1.6.1 垂直关系的判定 学案2（含答案）

1.6.1
垂直关系的判定
学案
课前预习导学
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学习目标
重点难点
1．通过实例，掌握直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并会利用定理证明垂直关系．3．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，会求简单的二面角的平面角．
重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定定理及推论．难点：直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理在证明题中的应用．疑点：二面角的平面角的作法.
预习导引
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
(2)直线和平面垂直的判定定理
①文字叙述：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
②符号表示：若aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.
③图形表示：
④作用：线线垂直线面垂直．
预习交流1
能够证明直线l与平面α垂直的条件是(　　)．
①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n.
A．①②④
B．①③⑥
C．②④⑤
D．③④⑥
提示：C
2．二面角及其平面角
(1)半平面的定义：一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
(3)二面角的记法：
以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角α AB β.
(4)二面角的平面角：
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角．
预习交流2
以下命题正确的个数是(　　)．
①一个二面角的平面角只有一个；
②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面；
③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
提示：B
3．平面与平面垂直的判定
(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面和平面垂直的判定定理
①文字叙述：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
②符号表示：
α⊥β.
③图形表示：
④作用：线面垂直面面垂直．
预习交流3
如何理解平面和平面垂直的判定定理？
提示：(1)本质：证面面垂直证线面垂直．
(2)关键：寻找其中一个平面的垂线．
(3)找平面垂线的方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若不存在则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有助于证明，不能随意添加．
课堂合作探究
问题导学
1．线面垂直的判定
活动与探究1
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用．
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，
因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
迁移与应用
1．已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.
证明：∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中点，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
2．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC.
(1)图中共有多少个直角三角形？
(2)若AH⊥PC，且AH与PC交于H，求证：AH⊥平面PBC.
(1)解：由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又由题设知BC⊥AC.由BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A得BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴BC⊥PC.
故图中有4个直角三角形：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB.
(2)证明：由(1)知BC⊥平面PAC，AH平面PAC，
∴BC⊥AH.
又AH⊥PC，BC∩PC＝C，∴AH⊥平面PBC.
名师点津
1.利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．
2．利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
2．面面垂直的判定
活动与探究2
如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB，PD的中点．
(1)求证：AF∥平面PCE；
(2)求证：平面PCE⊥平面PCD.
思路分析：(1)要证AF∥平面PCE，只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可，取PC的中点G，则该直线为GE.
(2)要证明平面PCE⊥平面PCD，只需证明GE⊥平面PCD，而由(1)知GE∥AF，故只需证明AF⊥平面PCD即可．
证明：(1)取PC的中点G，连接FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FG＝CD，且FG∥CD，AE＝CD，且AE∥CD，
∴FG＝AE，且FG∥AE，
∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥GE.
∵GE平面PEC，AF平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
(2)∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD.又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.∵AF平面PAD，∴AF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD.
∵GE平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD.
迁移与应用
1．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.
证明：∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
2．如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B，求证：平面AB1C⊥平面A1BC1.
证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.
又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
名师点津
利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，关键是先证线面垂直，再证线在另一个平面内，最终得到面面垂直．具体方法是：线线垂直线面垂直面面垂直．
3．综合问题
活动与探究3
如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P AC D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
思路分析：(1)要证AC⊥SD，可先证明AC⊥平面SBD.
(2)要求二面角P AC D的大小，可先找出二面角的平面角，再进行计算．
(3)是一探索性问题，可先假设存在点E，再根据线面、面面的平行关系进行推理论证．
(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.
(2)解：设正方形边长为a，则SD=a，又OD=a，所以∠SDO=60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P AC D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，
即二面角P AC D的大小为30°.
(3)解：在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD=a，故可在SP上取一点N，使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN，在△BDN中，知BN∥PO.又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，这得BE∥平面PAC.由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.
迁移与应用
如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥
DG，EF∥DG，且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.
(1)求证：BF∥平面ACGD；
(2)求二面角A EG D的正切值．
(1)证明：设DG的中点为M，连接AM，FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，且MF＝DE.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABED分别交平面ABC，平面DEFG于AB，DE，∴AB∥DE，又AB＝DE，
∴MF∥AB，且MF＝AB，
∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF平面ACGD，AM平面ACGD，故BF∥平面ACGD.
(2)解：连接AE，AG，EG，
∵AD⊥平面DEFG，
∴AD⊥DG，AD⊥DE.
∵AD＝ED＝DG，∴AE＝AG.
取EG的中点H，连接AH，DH，有AH⊥EG，DH⊥EG，
则∠AHD是二面角A EG D的平面角．
∵在Rt△ADH中，由AD＝DE＝DG＝2，得DH＝.
∴tan∠AHD＝＝，
故二面角A EG D的正切值为.
名师点津
1.二面角的平面角的作法
(1)垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角；
(2)垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；
2．根据线线、线面、面面之间的垂直关系探讨点的位置，解题的思路是从特殊位置入手，一般是中点或线段的端点处．另外，对于解答题，在解答后面小题时可注意应用前面小题的结论．
当堂检测
1．给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有(　　)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①中两条直线若不相交，则直线与平面不一定垂直；①错误；由线面垂直的定义知②正确；由于梯形的两腰所在直线是相交的，故③正确；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则该直线与梯形所在平面不一定垂直，从而不一定垂直于两腰所在直线，④错误．
答案：B
2．经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面(　　)．
A．只能作一个
B．只能作两个
C．可以作无数个
D．可作一个或无数个
解析：当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个．
答案：D
3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有(　　)．
A．一对
B．两对
C．三对
D．四对
解析：平面PAB⊥平面ABC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面PBC.
答案：
C
4．如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
求证：CE⊥平面PAD.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.
5．如图，四边形ABCD是菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明：连接AC交BD于O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.