1.6.1 垂直关系的判定 同步练习3（含答案）

1.6.1
垂直关系的判定
同步练习
1．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，
m⊥α，α⊥β，则(　　)．
A．n⊥β
B．n∥β或n β
C．n⊥α
D．n∥α或n α
解析　如图所示．
图①中n与β相交，②中n?β，③中n∥β，n∥α，∴排除A、B、C，故选D.
答案　D
2．已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α n⊥α；②α∥β，m α，n β m∥n；③m∥n，m∥α n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α n⊥β.其中正确命题的序号是(　　)．
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
解析　由α∥β，m α，n β m∥n或m、n异面，
∴②错，由m∥n，m∥α n∥α或n α，
∴③错，故选C.
答案　C
3．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是(　　)．
A．平面ABC必不垂直于α
B．平面ABC必平行于α
C．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
解析　当三点A、B、C不在平面α的同侧时，平面ABC与α相交，相交时也可能垂直于α，排除A、B、C.
答案　D
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下结论：
①AB⊥平面BCC1B1；②AC⊥平面CDD1C1；③AC⊥平面BDD1B1.
其中正确的序号是________．
解析　结合图形，利用线面垂直的判定定理进行判断．
答案　①③
5．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于平面α内两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内所有直线；
③若m α，l β，且l⊥m，则α⊥β；
④若l β，且l⊥α，则α⊥β；
⑤若m α，l β，且α∥β，则m∥l.
其中正确命题的序号是________．
解析　利用线面、面面关系的判定及性质求解．
①④是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确．l∥α，则l与α内的直线可能平行，也可能异面，故②不正确；两个平面平行时，分别在两平面内也可以有相互垂直的直线，故③不正确；两个平面平行，两个平面内的直线有可能是异面直线，故⑤不正确．
答案　①④
6．如图，在Rt△AOB中，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B AO C是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB
.
证明　∵Rt△AOC是由Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，
∴Rt△AOC≌Rt△AOB，
∴CO⊥AO，OB⊥AO，
∴∠COB为二面角B AO C的平面角．
又∵二面角B
AO C是直二面角，
∴∠COB＝90°，∴CO⊥OB，
∴CO⊥平面AOB，又CO 平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB.
7．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面命题正确的是(　　)．
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
解析　A中，α⊥γ，β⊥γ α与β平行或相交．∴A不正确；
C中，m∥α，n∥α m与n平行、相交或异面．∴C不正确；
D中，m∥α，m∥β α与β平行或相交．∴D不正确．
故选B.
答案　B
8．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)．
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
解析　取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，
∴选C.
答案　C
9．如图所示，在空间四边形ABCD中，如果AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是________．
解析　如图所示，过A作AH⊥平面BCD，
因为CD⊥AB，BC⊥AD，
所以CD⊥BH，BC⊥DH.
故H为△BCD的垂心．
连接CH，
则BD⊥CH.
∴BD⊥AC.
答案　AC⊥BD
10．如果二面角α l β中α内一点A到平面β的距离是A点到棱l距离的一半，则α l β的平面角为________．
解析　二面角的大小可用平面角的大小来表示，它们的范围是[0°，180°]，过点A向平面β作垂线时垂足可能在半平面β内也可能在半平面β外，从而该有两种可能．
过点A向平面β作垂线，垂足为点C，过点A向直线l作垂线，垂足为B，连接BC，则∠ABC或其补角为α l β的平面角，显然∠ABC＝30°，故α l β的平面角为30°或150°.
答案　30°或150°
11．如图，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB交SB于点E.过点E作EF⊥SC交SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
证明　(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC.
∵ABCD为矩形，
∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE.又SB⊥AE，
∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SC.又EF⊥SC，
∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，
∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.
由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.
12．(创新拓展)如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，
(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；
(2)求二面角C BD A的余弦值．
(1)证明　法一　由题设，知AD＝CD＝BD，
作DO⊥平面ABC，O为垂足，
则OA＝OB＝OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点，
∴O∈AB，即O∈平面ABD，
∴OD 平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ABC.
法二　取AB中点O，连接OD、OC，
则有OD⊥AB，OC⊥AB，
即∠COD是二面角C AB D的平面角．
设AC＝a，则OC＝OD＝a.
又CD＝AD＝AC，
∴CD＝a.
∴△COD是直角三角形，即∠COD＝90°.
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
(2)解　取BD的中点E，连接CE、OE、OC.
∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角C BD A的平面角．
由(1)可证得OC⊥平面ABD，
∴OC⊥OE.
∴△COE为直角三角形．
设BC＝b，则CE＝b，OE＝b，
∴cos∠OEC＝＝.