1.5.2 平行关系的性质 同步练习3（含答案）

1.5.2
平行关系的性质
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．
有四个命题：
①若aα，bβ，a∥b，则α∥β
②c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β
③若aα，bβ，α∥β，则a、b无交点
④若aα，α∥β，则a∥β
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　
B．1　
C．2　　　
D．3
[答案]　C
[解析]　①②中的α、β可能平行也可能相交；③④正确．
2．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
[答案]　B
．
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　)
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
[答案]　D
[解析]　∵
l
α，∴l∥α或l∩α＝A，
若l∥α，则由线面平行性质定理可知，
l∥a，l∥b，l∥c，…，∴由公理可知，a∥b∥c…；
若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c＝A.
4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是(　　)
A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
B．a∥c，b∥α，a α a∥α
C．α∥β，β∥γ α∥γ
D．α∥β，a∥α a∥β
[答案]　D
[解析]　当α∥β且a∥α时，可能有a∥β，也可能有a?β，因此选项D中的命题不正确．
5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A′B′C′D′，过棱A′B′的平面α与底面AC交于EF，则直线AB与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　
B．平行
C．异面　　　　　
D．不确定
[答案]　B
[解析]　∵A′B′∥AB，
∴A′B′∥平面AC.
又A′B′平面α，α∩平面AC＝EF，∴A′B′∥EF，
∴AB∥EF.故选B.
6．下列说法中正确的个数有(　　)
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行
④三个平行平面把两条直线截得的线段对应成比例
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案]　B
[解析]　如图知AC＝BD，但AC与BD不平行，②不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或aβ，③不正确．①④正确．
二、填空题
7．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为
l，由l与A1C1的位置关系是________．
[答案]　平行
[解析]　因为过A1、C1、B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，又正方体的两底面互相平行，则由两个平面平行的性质定理知l∥A1C1.
8．如图，A是△BCD所在平面外一点，，M是△ABC的重心，N是△ADC的中线AF上的点．并且MN∥平面BCD.当MN＝时，BD＝________.
[答案]　4
[解析]　如图，取E为BC的中点，连接AE、EF，则M在AE上，并且AM∶AE＝2∶3.
∵MN∥平面BCD，∴MN∥EF.
∴MN∶EF＝2∶3.
而EF＝BD，∴BD＝3MN＝4.
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
[解析]　证法一：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.
∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，
∴＝.
又∵BD＝B1A，B1E＝BF，
∴DF＝AE.
∴＝.∴EF∥B1M，
又B1M平面BB1C1C，EF
平面BB1C1C，
∴EF∥平面BB1C1C.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC平面BB1C1C，
FH
平面BB1C1C，∴FH∥平面BB1C1C，由FH∥AD可得＝.
又BF＝B1E，BD＝AB1∴＝，∴EH∥B1B，
B1B平面BB1C1C，EH
平面BB1C1C，
∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H，
∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF平面FHE，
∴EF∥平面BB1C1C.
能力提升
一、选择题
1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(　　)
A．α∩β＝a，bα a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，aα，bα α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
[答案]　D
[解析]　A中α∩β＝a，bα，则a，b可能平行也可能相交；
B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内；
C中a∥β，b∥β，aα，bα，根据面面平行的判定定理，需再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β.
D为面面平行性质定理的符号语言．
2．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是(　　)
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
[答案]　D
[解析]　∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，∴B1C1∥面EFGH，B1C1∥FG，∴Ω是五棱柱，故选D.
二、填空题
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[分析]　本题主要考查了立体几何中线面平行的性质定理、三角形中位线定理．21世纪教育网
[答案]　
[解析]　由于在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
4．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列结论：①若α∥β，mα，nβ，则m∥n；②若m、nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.
上面的结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
[答案]　③
[解析]　①m、n两条直线可能异面；②若m，n两条直线平行，则平面α，β可能相交；③正确．
三、解答题
5．如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
[证明]　如图所示，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
6．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明]　如图，连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED.
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.
又A1D1∩BD1＝D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．
(1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；
(2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．
[解析]　(1)证明：取B1C1的中点G，连接EG，GD，
则EG∥A1B1，DG∥BB1，
又EG∩DG＝G，
所以平面DEG∥平面ABB1A1，
又DE平面DEG，
所以DE∥平面ABB1A1.
(2)解：设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.
因为A1B∥平面B1DE，A1B平面A1BC1，
所以A1B∥EF.
所以＝.
又因为＝＝，所以＝.