1.6.1 垂直关系的判定 同步练习1（含答案）

1.6.1
垂直关系的判定
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知直线a∥β，则过a与β垂直的平面有(
)
(A)有且只有一个
(B)2个
(C)无数个
(D)不存在
2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的
平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA=AC，
则二面角P-BC-A的大小为(
)
(A)60°
(B)30°
(C)45°
(D)90°
3.设l是直线α，β是两个不同的平面(
)
(A)若l∥α，
l∥β，则α∥β
(B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β
(C)若α⊥β，
l⊥α，则l⊥β
(D)若α⊥β，
l∥α，则l⊥β
4.如图，四边形ABCD中，AD=AB，AD∥BC，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是(
)
(A)平面ABD⊥平面ABC
(B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC
(D)平面ADC⊥平面ABC
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.□ABCD的对角线交
于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC，
PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_________.
6.已知点E，F分别在正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于
_________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，
且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE．
8.(易错题)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图2.
(1)求证：平面BDE⊥平面BEC；
(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.
【挑战能力】
(10分)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，
AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F分别是AC，AD
上的动点，且
(0<λ<1).
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
答案解析
1.【解析】选A.过a上任意一点，有且只有一条直线l与β垂直，l与a惟一确定一个平面，该平面与β垂直.
2.【解析】选C.∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，易得BC⊥AC，又∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.
在Rt△PAC中，PA=AC，∴∠PCA=45°.
3.【解题指南】根据线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断.
【解析】选B.
若l∥α，
l∥β，则α，β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又mα，故α⊥β，故B对；若α⊥β，
l⊥α，则l∥β或lβ，故C错；若α⊥β，
l∥α，则l与β关系不确定，故D错．
4.【解析】选D.由平面图形易知∠BDC=90°，
∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，CD平面BCD
∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.
又AB⊥AD，AD∩CD=D，∴AB⊥平面ADC.
又AB平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.
5.【解析】∵AO=CO，PA=PC，
∴PO⊥AC.
∵BO=DO，PD=PB，∴PO⊥BD.
又AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD.
答案：PO⊥平面ABCD
6.【解析】如图所示，延长FE、CB相交于点G.
连接AG，设正方体的棱长为3，
则GB=BC=3，作BH⊥AG，连接EH.
则∠EHB为所求二面角的平面角.
∵BH=EB=1，∴
答案：
7.【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.
(2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行.
【证明】(1)D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，
又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1.
又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
A1B1=A1C1，所以有AB=AC.
又由(1)知AD⊥平面BCC1B1，
所以AD⊥BC，
所以D为边BC上的中点，
连接DF，得AA1FD为平行四边形，故A1F∥AD，
又AD平面ADE，
A1F平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE．
【例】如图，两个全等的正方形木板ABCD
与DCC′D′互相垂直.求BD′与DC′所成的角.
【解析】将几何图形补成正方体如图所示，连接CD′，
由BC⊥平面DCC′D′，
∴BC⊥DC′，又DC′⊥D′C，
BC∩D′C=C，
∴DC′⊥平面BCD′，
∴DC′⊥BD′，
∴BD′与DC′所成的角为90°.
8.【解析】(1)因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
又在正方形ADEF中，ED⊥AD，
所以，ED⊥平面ABCD.
而BC平面ABCD，所以，ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中，CD=2，
所以，BD2+BC2=CD2，所以，BC⊥BD.
又ED，BD包含于平面BDE，ED∩BD=D，
所以，BC⊥平面BDE.
而BC平面BEC，
所以，平面BDE⊥平面BEC.
(2)因为EF∥AD，EF平面ABCD，AD平面ABCD，
所以，EF∥平面ABCD.
因为平面EFB与平面ABCD有公共点B，
所以可设平面EFB∩平面ABCD=BG，G∈CD.
因为EF∥平面ABCD，EF平面EFB，平面EFB∩平面ABCD=BG，所以EF∥BG.
从而，BG∥AD，
又AB∥DG，且AB=1，CD=2，
所以G为CD中点，ABGD也为正方形.
易知BG⊥平面ECD，所以BG⊥EG，BG⊥DG.
所以，∠EGD是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角，而∠EGD=45°，
所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45°.
【挑战能力】
【解析】(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.
又∵
(0<λ<1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又∵EF平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=，AB=tan60°=
∴由AB2=AE·AC，
得
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.