1∩A1B1=A1，
直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面
(平面ABB1A1).
②AA1∩AB=A，AA1∩A1D1=A1，
直线AB，
AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1).
答案:1或2或3
【方法技巧】学好立体几何的好帮手——长方体
长方体是立体几何中常见的模型之一，许多点 线和面的关系的例子可以从中寻找，我们的教室就可以抽象成一个长方体，墙角是长方体的顶点，墙面是长方体的面，墙的边就是长方体的棱，学会从长方体中寻找位置关系是学习立体几何必备的数学素养.
7.【解题指南】应用公理3进行证明.
【证明】∵直线EF∩直线HG=P，
∴P∈直线EF，而EF平面ABD，∴P∈平面ABD.
同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点.
∴点P在平面ABD与平面CBD的交线上.
又平面ABD∩平面CBD=BD，∴B，D，P三点在同一条直线上.
8.【解题指南】可先证两条直线相交于一点，再证明该交点也在另外一条直线上.
【证明】∵α∩γ=b，β∩γ=a，∴aγ，bγ.
由于直线a和b不平行，∴a b必相交.
设a∩b=P，则P∈a，P∈b.
∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.
又α∩β=c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线必过同一点.
【挑战能力】
【解析】随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点.理由如下:
直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α=A′，BP∩α=B′，所以α∩β=A′B′，而AB∩α=O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.