1.5.1 平行关系的判定 同步练习3（含答案）

1.5.1
平行关系的判定
同步练习
1．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系(　　)．
A．平行
B．相交
C．异面
D．不能确定
解析　直线a与直线b可能平行、相交或异面．
答案　D
2．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面(　　)．
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．重合
解析　无数条直线可以是平行直线，此时两平面相交，否则两平面平行．
答案　C
3．点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(　　)．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析　由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案　C
4．已知直线b，平面α，有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行．其中能推出b∥α的条件有________(把你认为正确的序号都填上)．
解析　其中②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理．
答案　②③④
5．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形．则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．
解析　∵四边形AA1B1B是平行四边形，
∴A1B1∥AB，
∴A1B1∥平面ABC，
同理，四边形B1BCC1是平行四边形，
∴B1C1∥BC，
∴B1C1∥平面ABC，而A1B1∩B1C1＝B1，
∴平面A1B1C1∥平面ABC.
答案　平行
6．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点．求证：平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
证明　∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE＝CF且BE∥CF，
∴四边形BEFC为平行四边形，从而EF∥BC，
又EF
平面BCF1E1，
BC平面BCF1E1，
∴EF∥平面BCF1E1，
同理，D1F∥平面BCF1E1.
又EF平面EFD1A1，
D1F平面EFD1A1，EF∩D1F＝F，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
7．下列说法中正确的是(　　)．
①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行；
②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行；
③过平面外两点不能作平面与已知平面平行；
④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行．
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
解析　③过平面外两点可以作平面与已知平面平行；④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面与已知平面平行或相交．
答案　C
8．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是(　　)．
A．α，β都平行于直线l
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α
解析　在α内取一点A，过A作l1∥l，m1∥m，在β内取一点B，过B作l2∥l，m2∥m，则l1∥l2，m1∥m2，用面面平行的判定定理可得．
答案　D
9．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下面的推理正确的个数为________．
(1)aα，bα，a∥β，b∥β α∥β；
(2)α∥β，aα，bβ a∥b；
(3)a∥α，α∩β＝b a∥b；
解析　题中三个推理都是错误的，我们可以在正方体模型中找到反例，如图所示：
(1)取AB、CD的中点E、F，则EF∥平面ADD1A1，BC∥平面ADD1A1，且BC平面ABCD，EF平面ABCD，但显然，平面ABCD与平面ADD1A1不平行．
(2)平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AB平面ABCD，B1C1平面A1B1C1D1，但AB与B1C1异面．
(3)A1C1∥平面ABCD，平面ABCD∩平面A1B1BA＝AB，但A1C1与AB异面．
答案　0
10．下列命题中正确的序号是________．
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②如果直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都没有公共点．
解析　借助如图所示的长方体模型，棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线
平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB?平面ABCD，所以③不正确；命题④正确．
答案　④
11．如图所示，四棱锥P ABCD的底面是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解　如题图，存在当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.
因为FM平面AEC，CE平面AEC，所以FM∥平面AEC.
由EM＝PE＝ED，得E是MD的中点，
连接BM，BD.设BD∩AC＝O，则O是BD的中点，连接OE，则BM∥OE.因为BM平面AEC，OE平面AEC，所以BM∥平面AEC.
因为FM∩BM＝M，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.
12．(创新拓展)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明　(1)取BB1的中点M，连接MC1，
∵H是AA1的中点，∴MHA1B1
C1D1，MBGF，
∴四边形HMC1D1是平行四边形，四边形MBFC1是平行四边形
∴HD1∥MC1，又MC1∥BF，∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，
则OEDC，
又D1GDC，
∴OED1G，
∴四边形OEGD1是平行四边形，
∴EG∥D1O.
又D1O平面BB1D1D，EG平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(3)由(1)知D1H∥BF，
又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，
BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，
DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H.