1.4.2 空间图形的公理 学案（含答案）

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1.4.2
空间图形的公理
学案
学习目标　掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．【来源：21cnj
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m】
知识梳理
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．【出处：21教育名师】
符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α lα．
2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．【版权所有：21教育】
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．21教育名师原创作品
符号：P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l．
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：
________________________________________________________________________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：
________________________________________________________________________．
作业设计
一、选择题
1．两平面重合的条件是(　　)
A．有两个公共点
B．有无数个公共点
C．有不共线的三个公共点
D．有一条公共直线
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作(　　)
A．M∈b∈β
B．M∈bβ
C．Mbβ
D．Mb∈β
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条
B．2条或3条
C．1条或3条
D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β aβ
B．M∈α，M∈β，N∈α，
N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线 α、β重合
5．空间中可以确定一个平面的条件是(　　)
A．两条直线
B．一点和一直线
C．一个三角形
D．三个点
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有(　　)
A．2个或3个
B．4个或3个
C．1个或3个
D．1个或4个
二、填空题
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，aα________．
(2)α∩β＝a，Pα且Pβ________．
(3)aα，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．21世纪教育网版权所有
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．21·cn·jy·com
11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．www.21-cn-jy.com
能力提升
12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．【来源：21·世纪·教育·网】
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
反思感悟
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2·1·c·n·j·y
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．21·世纪
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3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．www-2-1-cnjy-com
答案
知识梳理
1．两点
2．不在同一条直线上　有且只有
3．一个　一条
4．(1)A∈α，A β　(2)A∈α，B α且A∈l，B∈l　(3)lα且lβ　(4)mα，nα且m∩n＝A21教育网
作业设计
1．C　[根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]
2．B　3．D
4．C　[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．
5．C
6．D　[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]
7．(1)C　(2)D　(3)A　(4)B
8．A∈m
解析　因为α∩β＝m，A∈aα，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．
9．③
10．解　由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．21cnjy.com
∵E∈AC，AC平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．21
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12．证明　
∵l1β，l2β，l1l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1β，P∈l2γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明　(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，2-1-c-n-j-y
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝A1B＝D1C．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F平面ADD1A1，
P∈CE平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
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