1.6.1 垂直关系的判定 同步练习2（含答案）

1.6.1
垂直关系的判定
同步练习
课后训练
1．若三条直线OA，OB，
OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)．
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)．
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．不确定
3．下列结论正确的是(　　)．
A．若直线a∥平面α，直线b⊥a，b平面β，则α⊥β
B．若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥β
C．过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
D．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(　　)．
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
5．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　)．
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
6．如下图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是__________.
7．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的投影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的__________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的__________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．
8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
(1)设F是棱AB的中点，证明直线EE1∥平面FCC1；
(2)求证：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
10．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1答案：C　解析：由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，
所以OA⊥平面OBC.
2答案：B
3答案：B
4答案：A　解析：易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.
5答案：D　解析：由已知PC⊥BC，PC⊥AC，
又AC∩BC＝C，
∴PC⊥平面ABC.
又FG∥PC，
∴FG⊥平面ABC.
又FG平面EFG，
∴平面EFG⊥平面ABC，
故B正确．
∵FG∥PC，GE∥BC，
∴平面EFG∥平面PBC.
故A正确．
由异面直线所成角的定义知C正确．故选D.
6答案：垂直　解析：易知BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.
又AC平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BDE.
7答案：外　垂　内　解析：连接OA，OB，OC，由PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心．
若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，∴BC⊥PO.
∴BC⊥平面PAO.∴BC⊥AO.
同理AC⊥OB.
∴O是△ABC的垂心．
若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．
8答案：证明：(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，21世纪教育网
所以EF∥BC，又EF平面ABC，BC平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，
所以A1D⊥平面BB1C1C，
又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
9答案：证明：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，
因为AB＝4，CD＝2，且AB∥CD，所以CD＝A1F1，CD∥A1F1，四边形A1F1CD为平行四边形，
所以CF1∥A1D.又因为E，E1分别是棱AD，AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1.
又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，
所以直线EE1∥平面FCC1.
(2)在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC.
因为底面ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝2，F是棱AB的中点，所以CF＝CB＝BF，△BCF为正三角形，∠BCF＝60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF＝30°，
所以AC⊥BC.
又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，
所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
10答案：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.
(2)解：设正方形边长为a，则SD=a，又OD=a，所以∠SDO=60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，即二面角P－AC－D的大小为30°.
(3)解：在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD=a，故可在SP上取一点N，使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN，在△BDN中，知BN∥PO.又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，可得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1，故SE∶EC=2∶1.