1.4.2 空间图形的公理 同步练习（含答案）

1.4.2
空间图形的公理
同步练习
知识梳理
填空题
1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．
2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．
3．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．
基础练习
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．异面或平行
B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN<(AC＋BD)
二、填空题
6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
7．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
三、解答题
9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
能力提升
11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是(　　)
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
反思感悟
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
答案
知识梳理
1．平行
2．平行　相等　互补
3．锐角(或直角)　直角　(0°，90°]
基础练习
1．D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
2．D
3．
D　[等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．
4．B　[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
5．D
　[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，
则ME＝AC，
NE＝BD，
所以ME＋NE＝(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<(AC＋BD)．]
6．60°或120°
7．(1)60°　(2)45°
解析　
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
8．①③
解析　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
9．
证明　(1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
10．解　取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
11．②④
解析　①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．
12．B　[
连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]