1.6 垂直关系 教案
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文档简介
1.6
垂直关系
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．
2．过程与方法
通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．
●重点难点
重点：垂直关系的判定定理．
难点：垂直关系的判定定理的应用．
直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．
●教学建议
1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：
(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？
(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？
(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．
2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？
(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直 类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理 通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法 通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法 通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题 归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解线面垂直、面面垂直的定义．2．理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义(重点)．3．能运用判定定理证明线面、面面垂直(重点、难点).
知识1
直线与平面垂直
【问题导思】
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB，地面为α，BC、BD为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．
(1)旗杆所在直线AB与影子BC、BD所在直线的位置关系是什么？
(2)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？
【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB与地面内不过B的直线B1C1也垂直．
1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．
2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.
图1－6－1
3．判定定理
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
l⊥α
知识2
二面角
【问题导思】
打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？
【提示】 打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．
1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
3．二面角的记法
如图1－6－2，记作：二面角α－AB－β，也可记作2∠α—AB—β.
图1－6－2
4．二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．
知识3
平面与平面垂直
【问题导思】
当二面角的平面角为90°时两个半平面有何特点？
【提示】 垂直．
1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．判定定理
文字语言
符号语言
图形语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
α⊥β
类型1
线面垂直的判定
例1 如图1－6－3所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且S为所在平面外一点，满足SA＝SB＝SC.D为AC的中点．求证：SD⊥平面ABC.
图1－6－3
【思路探究】
△SBD≌△SAD≌△SDC→∠SDB＝∠SDA＝∠SDC＝90°→SD⊥平面ABC
【自主解答】 ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，且D为AC的中点，
∴BD＝AD＝DC.
又∵SA＝SB＝SC，SD为公共边，
∴△SBD≌△SAD≌△SCD，
∴∠SDB＝∠SDA＝∠SCD＝90°，
∴SD⊥AD，SD⊥BD，∵AD∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
规律方法
1．若SA＝SB＝SC，则S在平面ABC上的射影为△ABC的外心，本例中△ABC为直角三角形，则△ABC的外心为斜边BC的中点D.
2．证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．
互动探究
本例中，若BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC.
【证明】 由例1知，BD⊥SD.
∵在△ABC中，BA＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，∵SD∩AC＝D，
∴BD⊥平面ASC.
类型2
面面垂直的判定
例2 如图1－6－4，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA⊥⊙O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：平面AEF⊥平面PBC.
图1－6－4
【思路探究】 由图形，设法证明AF⊥BC，AF⊥PC，从而得到AF⊥平面PBC，而AF 平面AEF，所以结论成立．
【自主解答】 因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
而AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.
又因为AF 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
规律方法
1．由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些．
2．证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角．
变式训练
如图1－6－5，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.
图1－6－5
【证明】 ∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD.又AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBD.
类型3
垂直关系的综合应用
例3 如图1－6－6，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
图1－6－6
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
【思路探究】 (1)欲证BC⊥平面PAC需找BC与AC、PA的垂直关系．
(2)找出二面角A—DE—P的平面角证明其为直角即可．
【自主解答】 (1)∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC.
又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，又∵DE∥BC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
又∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC.
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.
这时，∠AEP＝90°.
故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．
规律方法
1．解决线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系：即线线垂直 线面垂直 面面垂直．
2．求二面角的步骤：
(1)作出二面角的平面角；
(2)证明该角两边都与棱垂直，指出该角就是二面角的平面角；
(3)计算该角的大小，简记为作、证、算．
变式训练
如图1－6－7所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，求二面角P—BC—A的大小．
图1－6－7
【解】 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
又BC⊥AC，
∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．
在Rt△PBC中，
∵PB＝，BC＝，∴PC＝2.
在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝.
∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝，
∴∠PCA＝45°，
即二面角P—BC—A的大小为45°.
忽略判定定理的条件致误
典例 如图1－6－8所示，a∥b，点P在a，b所确定的平面外，PA⊥a于点A，AB⊥b于点B，求证PB⊥b.
图1－6－8
【错解】 ∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b，
∴PA⊥平面α，∴PB⊥b.
【错因分析】 上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，如由PA⊥a，PA⊥b得PA⊥α，而忽略了a∥b，a与b不相交。
【防范措施】 依据线面垂直的判定定理证明线面垂直时，必须严格按照定理的条件进行证明，尤其应注意“两条相交直线”这一条件不能忽略．
【正解】 ∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.
又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，
∴b⊥平面PAB.
又∵PB∈平面PAB，
∴PB⊥b.
1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．
2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个
B．有2个
C．无数个
D．不存在
【解析】 由面面垂直的判定知，过l任作一平面都与α垂直．
【答案】 C
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】 B中条件满足两平行线中的一条垂直于一平面，则另一条也垂直于该平面．
【答案】 B
3．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，则在平面PAB，平面PBC，平面PDA中，互相垂直的平面有________对．
【解析】 由面面垂直的判定知，平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PDA.
【答案】 2
4．已知四面体ABCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E，求证：CD⊥平面ABE.
【证明】 取AB中点M，连接MD，MC.
∵BC＝AC，BD＝AD，
∴CM⊥AB，DM⊥AB.
又CM∩DM＝M，
∴AB⊥平面CDM.
∵CD 平面CDM，
∴CD⊥AB.
又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，
∴CD⊥平面ABE.
一、选择题
1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是( )
A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥α
C．若m∥α，则m⊥l
D．若m∥l，则m⊥α
【解析】 A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m α，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．
【答案】 B
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
【解析】 连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.
【答案】 B
3．如图1－6－9，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
图1－6－9
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
【解析】 由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面PAE，
∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立．
【答案】 C
4．下列说法中正确命题的个数为( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；
④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；
⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．
A．0 B．1 C．2
D．3
【解析】 如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．
【答案】 B
5．如图1－6－10，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把
图1－6－10
这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( )
A．AG⊥平面EFG
B．AH⊥平面EFG
C．GF⊥平面AEF
D．GH⊥平面AEF
【解析】 ∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，
∴AG⊥平面EFG.
【答案】 A
二、填空题
6．如图1－6－11，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
图1－6－11
【解析】 ∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，
∴AC⊥平面BB1D1D.
∵AC 平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
【答案】 垂直
图1－6－12
7．如图1－6－12所示，已知PA⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．
【解析】 如图，设平面PAB∩l＝O，连接AO，BO，AB，
∵PA⊥α，l α，
∴PA⊥l.
同理PB⊥l，而PB∩PA＝P，
∴l⊥平面PAB，
∴l⊥AO，l⊥BO，
∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．
结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，
∴∠AOB＝130°.
【答案】 130°
8．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A点的新位置A′使平面A′EF⊥平面BEFC，则A′B＝________.
【解析】 取BC的中点N，连接AN交EF于点M，
连接A′M，
则A′M⊥EF.
∵平面A′EF⊥平面BCFE，
∴A′M⊥平面BCFE，
∴A′M⊥BM，
∵AM＝MN＝AN＝a，∴A′M＝a，
在Rt△MNB中，
MB2＝MN2＋NB2＝a2，
在Rt△A′MB中，
A′B＝＝a.
【答案】 a
三、解答题
图1－6－13
9．如图1－6－13所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
【证明】 设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM α，∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM，
∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直．
故AN⊥平面PBM.
图1－6－14
10．如图1－6－14所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
【证明】 法一 取BC的中点D，连接AD，SD.
∵∠ASB＝∠ASC，且SA＝SB＝AC，∴AS＝AB＝AC.
∴AD⊥BC.
又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，
∴BD＝SD.
∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.
由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.
又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二 同法一证得AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS即为二面角A—BC—S的平面角．
∵∠BSC＝90°，令SA＝1，
则SD＝，AD＝，∴SD2＋AD2＝SA2.
∴∠ADS＝90°.
∴平面ABC⊥平面BSC.
图1－6－15
11．如图1－6－15，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，分别交AC、SC于D、E，且SA＝AB＝a，BC＝a.
(1)求证：SC⊥平面BDE；
(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小．
【解】 (1)证明：∵SA⊥平面ABC，
又AB、AC、BD 平面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD，
∴SB＝＝a.
∵BC＝a，∴SB＝BC.
∵E为SC的中点，∴BE⊥SC.
又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE.
(2)由(1)及BD 平面BDE，得BD⊥SC.
又知BD⊥SA，
∴BD⊥平面SAC.
∴BD⊥AC且BD⊥DE.
∴∠CDE为平面BDE与平面BDC所成二面角的平面角．
∵AB⊥BC，AC＝＝a.
∴Rt△SAC中，tan∠SCA＝＝，
∴∠SCA＝30°.
∴∠CDE＝60°，
即平面BDE与平面BDC所成二面角为60°.
备选例题
已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别为AB，AC，AD，BC的中点．求证：平面EHG⊥平面FHG.
【思路探究】 在平面EHG中寻找一直线垂直平面FHG即可．
【自主解答】 如图，取CD的中点M，
连接HM，MG，FM，
则四边形MHEG为平行四边形．
连接EM交HG于O，连接FO.
在△FHG中，O为HG的中点，
且FH＝FG，
所以
FO⊥HG.
同理可证FO⊥EM.
又HG∩EM＝O，
所以FO⊥平面EHMG.
又FO 平面FHG，所以平面EHG⊥平面FHG.
规律方法
面面垂直问题，即线面垂直问题，继而可转化为线线垂直．当题干中给出的几何体不是规则的，且数据型条件较多时，比如线段长度、三角形的内角度数等，一般要通过计算证明几何图形中隐含的垂直关系．若给出的几何体是比较规则的，如正方体、正四棱锥等，一般要用几何体的性质找出其中的垂直关系．
备选变式
如图，在空间四边形ABDC中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BDG.
【证明】 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.
∴EF⊥平面BGD.
∵EF 平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解线面垂直、面面垂直性质定理的含义．(2)能运用性质定理证明相关问题．
2．过程与方法
通过对定理的理解，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过对定理的探究，培养学生用数学思维方式解决问题，培养学生的空间观念、空间想象能力．
●重点难点
重点：垂直关系的性质定理．
难点：垂直关系的性质定理的应用．
●教学建议
本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答所提问题，理解线面垂直及面面垂直的性质 通过例1及互动探究，使学生掌握直线与平面垂直的应用 通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的应用 通过例3及变式训练，使学生掌握垂直的综合问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识
课标解读
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)．2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)．3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化(难点).
知识1
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】
在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
【提示】 平行．
文字语言
图形语言
符号语言
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行
a∥b
知识2
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】
黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即可．
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
a⊥β
类型1
线面垂直性质定理的应用
例1 如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
图1－6－16
【思路探究】 证明BD1和EF
分别垂直于同一个平面即可．
【自主解答】 如图所示，连接AB1、B1C、BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1 平面BDD1，
∴BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥B1C.
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
规律方法
1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D.
2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．
互动探究
在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C？
【解】 若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.
因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.
类型2
面面垂直性质定理的应用
例2 已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，求证：PA⊥平面ABC.
【思路探究】 欲证线面垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．
【自主解答】 如图所示，在BC上任取一点D，
作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，
∵平面PAC⊥平面ABC，
且平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴DF⊥平面PAC，
又∵PA 平面PAC，
∴DF⊥PA，
同理DG⊥PA，
又∵DF∩DG＝D且DF 平面ABC，
DG 平面ABC，
∴PA⊥平面ABC.
规律方法
1．运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是在其中一个平面内作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直，如本题中作DG⊥AB，DF⊥AC.
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理；另一种是利用面面垂直的性质定理．
变式训练
如图1－6－17所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.
图1－6－17
【证明】 如图连接AP.
矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，
平面PDC∩平面ABCD＝DC，
∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，
又∵PD 平面PDC，
PC 平面PDC，
∴AD⊥PD，BC⊥PC，
在Rt△PAD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(2)2＋22＝12，
PM2＝PC2＋MC2＝22＋()2＝6，
又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(2)2＝6，
∴AP2＝PM2＋AM2，
∴AM⊥PM.
类型3
垂直关系的综合应用
图1－6－18
例3 如图1－6－18，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD、AE的中点分别为P，
M，求证：PM∥平面BCE.
【思路探究】 (1)要证明EF⊥平面BCE，只须EF⊥BE，EF⊥BC即可，由面面垂直的性质定理和∠FEA＋∠AEB＝90°很容易证明．
(2)要证明PM∥平面BCE，只须证明PM平行于平面BCE内的一条直线，取BE的中点N，易知PM∥CN.
【自主解答】 (1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.
因为BC 平面BCE，BE 平面BCE，
BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.
(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN平行并等于
AB平行并等于PC，所以PMNC为平行四边形．
所以PM∥CN.
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.
规律方法
1．本题(1)中充分利用了线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，从而到达证明目的．
2．线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．
变式训练
如图1－6－19，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
图1－6－19
【证明】 设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO 平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
转化思想在垂直关系中的应用
典例 (12分)如图1－6－20，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC；
(2)证明：SE＝2EB.
【思路点拨】 由平面
EDC⊥平面SBC可考虑
作或找这两个平面交线的垂线．
【规范解答】 (1)连接BD，
∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，
∴BC⊥平面BDS，
∴BC⊥DE.
2分
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.
4分
又∵BK 平面SBC，BC 平面SBC，
BK∩BC＝B，
∴DE⊥平面SBC.
6分
(2)由(1)知DE⊥SB，DB＝AD＝.8分
∴SB＝＝，DE＝＝，
10分
EB＝＝，SE＝SB－EB＝，
∴SE＝2EB.
12分
【思维启迪】 在垂直问题的论证中线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化，每一种垂直的判定都是从一种垂直关系开始转化为另一种垂直关系．
1．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：
2．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．
1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )
A．n∥α
B．n∥α或n α
C．
n α或n与α不平行
D．n α
【解析】 ∵l α且l与n异面，∴nα，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
【答案】 A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
A．②
B．③
C．①④
D．②③
【解析】 因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立．
【答案】 A
3．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是________．
【解析】 如果α⊥β，β内有三条直线分别为a、b、c，由图可知，a∥α，b∩α＝A，c?α.
【答案】 平行、相交或直线在另一个平面内
4．已知：平面α∩平面β＝AB，α⊥γ，β⊥γ，求证：AB⊥γ.
【证明】 如图，∵α⊥γ于BC，β⊥γ于BD，在γ内过一点P作直线n⊥BD，过P作直线m⊥BC，
则m⊥α，n⊥β.
∵α∩β＝AB，
∴m⊥AB，n⊥AB.
又m∩n＝P，∴AB⊥γ.
一、选择题
1．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l β B．若l∥α，α∥β，则l β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【解析】
A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.
【答案】 C
2．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a α，直线b β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b( )
A．可能垂直，不可能平行
B．可能平行，不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．不可能垂直，也不可能平行
【解析】 当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，
∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．
【答案】 B
3．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解析】 设A点在平面BCD内的射影为O.可知，
△OAB≌△OAC≌△OAD.
∴OB＝OC＝OD，
∴点O为外心．
【答案】 A
4．如图1－6－21，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( )
图1－6－21
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】 在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°.
∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面ABD.
∵BA 平面ADB，∴CD⊥AB.
∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.
∵BA 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.
【答案】 A
图1－6－22
5．如图1－6－22，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在( )
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
【解析】 连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.
若AP 平面AB1C，则AP⊥BD1.
这样只要P在B1C上移动即可．
【答案】 A
二、填空题
图1－6－23
6．如图1－6－23，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3
cm，BD＝12
cm，则CD＝______.
【解析】 连接BC.
因为平面α⊥平面β，
且α∩β＝l，
又因为BD 平面β，
且BD⊥l，
所以BD⊥平面α.
又∵BC 平面α，∴BC⊥BD.
所以△CBD也是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5.
在Rt△CBD中，CD＝＝13.
所以CD长为13
cm.
【答案】 13
cm
7．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
【解析】 利用面面垂直的判定，可知①③④ ②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④ ①为真．
【答案】 若①③④，则②(或若②③④，则①)
图1－6－24
8．如图1－6－24平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
【解析】 如图所示，取BC的中点E，连接ED，AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BDC.
∴AE⊥平面BDC，∴AE⊥ED.
在Rt△ABC和Rt△BCD中，
AE＝ED＝BC＝a，
∴在Rt△AED中，AD＝＝a.
【答案】 a
三、解答题
9．已知：平面α∩β＝AB，PQ⊥平面α于点Q，PO⊥平面β于点O，OR⊥平面α于点R.求证：QR⊥AB.
【证明】 如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.
∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
∴AB⊥平面PQRO.
又∵QR 平面PQRO，∴QR⊥AB.
10．如图1－6－25所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中
图1－6－25
点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
【证明】 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON平行并等于CD平行并等于AB，∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM.
∵ON＝AB，
∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
图1－6－26
11．如图1－6－26所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【证明】 (1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD 平面PAD，PG 平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG 平面PBG，PG 平面PBG，且BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
备选例题
S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，AD⊥SB于D，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
【思路探究】 要证线线垂直，可以证明一线与另一线所在平面垂直，已知条件中的线面垂直，面面垂直为线线垂直作了准备．
【自主解答】 如图，在平面SAB内，AD⊥SB于D，由于平面SAB⊥平面SBC，
∴AD⊥平面SBC.
∵BC 平面SBC，
∴AD⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴SA⊥BC.
∵SA∩AD＝A，
且SA，AD 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB 平面SAB，
∴AB⊥BC.
规律方法
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系．通过本题可以看到：面面垂直 线面垂直 线线垂直．
备选变式
如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.
【证明】 (1)∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，∴SA⊥BC.
∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
垂直关系
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．
2．过程与方法
通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．
●重点难点
重点：垂直关系的判定定理．
难点：垂直关系的判定定理的应用．
直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．
●教学建议
1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：
(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？
(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？
(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．
2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？
(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直 类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理 通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法 通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法 通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题 归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解线面垂直、面面垂直的定义．2．理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义(重点)．3．能运用判定定理证明线面、面面垂直(重点、难点).
知识1
直线与平面垂直
【问题导思】
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB，地面为α，BC、BD为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．
(1)旗杆所在直线AB与影子BC、BD所在直线的位置关系是什么？
(2)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？
【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB与地面内不过B的直线B1C1也垂直．
1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．
2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.
图1－6－1
3．判定定理
文字语言
符号语言
图形语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
l⊥α
知识2
二面角
【问题导思】
打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？
【提示】 打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．
1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
3．二面角的记法
如图1－6－2，记作：二面角α－AB－β，也可记作2∠α—AB—β.
图1－6－2
4．二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．
知识3
平面与平面垂直
【问题导思】
当二面角的平面角为90°时两个半平面有何特点？
【提示】 垂直．
1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．判定定理
文字语言
符号语言
图形语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
α⊥β
类型1
线面垂直的判定
例1 如图1－6－3所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且S为所在平面外一点，满足SA＝SB＝SC.D为AC的中点．求证：SD⊥平面ABC.
图1－6－3
【思路探究】
△SBD≌△SAD≌△SDC→∠SDB＝∠SDA＝∠SDC＝90°→SD⊥平面ABC
【自主解答】 ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，且D为AC的中点，
∴BD＝AD＝DC.
又∵SA＝SB＝SC，SD为公共边，
∴△SBD≌△SAD≌△SCD，
∴∠SDB＝∠SDA＝∠SCD＝90°，
∴SD⊥AD，SD⊥BD，∵AD∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
规律方法
1．若SA＝SB＝SC，则S在平面ABC上的射影为△ABC的外心，本例中△ABC为直角三角形，则△ABC的外心为斜边BC的中点D.
2．证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．
互动探究
本例中，若BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC.
【证明】 由例1知，BD⊥SD.
∵在△ABC中，BA＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，∵SD∩AC＝D，
∴BD⊥平面ASC.
类型2
面面垂直的判定
例2 如图1－6－4，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA⊥⊙O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：平面AEF⊥平面PBC.
图1－6－4
【思路探究】 由图形，设法证明AF⊥BC，AF⊥PC，从而得到AF⊥平面PBC，而AF 平面AEF，所以结论成立．
【自主解答】 因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
而AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.
又因为AF 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
规律方法
1．由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些．
2．证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角．
变式训练
如图1－6－5，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.
图1－6－5
【证明】 ∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD.又AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBD.
类型3
垂直关系的综合应用
例3 如图1－6－6，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
图1－6－6
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
【思路探究】 (1)欲证BC⊥平面PAC需找BC与AC、PA的垂直关系．
(2)找出二面角A—DE—P的平面角证明其为直角即可．
【自主解答】 (1)∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC.
又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，又∵DE∥BC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
又∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC.
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.
这时，∠AEP＝90°.
故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．
规律方法
1．解决线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系：即线线垂直 线面垂直 面面垂直．
2．求二面角的步骤：
(1)作出二面角的平面角；
(2)证明该角两边都与棱垂直，指出该角就是二面角的平面角；
(3)计算该角的大小，简记为作、证、算．
变式训练
如图1－6－7所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，求二面角P—BC—A的大小．
图1－6－7
【解】 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
又BC⊥AC，
∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．
在Rt△PBC中，
∵PB＝，BC＝，∴PC＝2.
在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝.
∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝，
∴∠PCA＝45°，
即二面角P—BC—A的大小为45°.
忽略判定定理的条件致误
典例 如图1－6－8所示，a∥b，点P在a，b所确定的平面外，PA⊥a于点A，AB⊥b于点B，求证PB⊥b.
图1－6－8
【错解】 ∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b，
∴PA⊥平面α，∴PB⊥b.
【错因分析】 上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，如由PA⊥a，PA⊥b得PA⊥α，而忽略了a∥b，a与b不相交。
【防范措施】 依据线面垂直的判定定理证明线面垂直时，必须严格按照定理的条件进行证明，尤其应注意“两条相交直线”这一条件不能忽略．
【正解】 ∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.
又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，
∴b⊥平面PAB.
又∵PB∈平面PAB，
∴PB⊥b.
1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．
2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个
B．有2个
C．无数个
D．不存在
【解析】 由面面垂直的判定知，过l任作一平面都与α垂直．
【答案】 C
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】 B中条件满足两平行线中的一条垂直于一平面，则另一条也垂直于该平面．
【答案】 B
3．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，则在平面PAB，平面PBC，平面PDA中，互相垂直的平面有________对．
【解析】 由面面垂直的判定知，平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PDA.
【答案】 2
4．已知四面体ABCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E，求证：CD⊥平面ABE.
【证明】 取AB中点M，连接MD，MC.
∵BC＝AC，BD＝AD，
∴CM⊥AB，DM⊥AB.
又CM∩DM＝M，
∴AB⊥平面CDM.
∵CD 平面CDM，
∴CD⊥AB.
又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，
∴CD⊥平面ABE.
一、选择题
1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是( )
A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥α
C．若m∥α，则m⊥l
D．若m∥l，则m⊥α
【解析】 A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m α，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．
【答案】 B
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
【解析】 连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.
【答案】 B
3．如图1－6－9，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
图1－6－9
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
【解析】 由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面PAE，
∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立．
【答案】 C
4．下列说法中正确命题的个数为( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；
④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；
⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．
A．0 B．1 C．2
D．3
【解析】 如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．
【答案】 B
5．如图1－6－10，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把
图1－6－10
这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( )
A．AG⊥平面EFG
B．AH⊥平面EFG
C．GF⊥平面AEF
D．GH⊥平面AEF
【解析】 ∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，
∴AG⊥平面EFG.
【答案】 A
二、填空题
6．如图1－6－11，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
图1－6－11
【解析】 ∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，
∴AC⊥平面BB1D1D.
∵AC 平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
【答案】 垂直
图1－6－12
7．如图1－6－12所示，已知PA⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．
【解析】 如图，设平面PAB∩l＝O，连接AO，BO，AB，
∵PA⊥α，l α，
∴PA⊥l.
同理PB⊥l，而PB∩PA＝P，
∴l⊥平面PAB，
∴l⊥AO，l⊥BO，
∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．
结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，
∴∠AOB＝130°.
【答案】 130°
8．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A点的新位置A′使平面A′EF⊥平面BEFC，则A′B＝________.
【解析】 取BC的中点N，连接AN交EF于点M，
连接A′M，
则A′M⊥EF.
∵平面A′EF⊥平面BCFE，
∴A′M⊥平面BCFE，
∴A′M⊥BM，
∵AM＝MN＝AN＝a，∴A′M＝a，
在Rt△MNB中，
MB2＝MN2＋NB2＝a2，
在Rt△A′MB中，
A′B＝＝a.
【答案】 a
三、解答题
图1－6－13
9．如图1－6－13所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
【证明】 设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM α，∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM，
∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直．
故AN⊥平面PBM.
图1－6－14
10．如图1－6－14所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
【证明】 法一 取BC的中点D，连接AD，SD.
∵∠ASB＝∠ASC，且SA＝SB＝AC，∴AS＝AB＝AC.
∴AD⊥BC.
又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，
∴BD＝SD.
∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.
由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.
又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二 同法一证得AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS即为二面角A—BC—S的平面角．
∵∠BSC＝90°，令SA＝1，
则SD＝，AD＝，∴SD2＋AD2＝SA2.
∴∠ADS＝90°.
∴平面ABC⊥平面BSC.
图1－6－15
11．如图1－6－15，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，分别交AC、SC于D、E，且SA＝AB＝a，BC＝a.
(1)求证：SC⊥平面BDE；
(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小．
【解】 (1)证明：∵SA⊥平面ABC，
又AB、AC、BD 平面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD，
∴SB＝＝a.
∵BC＝a，∴SB＝BC.
∵E为SC的中点，∴BE⊥SC.
又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE.
(2)由(1)及BD 平面BDE，得BD⊥SC.
又知BD⊥SA，
∴BD⊥平面SAC.
∴BD⊥AC且BD⊥DE.
∴∠CDE为平面BDE与平面BDC所成二面角的平面角．
∵AB⊥BC，AC＝＝a.
∴Rt△SAC中，tan∠SCA＝＝，
∴∠SCA＝30°.
∴∠CDE＝60°，
即平面BDE与平面BDC所成二面角为60°.
备选例题
已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别为AB，AC，AD，BC的中点．求证：平面EHG⊥平面FHG.
【思路探究】 在平面EHG中寻找一直线垂直平面FHG即可．
【自主解答】 如图，取CD的中点M，
连接HM，MG，FM，
则四边形MHEG为平行四边形．
连接EM交HG于O，连接FO.
在△FHG中，O为HG的中点，
且FH＝FG，
所以
FO⊥HG.
同理可证FO⊥EM.
又HG∩EM＝O，
所以FO⊥平面EHMG.
又FO 平面FHG，所以平面EHG⊥平面FHG.
规律方法
面面垂直问题，即线面垂直问题，继而可转化为线线垂直．当题干中给出的几何体不是规则的，且数据型条件较多时，比如线段长度、三角形的内角度数等，一般要通过计算证明几何图形中隐含的垂直关系．若给出的几何体是比较规则的，如正方体、正四棱锥等，一般要用几何体的性质找出其中的垂直关系．
备选变式
如图，在空间四边形ABDC中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BDG.
【证明】 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.
∴EF⊥平面BGD.
∵EF 平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解线面垂直、面面垂直性质定理的含义．(2)能运用性质定理证明相关问题．
2．过程与方法
通过对定理的理解，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过对定理的探究，培养学生用数学思维方式解决问题，培养学生的空间观念、空间想象能力．
●重点难点
重点：垂直关系的性质定理．
难点：垂直关系的性质定理的应用．
●教学建议
本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答所提问题，理解线面垂直及面面垂直的性质 通过例1及互动探究，使学生掌握直线与平面垂直的应用 通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的应用 通过例3及变式训练，使学生掌握垂直的综合问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识
课标解读
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)．2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)．3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化(难点).
知识1
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】
在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
【提示】 平行．
文字语言
图形语言
符号语言
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行
a∥b
知识2
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】
黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即可．
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
a⊥β
类型1
线面垂直性质定理的应用
例1 如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
图1－6－16
【思路探究】 证明BD1和EF
分别垂直于同一个平面即可．
【自主解答】 如图所示，连接AB1、B1C、BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1 平面BDD1，
∴BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥B1C.
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
规律方法
1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D.
2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．
互动探究
在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C？
【解】 若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.
因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.
类型2
面面垂直性质定理的应用
例2 已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，求证：PA⊥平面ABC.
【思路探究】 欲证线面垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．
【自主解答】 如图所示，在BC上任取一点D，
作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，
∵平面PAC⊥平面ABC，
且平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴DF⊥平面PAC，
又∵PA 平面PAC，
∴DF⊥PA，
同理DG⊥PA，
又∵DF∩DG＝D且DF 平面ABC，
DG 平面ABC，
∴PA⊥平面ABC.
规律方法
1．运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是在其中一个平面内作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直，如本题中作DG⊥AB，DF⊥AC.
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理；另一种是利用面面垂直的性质定理．
变式训练
如图1－6－17所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.
图1－6－17
【证明】 如图连接AP.
矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，
平面PDC∩平面ABCD＝DC，
∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，
又∵PD 平面PDC，
PC 平面PDC，
∴AD⊥PD，BC⊥PC，
在Rt△PAD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(2)2＋22＝12，
PM2＝PC2＋MC2＝22＋()2＝6，
又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(2)2＝6，
∴AP2＝PM2＋AM2，
∴AM⊥PM.
类型3
垂直关系的综合应用
图1－6－18
例3 如图1－6－18，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD、AE的中点分别为P，
M，求证：PM∥平面BCE.
【思路探究】 (1)要证明EF⊥平面BCE，只须EF⊥BE，EF⊥BC即可，由面面垂直的性质定理和∠FEA＋∠AEB＝90°很容易证明．
(2)要证明PM∥平面BCE，只须证明PM平行于平面BCE内的一条直线，取BE的中点N，易知PM∥CN.
【自主解答】 (1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.
因为BC 平面BCE，BE 平面BCE，
BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.
(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN平行并等于
AB平行并等于PC，所以PMNC为平行四边形．
所以PM∥CN.
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.
规律方法
1．本题(1)中充分利用了线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，从而到达证明目的．
2．线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理．
变式训练
如图1－6－19，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
图1－6－19
【证明】 设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO 平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
转化思想在垂直关系中的应用
典例 (12分)如图1－6－20，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC；
(2)证明：SE＝2EB.
【思路点拨】 由平面
EDC⊥平面SBC可考虑
作或找这两个平面交线的垂线．
【规范解答】 (1)连接BD，
∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，
∴BC⊥平面BDS，
∴BC⊥DE.
2分
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.
4分
又∵BK 平面SBC，BC 平面SBC，
BK∩BC＝B，
∴DE⊥平面SBC.
6分
(2)由(1)知DE⊥SB，DB＝AD＝.8分
∴SB＝＝，DE＝＝，
10分
EB＝＝，SE＝SB－EB＝，
∴SE＝2EB.
12分
【思维启迪】 在垂直问题的论证中线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化，每一种垂直的判定都是从一种垂直关系开始转化为另一种垂直关系．
1．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：
2．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．
1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )
A．n∥α
B．n∥α或n α
C．
n α或n与α不平行
D．n α
【解析】 ∵l α且l与n异面，∴nα，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
【答案】 A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
A．②
B．③
C．①④
D．②③
【解析】 因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立．
【答案】 A
3．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是________．
【解析】 如果α⊥β，β内有三条直线分别为a、b、c，由图可知，a∥α，b∩α＝A，c?α.
【答案】 平行、相交或直线在另一个平面内
4．已知：平面α∩平面β＝AB，α⊥γ，β⊥γ，求证：AB⊥γ.
【证明】 如图，∵α⊥γ于BC，β⊥γ于BD，在γ内过一点P作直线n⊥BD，过P作直线m⊥BC，
则m⊥α，n⊥β.
∵α∩β＝AB，
∴m⊥AB，n⊥AB.
又m∩n＝P，∴AB⊥γ.
一、选择题
1．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l β B．若l∥α，α∥β，则l β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【解析】
A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.
【答案】 C
2．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a α，直线b β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b( )
A．可能垂直，不可能平行
B．可能平行，不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．不可能垂直，也不可能平行
【解析】 当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，
∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．
【答案】 B
3．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解析】 设A点在平面BCD内的射影为O.可知，
△OAB≌△OAC≌△OAD.
∴OB＝OC＝OD，
∴点O为外心．
【答案】 A
4．如图1－6－21，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( )
图1－6－21
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】 在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°.
∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面ABD.
∵BA 平面ADB，∴CD⊥AB.
∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.
∵BA 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.
【答案】 A
图1－6－22
5．如图1－6－22，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在( )
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
【解析】 连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.
若AP 平面AB1C，则AP⊥BD1.
这样只要P在B1C上移动即可．
【答案】 A
二、填空题
图1－6－23
6．如图1－6－23，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3
cm，BD＝12
cm，则CD＝______.
【解析】 连接BC.
因为平面α⊥平面β，
且α∩β＝l，
又因为BD 平面β，
且BD⊥l，
所以BD⊥平面α.
又∵BC 平面α，∴BC⊥BD.
所以△CBD也是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5.
在Rt△CBD中，CD＝＝13.
所以CD长为13
cm.
【答案】 13
cm
7．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
【解析】 利用面面垂直的判定，可知①③④ ②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④ ①为真．
【答案】 若①③④，则②(或若②③④，则①)
图1－6－24
8．如图1－6－24平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
【解析】 如图所示，取BC的中点E，连接ED，AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BDC.
∴AE⊥平面BDC，∴AE⊥ED.
在Rt△ABC和Rt△BCD中，
AE＝ED＝BC＝a，
∴在Rt△AED中，AD＝＝a.
【答案】 a
三、解答题
9．已知：平面α∩β＝AB，PQ⊥平面α于点Q，PO⊥平面β于点O，OR⊥平面α于点R.求证：QR⊥AB.
【证明】 如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.
∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
∴AB⊥平面PQRO.
又∵QR 平面PQRO，∴QR⊥AB.
10．如图1－6－25所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中
图1－6－25
点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
【证明】 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON平行并等于CD平行并等于AB，∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM.
∵ON＝AB，
∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
图1－6－26
11．如图1－6－26所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【证明】 (1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD 平面PAD，PG 平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG 平面PBG，PG 平面PBG，且BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
备选例题
S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，AD⊥SB于D，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
【思路探究】 要证线线垂直，可以证明一线与另一线所在平面垂直，已知条件中的线面垂直，面面垂直为线线垂直作了准备．
【自主解答】 如图，在平面SAB内，AD⊥SB于D，由于平面SAB⊥平面SBC，
∴AD⊥平面SBC.
∵BC 平面SBC，
∴AD⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴SA⊥BC.
∵SA∩AD＝A，
且SA，AD 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB 平面SAB，
∴AB⊥BC.
规律方法
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系．通过本题可以看到：面面垂直 线面垂直 线线垂直．
备选变式
如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.
【证明】 (1)∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，∴SA⊥BC.
∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.