1.5.1 平行关系的判定 同步练习2（含答案）

1.5.1
平行关系的判定
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A．平行于同一平面的两条直线平行
B．同时与两条异面直线平行的平面有无数多个
C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
D．直线l与平面α不相交，则l∥α
[答案]　B
[解析]　平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面，所以A不正确；一条直线上有两点在一个平面外，则直线与平面相交或平行，所以C不正确；直线与平面不相交，意味着直线与平面平行或在平面内，D不正确．
2．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．AC在此平面内
[答案]　A
[解析]　如图所示，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，不难得出EF∥AC.显然EF平面EFG，AC
平面EFG，所以有AC∥平面EFG.
3．下列命题中正确的是(　　)
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点
[答案]　D
[解析]　A项中，若l∩α＝A时，除A点所有的点均不在α内；B项中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；C项中，另一条直线可能在平面内．
4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形，∴应选C.
5．α、
β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(　　)
A．α、
β都平行于直线l、m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l、m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
[答案]　D
[解析]　A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l、m的平行线l′、m′，则l′、m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.
6．点N、M是正方体ABCD－A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．MN平面PCB1
D．以上三种情况都有可能
[答案]　A
[解析]　如图所示，∵M、N分别是A1B1、A1A的中点，
∴MN∥AB1.取B1C的中点G，又P是AC的中点，
∴PG∥AB1，∴MN∥PG.
又PG平面PCB1，
∴MN∥平面PCB1.
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱柱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．
[答案]　平行　平行
[解析]　∵B1B∥C1C，
∴直线BB1∥平面AA1C1C.
∵B1B平面BB1D1D，∴B1B平行于两平面的交线．
由公理4知，交线平行于C1C.
由AC∥A1C1，AC 平面BA1C1，A1C1平面BA1C1，
∴AC∥平面BA1C1.
8．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面中，
(1)与平面AD′平行的平面是________；
(2)与直线AB′平行的平面是________．
[答案]　(1)平面BC′　(2)平面DC′
三、解答题
9．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
[解析]　证法一：作MP∥AB交BC于P，NQ∥AB交BE于Q.
∴MP∥NQ，∵AM＝FN，
∴MP＝MC＝BN＝NQ.
∴MP平行且等于NQ，则四边形MNQP为平行四边形，
∴MN∥PQ.
∵MN 平面BCE，PQ平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
证法二：如图所示，连接AN并延长，交BE的延长线于G，连接CG，
∵AF∥BG，
∴＝＝，
∴MN∥CG，
∵MN
平面BCE，CG平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
能力提升
一、选择题
1．对于不重合的两直线m、n和平面α，下列说法中正确的是(　　)
A．如果mα，n α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n
C．如果mα，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
[答案]　B
[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB平面AC，直线CC1
平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排除选项A；直线AB平面AC，直线B1C1 平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排除选项C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1＝B1，排除选项D.
2．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A α，则(　　)
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
[答案]　B
[解析]　分两种情况讨论：①A、B、C三点在α的同侧时，面ABC∥α；②A、B、C三点在α的异侧时，同侧的两点确定的直线平行于α.
二、填空题
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．
[答案]　平行
[解析]　如图，连接AC交BD于O.
则O为BD的中点．又E为DD1的中点，
∴OE为△BDD1的中位线，∴OE∥BD1.
又BD1
平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
4．已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥γ，b∥γ a∥b；
③a∥c，α∥c a∥α；④a∥γ，α∥γ a∥α；
⑤a α，bα，a∥b a∥α.
其中正确的命题号是________．
[答案]　①⑤
[解析]　由公理4知①正确；对于②，因平行于同一个平面的两条直线不仅仅是平行，也可以相交，所以②不对；对于③当a α内时，我们不能说a∥α，所以错误；对于④当a∥γ，α∥γ时a∥α或aα，所以④错误；对于⑤，由直线与平面平行的判定定理知成立．
三、解答题
5．如图，正方形ABCD和四边形ACEF，EF∥AC，AB＝，EF＝1.求证：AF∥平面BDE.
[解析]　设AC与BD交于点G.
因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1.
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG平面BDE，AF 平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
6．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G分别为AA1、AB、AC的中点，M、N、P分别为A1C1、A1B1、C1C的中点．
求证：平面EFG∥平面MNP.
[解析]　连接A1C，在四边形ACC1A1中，
E、G分别为AA1，AC的中点，所以EG∥A1C.
同理MP∥A1C，所以EG∥MP.
又因为EG平面EFG，MP 平面EFG，
所以MP∥平面EFG.
因为M、N分别为A1C1、A1B1的中点，
所以MN∥B1C1.同理可得，FG∥BC.
又因为BC∥B1C1，所以MN∥FG.
而MN
平面EFG，FG平面EFG，
所以MN∥平面EFG.
又因为MN∩MP＝M，所以平面EFG∥平面MNP.
7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．
[解析]　当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.
证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝EC，
而FB∥EC且FB＝EC，
所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB
平面AEF，DF平面AEF，所以MB∥平面AEF.