1.5.2 平行关系的性质 同步练习4（含答案）

1.5.2
平行关系的性质
同步练习
1．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是(　　)．
A．c与a，b都异面
B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交
D．c与a，b都平行
解析　如图，
∵a∥b，aγ，bγ，∴a∥γ.
又∵aβ，β∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.
答案　D
2．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A α，则(　　)．
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
解析　若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.
答案　B
3．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)．
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析　直线a与B可确定一个平面γ，∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b.由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b唯一．
答案　D
4．如图，ABCD与A1B1C1D1是四棱台的上、下底面，那么AC和A1C1的位置关系是________．
解析　A1A和CC1延长后相交，AC和A1C1分别是平面AA1C1C与下、上底面交线，因为棱台上、下底面平行，所以AC∥A1C1.
答案　平行
5．如图所示，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
解析　由已知EG∥BD，
∴＝，∴EG＝.
答案　
6．如图，在空间四边形ABCD中，若P，R，Q分别是AB，AD，CD的中点，过P，R，Q的平面与BC交于点S，求证：S是BC的中点．
证明　由于Q是CD的中点，要证S是BC的中点，只需证SQ∥BD.在△ABD中，点P，R分别是AB，AD的中点，则PR∥BD，又PR平面BCD，BD平面BCD，所以PR∥平面BCD.又PR平面PRQS，平面PRQS∩平面BCD＝SQ，所以PR∥SQ，又PR∥BD，则SQ∥BD.又Q是CD的中点，所以S是BC的中点．
7．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B运动时，那么所有的动点C(
　　)．
A．不共面
B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时共面
C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动都共面
解析　不论A、B如何移动，其中点C都在与两平面等距的平行平面上．
答案　D
8．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．
解析　平行或相交，如图
答案　平行或相交
9．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析　∵MN∥平面AC，
平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
答案　
10．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.
证明　如图，取A1C1的中点F，连接AF，B1F，
∵E为AC的中点，∴AF∥C1E，
∵AF平面BEC1，C1E平面BEC1，
∴AF∥平面BEC1.
连接EF，由E、F分别是AC、A1C1的中点，
可知EF平行AA1平行BB1，∴BE∥B1F，
又∵B1F平面BEC1，BE平面BEC1，
∴B1F∥平面BEC1，
∵B1F∩AF＝F，∴平面BEC1∥平面AB1F.
∵AB1 平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.
11．(创新拓展)设平面α、β满足α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若SA＝18，SB＝9，CD＝34，求SC的长度．
解　设相交直线AB、CD确定的平面为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD，由α∥β，得AC∥BD.
①S点在两平面同侧时，如图1.因为BD∥AC，
所以＝，即＝，所以SC＝68.
图1　　　　　图2
②S点在两平面之间时，如图2.
因为AC∥BD，
所以＝＝，
即＝，
解得SC＝.
综上知SC的长度为68或.