1.5 平行关系 教案
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文档简介
1.5
平行关系
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义．(2)会判断线面、面面平行．
2．过程与方法
通过观察图形，借助已有知识，掌握线面、面面平行的判定定理，培养学生观察发现的能力和空间想象能力．
3．情感、态度与价值观
(1)让学生在发现中学习，增强学习的积极性．
(2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想．
●重点难点
重点：线面、面面平行的判定定理．
难点：利用平行的判定定理证明平行关系．
●教学建议
讲解平行关系时，教师可以从身边的实物为例引导学生去认识平行关系的判定，如观察书的边缘与书面的位置等，让学生在情景中学会感知，得出结论，教学中，可以让学生观察具体的长方体实物模型，以增强对判定定理的直观感知．
●教学流程
创设问题情境，引出两个问题：直线与平面、平面与平面的关系 引导学生通过观察回答问题，引出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理 通过例1及互动探究，使学生掌握直线平面平行的证明问题 通过例2及变式训练，使学生掌握，平面与平面平行的证明问题 通过例3及变式训练，使学生掌握，直线平面、平面平面平行的综合问题 归纳整合本节知识，作课堂小结 让学生完成当堂双基达标，巩固所学知识，反馈并矫正
课标解读
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行(重点)．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(难点).
知识1
直线和平面平行的判定定理
【问题导思】
教室的门通过门轴可以自由的开关，在开关的过程中，门上竖直的一边与门轴所在边什么关系？与门轴所在墙面又是什么关系？
【提示】 门上竖直的一边与门轴所在边平行，与墙面也平行．
知识2
平面与平面平行的判定定理
【问题导思】
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
【提示】 三角板的一条边所在直线与桌面平行时，三角板所在平面与桌面可能平行，也可能相交．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，三角板所在平面与桌面平行．
类型1
线面平行的判定
例1 如图1－5－1，四边形ABCD，ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN.
图1－5－1
求证：MN∥平面CED.
【思路探究】 要证明MN∥平面CED，需在平面CED中找一条直线平行于MN，进而转化为线线平行的证明．
【自主解答】 如图，连接AM并延长交CD于点G，连接GE，
因为AB∥CD，所以＝.
所以＝，
即＝.
又因为BD＝AE且AN＝BM，
所以＝.所以MN∥GE.
又GE 平面CED，MN平面CED，
所以MN∥平面CED.
规律方法
1．本题也可通过过M、N分别作AD的平行线构造平行四边形来寻找平行线证明．
2．线面平行的判定方法
(1)利用定义证线面无公共点．
(2)利用线面平行的判定定理，将线线平行转化为线面平行．
互动探究
本例条件不变，求证：BF∥平面CDE.
【证明】 ∵四边形ABCD，ADEF都是正方形，
∴BC平行并等于AD平行并等于EF，∴BC平行并等于EF.
∴四边形BCEF是平行四边形，∴BF∥CE.
∵BF平面CDE，CE 平面CDE，∴BF∥平面CDE.
类型2
面面平行的判定
例2 已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.
图1－5－2
求证：平面MNQ∥平面PBC.
【思路探究】 (1)你认为证明线面平行、面面平行关键是什么？
(2)题中所给成比例线段有什么用？
(3)能否找到两条相交直线都和平面PBC平行？
【自主解答】 ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.
∵BP 平面PBC，NQ平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC.
∵BC 平面PBC，MQ平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.
规律方法
1．利用比例线段推出平行关系是解答本题的关键．
2．面面平行的判定方法
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面．
变式训练
图1－5－3
如图1－5－3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：平面MNP∥平面A1BD.
【证明】 如图所示，连接B1D1，
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD，又PN平面A1BD，
BD 平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD，
同理可得MN∥平面A1BD，
又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
类型3
平行关系的综合应用
例3 如图1－5－4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，
图1－5－4
问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
【思路探究】 (1)由条件“P是DD1中点”，你猜想Q应在CC1的什么位置？
(2)PO与BD1平行吗？
【自主解答】 Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：
设Q为CC1中点，
则PD平行并等于QC，连接PQ，则由PQ平行并等于DC平行并等于AB，
可知四边形ABQP是平行四边形，
∴AP∥BQ.
∵AP平面D1BQ，BQ 平面D1BQ，
∴AP∥平面D1BQ.
∵O、P分别为BD、DD1的中点，∴OP∥BD1.
又OP
平面D1BQ，BD1 平面D1BQ，
∴OP∥平面D1BQ.
又AP∩PO＝P，∴平面D1BQ∥平面PAO，
∴当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
规律方法
1．本题中由条件P是DD1中点猜想到Q应是CC1的中点是解题的关键．
2．对于条件缺失的探索性问题，解答过程中要明确目的，结合题目本身的特点与相应的定理大胆地猜想，然后加以证明．特别要注意中点、顶点等特殊点．
变式训练
如图1－5－5，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2.则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．
图1－5－5
【解】 当M为AC中点时，
MB∥平面AEF.
证明 如图，当M为AC中点时，过M作MG∥CE，交AE于G，连接GF.
∵M为AC中点，
∴MG平行并等于CE.
又FB∥CE，EC＝2FB，
∴MG平行并等于FB.
∴四边形BFGM为平行四边形，
∴GF∥MB.
又GF 平面AEF，MB平面AEF，所以MB∥平面AEF.
忽视判定定理中的条件致误
典例 如图1－5－6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且D1M＝DN，求证：MN∥平面CC1D1D.
【错解】 连AN并延长交DC于E，连接D1E
∵AB∥CD，
∴＝ ＝，
∵BD＝AD1，D1M＝DN，
∴＝，∴MN∥D1E，
∴MN∥平面CC1D1D.
【错因分析】 忽视了直线与平面平行的判定定理中“lα，b α”这一条件，致使定理不完整．
【防范措施】 判定定理中的各个条件都不能忽视不能遗漏．
【正解】 连AN并延长交DC于E.连接D1E.
∵AB∥CD，
∴＝ ＝.
∵BD＝AD1，
且D1M＝DN，
∴＝.
在△AD1E中，MN∥D1E，
又MN平面CC1D1D，D1E 平面CC1D1D，
∴MN∥平面CC1D1D.
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．aα，b α，a∥b
B．b α，a∥b
C．b α，c α，a∥c，且a∥b
D．b α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
【解析】 B、C、D均可能有a在平面α内．
【答案】 A
2．直线l，m，平面α、β，l α，m α，l∥β，m∥β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
【解析】 α与β可能相交，也可能平行．
【答案】 D
3．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
【解析】 由图可知，b与α平行或相交．
【答案】 平行或相交
图1－5－7
4．四棱锥P—ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：
平面PCD∥平面FEB.
【证明】 连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD.
又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD平面FEB，
BE 平面FEB，
∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．平行于同一个平面的两条直线平行
B．同时与两异面直线平行的平面有无数多个
C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
D．直线l不在平面α内，则l∥α
【解析】 A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与α不平行．
【答案】 B
2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β
D．MN∥β或MN与β相交或MN β
【解析】 当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.
又MN
β，BC β，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.
【答案】 C
3．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内
D．平行或相交
【解析】 如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．
∵E、F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又EF 平面EFG，且AC
平面EFG.
∴AC∥平面EFG.
【答案】 A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是( )
A．平面A1BC1和平面ACD1
B．平面BDC1和平面B1D1C
C．平面B1D1D和平面BDA1
D．平面ADC1和平面AD1C
【解析】 如图，在截面A1BC1和截面AD1C中，
平面A1BC1∥平面ACD1.
【答案】 A
图1－5－8
5．如图1－5－8，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【解析】 ∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，
∴EF∥BD且EF＝BD.
又H、G分别为BC、CD的中点，
∴HG平行并等于BD.
∴EF∥HG且EF≠HG.
∴四边形EFGH为梯形．
∵BD 平面BCD且EF
平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
【答案】 B
二、填空题
图1－5－9
6．如图1－5－9所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．
【解析】 ∵＝，∴MN∥BD.
又∵MN
平面BDC，BD 平面BDC，
∴MN∥平面BDC.
【答案】 平行
7．已知a、b、c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：
①a∥c，b∥c a∥b；②γ∥α，β∥α γ∥β；③a∥γ，α∥γ a∥α.
其中正确命题的序号是________．
【解析】 由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a可能在α内．
【答案】 ①②
8．在空间四边形PABC中，A1、B1、C1分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．
【解析】 如图，连接PC1，PA1，并延长分别交AB，BC于E、F两点，由于C1、A1分别为重心．
∴E、F分别为AB、BC的中点，连接EF.
又∵＝＝2.
∴A1C1∥EF.
又∵EF为△ABC边AC上的中位线，
∴EF∥AC，∴AC∥A1C1，
又A1C1 平面ABC，AC?平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，
同理A1B1∥平面ABC，
A1B1∩A1C1＝A1，
∴平面A1B1C1∥平面ABC.
【答案】 平行
三、解答题
9．在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点．求证：平面A′EB∥平面ADC′.
【证明】 连接DE，
∵E，D分别是B′C′与BC的中点，
∴DE平行并等于AA′，
∴AA′ED是平行四边形，∴A′E∥AD.
∵A′E
平面ADC′，AD 平面ADC′.
∴A′E∥平面ADC′.
又BE∥DC′，BE
平面ADC′，DC′ 平面ADC′，
∴BE∥平面ADC′，
∵A′E 平面A′EB，BE 平面A′EB，
A′E∩BE＝E，
∴平面A′EB∥平面ADC′.
图1－5－10
10．如图1－5－10，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，求证：面AD1C∥面BPQ.
【证明】 ∵D1Q＝DC，AB平行并等于CD，∴D1Q
平行并等于AB.
∴四边形D1QBA为平行四边形，∴D1A平行并等于QB.
∵Q、P分别为D1C1、C1C的中点，∴QP∥D1C.
∵D1C∩D1A＝D1，PQ∩QB＝Q.
∴面AD1C∥面BPQ.
图1－5－11
11．如图1－5－11，E，F，G，H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
【证明】 (1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，
且OG＝B1C1，BE∥B1C1，
且BE＝B1C1，
∴OG∥BE且OG＝BE，四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE.
∵OB
平面BDD1B1，
GE
平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得
B1D1∥BD，
∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF，连接HB，D1F，
易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1
平面BDF，BF 平面BDF，
∴HD1∥平面BDF，
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
备选例题
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，SC的中点，求证：EF∥平面SAD.
【思路探究】 可以取SD的中点G连GF、AG构成平行四边形，从而找到平行于EF并且在平面SAD内的直线．
【自主解答】 取SD的中点G，连接GF、AG.
又∵F为SC的中点．
∴GF为△SDC的中位线．
∴GF平行并等于DC.
又E为AB的中点且底面ABCD为正方形．
∴AE平行并等于CD.∴GF平行并等于AE.
∴四边形AEFG为平行四边形．
∴EF∥AG.又AG 平面SAD，EF平面SAD，
∴EF∥平面SAD.
规律方法
利用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行，证题时应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
备选变式
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
【证明】 如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE.
∴D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.
∵DE 平面CDB1，
AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
平行关系
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义．(2)会判断线面、面面平行．
2．过程与方法
通过观察图形，借助已有知识，掌握线面、面面平行的判定定理，培养学生观察发现的能力和空间想象能力．
3．情感、态度与价值观
(1)让学生在发现中学习，增强学习的积极性．
(2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想．
●重点难点
重点：线面、面面平行的判定定理．
难点：利用平行的判定定理证明平行关系．
●教学建议
讲解平行关系时，教师可以从身边的实物为例引导学生去认识平行关系的判定，如观察书的边缘与书面的位置等，让学生在情景中学会感知，得出结论，教学中，可以让学生观察具体的长方体实物模型，以增强对判定定理的直观感知．
●教学流程
创设问题情境，引出两个问题：直线与平面、平面与平面的关系 引导学生通过观察回答问题，引出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理 通过例1及互动探究，使学生掌握直线平面平行的证明问题 通过例2及变式训练，使学生掌握，平面与平面平行的证明问题 通过例3及变式训练，使学生掌握，直线平面、平面平面平行的综合问题 归纳整合本节知识，作课堂小结 让学生完成当堂双基达标，巩固所学知识，反馈并矫正
课标解读
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行(重点)．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(难点).
知识1
直线和平面平行的判定定理
【问题导思】
教室的门通过门轴可以自由的开关，在开关的过程中，门上竖直的一边与门轴所在边什么关系？与门轴所在墙面又是什么关系？
【提示】 门上竖直的一边与门轴所在边平行，与墙面也平行．
知识2
平面与平面平行的判定定理
【问题导思】
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
【提示】 三角板的一条边所在直线与桌面平行时，三角板所在平面与桌面可能平行，也可能相交．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，三角板所在平面与桌面平行．
类型1
线面平行的判定
例1 如图1－5－1，四边形ABCD，ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN.
图1－5－1
求证：MN∥平面CED.
【思路探究】 要证明MN∥平面CED，需在平面CED中找一条直线平行于MN，进而转化为线线平行的证明．
【自主解答】 如图，连接AM并延长交CD于点G，连接GE，
因为AB∥CD，所以＝.
所以＝，
即＝.
又因为BD＝AE且AN＝BM，
所以＝.所以MN∥GE.
又GE 平面CED，MN平面CED，
所以MN∥平面CED.
规律方法
1．本题也可通过过M、N分别作AD的平行线构造平行四边形来寻找平行线证明．
2．线面平行的判定方法
(1)利用定义证线面无公共点．
(2)利用线面平行的判定定理，将线线平行转化为线面平行．
互动探究
本例条件不变，求证：BF∥平面CDE.
【证明】 ∵四边形ABCD，ADEF都是正方形，
∴BC平行并等于AD平行并等于EF，∴BC平行并等于EF.
∴四边形BCEF是平行四边形，∴BF∥CE.
∵BF平面CDE，CE 平面CDE，∴BF∥平面CDE.
类型2
面面平行的判定
例2 已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.
图1－5－2
求证：平面MNQ∥平面PBC.
【思路探究】 (1)你认为证明线面平行、面面平行关键是什么？
(2)题中所给成比例线段有什么用？
(3)能否找到两条相交直线都和平面PBC平行？
【自主解答】 ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.
∵BP 平面PBC，NQ平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC.
∵BC 平面PBC，MQ平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.
规律方法
1．利用比例线段推出平行关系是解答本题的关键．
2．面面平行的判定方法
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面．
变式训练
图1－5－3
如图1－5－3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：平面MNP∥平面A1BD.
【证明】 如图所示，连接B1D1，
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD，又PN平面A1BD，
BD 平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD，
同理可得MN∥平面A1BD，
又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
类型3
平行关系的综合应用
例3 如图1－5－4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，
图1－5－4
问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
【思路探究】 (1)由条件“P是DD1中点”，你猜想Q应在CC1的什么位置？
(2)PO与BD1平行吗？
【自主解答】 Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：
设Q为CC1中点，
则PD平行并等于QC，连接PQ，则由PQ平行并等于DC平行并等于AB，
可知四边形ABQP是平行四边形，
∴AP∥BQ.
∵AP平面D1BQ，BQ 平面D1BQ，
∴AP∥平面D1BQ.
∵O、P分别为BD、DD1的中点，∴OP∥BD1.
又OP
平面D1BQ，BD1 平面D1BQ，
∴OP∥平面D1BQ.
又AP∩PO＝P，∴平面D1BQ∥平面PAO，
∴当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
规律方法
1．本题中由条件P是DD1中点猜想到Q应是CC1的中点是解题的关键．
2．对于条件缺失的探索性问题，解答过程中要明确目的，结合题目本身的特点与相应的定理大胆地猜想，然后加以证明．特别要注意中点、顶点等特殊点．
变式训练
如图1－5－5，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2.则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．
图1－5－5
【解】 当M为AC中点时，
MB∥平面AEF.
证明 如图，当M为AC中点时，过M作MG∥CE，交AE于G，连接GF.
∵M为AC中点，
∴MG平行并等于CE.
又FB∥CE，EC＝2FB，
∴MG平行并等于FB.
∴四边形BFGM为平行四边形，
∴GF∥MB.
又GF 平面AEF，MB平面AEF，所以MB∥平面AEF.
忽视判定定理中的条件致误
典例 如图1－5－6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且D1M＝DN，求证：MN∥平面CC1D1D.
【错解】 连AN并延长交DC于E，连接D1E
∵AB∥CD，
∴＝ ＝，
∵BD＝AD1，D1M＝DN，
∴＝，∴MN∥D1E，
∴MN∥平面CC1D1D.
【错因分析】 忽视了直线与平面平行的判定定理中“lα，b α”这一条件，致使定理不完整．
【防范措施】 判定定理中的各个条件都不能忽视不能遗漏．
【正解】 连AN并延长交DC于E.连接D1E.
∵AB∥CD，
∴＝ ＝.
∵BD＝AD1，
且D1M＝DN，
∴＝.
在△AD1E中，MN∥D1E，
又MN平面CC1D1D，D1E 平面CC1D1D，
∴MN∥平面CC1D1D.
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．aα，b α，a∥b
B．b α，a∥b
C．b α，c α，a∥c，且a∥b
D．b α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
【解析】 B、C、D均可能有a在平面α内．
【答案】 A
2．直线l，m，平面α、β，l α，m α，l∥β，m∥β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
【解析】 α与β可能相交，也可能平行．
【答案】 D
3．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
【解析】 由图可知，b与α平行或相交．
【答案】 平行或相交
图1－5－7
4．四棱锥P—ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：
平面PCD∥平面FEB.
【证明】 连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD.
又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD平面FEB，
BE 平面FEB，
∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．平行于同一个平面的两条直线平行
B．同时与两异面直线平行的平面有无数多个
C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
D．直线l不在平面α内，则l∥α
【解析】 A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与α不平行．
【答案】 B
2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β
D．MN∥β或MN与β相交或MN β
【解析】 当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.
又MN
β，BC β，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.
【答案】 C
3．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内
D．平行或相交
【解析】 如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．
∵E、F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又EF 平面EFG，且AC
平面EFG.
∴AC∥平面EFG.
【答案】 A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是( )
A．平面A1BC1和平面ACD1
B．平面BDC1和平面B1D1C
C．平面B1D1D和平面BDA1
D．平面ADC1和平面AD1C
【解析】 如图，在截面A1BC1和截面AD1C中，
平面A1BC1∥平面ACD1.
【答案】 A
图1－5－8
5．如图1－5－8，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【解析】 ∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，
∴EF∥BD且EF＝BD.
又H、G分别为BC、CD的中点，
∴HG平行并等于BD.
∴EF∥HG且EF≠HG.
∴四边形EFGH为梯形．
∵BD 平面BCD且EF
平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
【答案】 B
二、填空题
图1－5－9
6．如图1－5－9所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．
【解析】 ∵＝，∴MN∥BD.
又∵MN
平面BDC，BD 平面BDC，
∴MN∥平面BDC.
【答案】 平行
7．已知a、b、c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：
①a∥c，b∥c a∥b；②γ∥α，β∥α γ∥β；③a∥γ，α∥γ a∥α.
其中正确命题的序号是________．
【解析】 由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a可能在α内．
【答案】 ①②
8．在空间四边形PABC中，A1、B1、C1分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．
【解析】 如图，连接PC1，PA1，并延长分别交AB，BC于E、F两点，由于C1、A1分别为重心．
∴E、F分别为AB、BC的中点，连接EF.
又∵＝＝2.
∴A1C1∥EF.
又∵EF为△ABC边AC上的中位线，
∴EF∥AC，∴AC∥A1C1，
又A1C1 平面ABC，AC?平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，
同理A1B1∥平面ABC，
A1B1∩A1C1＝A1，
∴平面A1B1C1∥平面ABC.
【答案】 平行
三、解答题
9．在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点．求证：平面A′EB∥平面ADC′.
【证明】 连接DE，
∵E，D分别是B′C′与BC的中点，
∴DE平行并等于AA′，
∴AA′ED是平行四边形，∴A′E∥AD.
∵A′E
平面ADC′，AD 平面ADC′.
∴A′E∥平面ADC′.
又BE∥DC′，BE
平面ADC′，DC′ 平面ADC′，
∴BE∥平面ADC′，
∵A′E 平面A′EB，BE 平面A′EB，
A′E∩BE＝E，
∴平面A′EB∥平面ADC′.
图1－5－10
10．如图1－5－10，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，求证：面AD1C∥面BPQ.
【证明】 ∵D1Q＝DC，AB平行并等于CD，∴D1Q
平行并等于AB.
∴四边形D1QBA为平行四边形，∴D1A平行并等于QB.
∵Q、P分别为D1C1、C1C的中点，∴QP∥D1C.
∵D1C∩D1A＝D1，PQ∩QB＝Q.
∴面AD1C∥面BPQ.
图1－5－11
11．如图1－5－11，E，F，G，H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
【证明】 (1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，
且OG＝B1C1，BE∥B1C1，
且BE＝B1C1，
∴OG∥BE且OG＝BE，四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE.
∵OB
平面BDD1B1，
GE
平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得
B1D1∥BD，
∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF，连接HB，D1F，
易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1
平面BDF，BF 平面BDF，
∴HD1∥平面BDF，
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
备选例题
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，SC的中点，求证：EF∥平面SAD.
【思路探究】 可以取SD的中点G连GF、AG构成平行四边形，从而找到平行于EF并且在平面SAD内的直线．
【自主解答】 取SD的中点G，连接GF、AG.
又∵F为SC的中点．
∴GF为△SDC的中位线．
∴GF平行并等于DC.
又E为AB的中点且底面ABCD为正方形．
∴AE平行并等于CD.∴GF平行并等于AE.
∴四边形AEFG为平行四边形．
∴EF∥AG.又AG 平面SAD，EF平面SAD，
∴EF∥平面SAD.
规律方法
利用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行，证题时应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
备选变式
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
【证明】 如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE.
∴D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.
∵DE 平面CDB1，
AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.