1.5.2 平行关系的性质 学案2（含答案）

1.5.2
平行关系的性质
学案
问题导学
1．直线与平面平行的性质
活动与探究1
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
迁移与应用
1．如图，E，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG.
2．如图，AB∥α，CD∥α，AB与CD在平面α两侧且AB与CD不平行，AC，BD分别交α于M，N两点．
求证：AM∶MC＝BN∶ND．
名师点津
线、面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线、线平行线、面平行线、线平行．
2．平面与平面平行的性质
活动与探究2
如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4
cm，AB＝5
cm，PC＝3
cm，求PD的长．
迁移与应用
1．设平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)．
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
2．如图，α∥β，
AB交α，β于点A，B，CD交α，β于点C，D，AB∩CD＝O，O在两平面之间，AO＝5，BO＝8，CO＝6.求CD．
名师点津
利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论．
3．用面面平行证线面平行
活动与探究3
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD．
迁移与应用
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．
求证：AC∥平面BPQ.
名师点津
因为两个平行平面没有公共点，所以当两个平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点，所以可得线面平行关系．
4．平行关系的综合应用
活动与探究4
如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
迁移与应用
如图，已知P是 ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：l∥BC．
名师点津
1．熟练掌握空间平行关系中定理的条件与结论，注意它们之间的相互转化．
2．在论证过程中，“已知位置关系，用性质”，“论证位置关系，用判定”．
3．本例题是探索型问题，解决这类探索型问题的基本思路是：先假设所研究的对象成立或存在，然后以此为条件进行推理，得出存在的结论或得出矛盾．
当堂检测
1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)．
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
2．下列说法中正确的是(　　)．
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①②④
3．若α∥β，aα，下列四种说法中正确的是(　　)．
①a与β内所有直线平行；
②a与β内的无数条直线平行；
③a与β内的任何一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
A．①②
B．②④
C．②③
D．①③④
4．过两平行平面α，β外的点P有两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为__________．
5．如图所示，四边形ABCD是矩形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．(1)平行　过该直线　交线　(2)∥　
预习交流1　提示：不是．当直线a与平面α平行时，它和平面α内的直线有两种位置关系：平行与异面．
预习交流2　提示：(1)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.三个条件缺一不可．
(2)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
(3)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与直线a是异面直线．
2．(1)平行　交线　(2)∥　a　b
预习交流3　提示：a∥β.由于α∥β，所以α与β没有公共点，而aα，所以a与β也没有公共点．故必有a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法，即转化为面面平行．
预习交流4　提示：直线a与b可能平行，也可能异面，但不可能相交．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1　思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．
证明：连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又OM平面BMD，AP平面BMD，∴AP∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，AP平面PAHG，∴AP∥GH.
迁移与应用　1.证明：∵E，H分别是AB，
AD的中点，∴EH∥BD.
又BD平面BCD，EH平面BCD，∴EH∥平面BCD.
又EHα，α∩平面BCD＝FG，
∴EH∥FG.
2．证明：连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.
∵平面ACD∩α＝ME，CD∥α，
∴CD∥ME，∴＝.
同理，EN∥AB，∴＝，
∴＝.
活动与探究2　思路分析：由PB与PD相交于点P可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．
(1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
(2)解：由(1)得AC∥BD，
∴＝.
∴＝，∴CD＝(cm)．
∴PD＝PC＋CD＝(cm)．
迁移与应用　1．D　解析：依题意，由点B和直线a可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c，则必有c∥a，且这样的直线c是唯一的．
2．解：∵AB∩CD＝O，
∴AB，CD可确定一个平面，记为平面γ.
AC∥BD，
∴＝，即＝，
∴OD＝，∴CD＝＋6＝.
活动与探究3　思路分析：解题的关键是构造过MN与平面OCD平行的平面，根据题目条件中M为OA的中点，N为BC的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面．
证明：取OB的中点G，连接GN，GM.
在△OAB中，GM为中位线，
∴GM∥AB.
又AB∥CD，
∴GM∥CD.
∵GM平面OCD，CD平面OCD，∴GM∥平面OCD.
在△OBC中，GN为中位线，
∴GN∥OC.∵GN平面OCD，OC平面OCD，
∴GN∥平面OCD.
由于GM∩GN=G，
∴平面GMN∥平面OCD.
∵MN平面GMN，MN平面OCD，∴MN∥平面OCD.
迁移与应用　证明：连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD1.
∵CD1平面BPQ，PQ平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ.∵BQ平面BPQ，AD1平面BPQ，
∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，
∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC平面ACD1，
∴AC∥平面BPQ.
活动与探究4　思路分析：可从“若两平面平行，则一平面内的任一直线都与另一平面平行”这一结论入手考虑，作过B点与平面AEC平行的平面，与PC的交点就是要找的点．
解：存在．当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，连接BM，BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE.②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
迁移与应用　证明：因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC平面PBC，所以BC∥l.
当堂检测
1．D　2．D　3．B　4．12
5．证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD平面PAD，BC平面PAD，∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC平面BCFE，∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．