1.6.2 垂直关系的性质 同步练习1（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.6.2 垂直关系的性质 同步练习1（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 437.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 17:12:52 | ||
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文档简介
1.6.2
垂直关系的性质
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个命题：
①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；
④l⊥m α∥β.
其中正确的命题是(
)
(A)①②
(B)①③
(C)②④
(D)③④
2.下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一个平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行，其中正确的个数有(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
3.如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(
)
(A)AC⊥β
(B)AC⊥EF
(C)AC与BD在β内的射影在同一条直线上
(D)AC与α，β所成的角相等
4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小(
)
(A)变大
(B)变小
(C)不变
(D)有时变大有时变小
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图，在正方体ABCD
-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN＝90°，则∠C1MN＝________.
6.(易错题)如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，
EF∥PA，则图中直角三角形的个数
是___________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形.AE⊥PD于E，
l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
8.三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，求证：
(1)平面AMC1∥平面NB1C；
(2)A1B⊥AM.
【挑战能力】
(10分)如图，在四棱锥S-ABCD中，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是
菱形，AC与BD交于O点.
(1)求证：AC⊥平面SBD；
(2)若E为BC的中点，点P在侧面
△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选B.l⊥α，α∥β，∴l⊥β.又∵mβ，∴l⊥m.①正确.
l∥m，
l⊥α，∴m⊥α，又∵mβ，∴α⊥β，③正确.
2.【解析】选B.①中两个平面可能平行可能相交；②正确；③两直线可能平行、垂直也可能异面；④正确.
3.【解析】选D.∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α、β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.
4.【解析】选C.∵l⊥平面ABC，∴BC⊥l.
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
又l∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.
5.【解题指南】先证明MN⊥平面B1C1M，进而求得∠C1MN的度数.
【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∠B1MN是直角，∴MN⊥B1M.
又B1C1∩B1M＝B1，
∴MN⊥平面B1C1M.
∴MN⊥C1M，∠C1MN＝90°.
答案：90°
6.【解析】由PA⊥平面ABC，
得PA⊥AB，PA⊥AC，
PA⊥BC.
又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥BE，EF⊥EC，
∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形.
答案：6
【易错提醒】△PBC是直角三角形容易漏掉，原因是未分析出BC⊥平面PAC.
7.【解题指南】证明AE⊥平面PCD即可.
【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD.
∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，
∴AE⊥CD.
又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，
∴AE⊥平面PCD，又l⊥平面PCD，
∴AE∥l.
8.【解析】(1)∵M，N分别为A1B1，AB的中点，
∴B1M
NA，∴B1N∥AM.
又AM平面AMC1，B1N平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1，
连接MN，在四边形CC1MN中，有MC1∥CN，
同理得CN∥平面AMC1.
∵CN平面B1CN，B1N平面B1CN，CN∩B1N=N，
∴平面AMC1∥平面NB1C.
(2)∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1，
又三棱柱ABC-A1B1C1侧棱A1A垂直于底面ABC，
∴A1A⊥CN，又CN∥C1M，
∴A1A⊥C1M.
又A1A∩A1B1=A1，
∴C1M⊥平面AA1B1B.
又∵A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B，
又AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，
∴A1B⊥平面AC1M.
∵AM平面AC1M，
∴A1B⊥AM.
【挑战能力】
【解析】(1)连接SO，
∵底面ABCD是菱形，O为AC与BD的交点，
∴AC⊥BD.又SA＝SC，
∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，
∴AC⊥平面SBD.
(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：
连接EM，EN，
∵E是BC中点，
M是SC中点，∴EM∥SB，
同理EN∥BD.∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，
∴AC⊥EM，同理AC⊥EN.
又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN.
因此，当P点在线段MN上运动时，总有PE⊥AC.
垂直关系的性质
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个命题：
①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；
④l⊥m α∥β.
其中正确的命题是(
)
(A)①②
(B)①③
(C)②④
(D)③④
2.下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一个平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行，其中正确的个数有(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
3.如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(
)
(A)AC⊥β
(B)AC⊥EF
(C)AC与BD在β内的射影在同一条直线上
(D)AC与α，β所成的角相等
4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小(
)
(A)变大
(B)变小
(C)不变
(D)有时变大有时变小
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图，在正方体ABCD
-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN＝90°，则∠C1MN＝________.
6.(易错题)如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，
EF∥PA，则图中直角三角形的个数
是___________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形.AE⊥PD于E，
l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
8.三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，求证：
(1)平面AMC1∥平面NB1C；
(2)A1B⊥AM.
【挑战能力】
(10分)如图，在四棱锥S-ABCD中，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是
菱形，AC与BD交于O点.
(1)求证：AC⊥平面SBD；
(2)若E为BC的中点，点P在侧面
△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选B.l⊥α，α∥β，∴l⊥β.又∵mβ，∴l⊥m.①正确.
l∥m，
l⊥α，∴m⊥α，又∵mβ，∴α⊥β，③正确.
2.【解析】选B.①中两个平面可能平行可能相交；②正确；③两直线可能平行、垂直也可能异面；④正确.
3.【解析】选D.∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α、β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.
4.【解析】选C.∵l⊥平面ABC，∴BC⊥l.
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
又l∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.
5.【解题指南】先证明MN⊥平面B1C1M，进而求得∠C1MN的度数.
【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∠B1MN是直角，∴MN⊥B1M.
又B1C1∩B1M＝B1，
∴MN⊥平面B1C1M.
∴MN⊥C1M，∠C1MN＝90°.
答案：90°
6.【解析】由PA⊥平面ABC，
得PA⊥AB，PA⊥AC，
PA⊥BC.
又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥BE，EF⊥EC，
∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形.
答案：6
【易错提醒】△PBC是直角三角形容易漏掉，原因是未分析出BC⊥平面PAC.
7.【解题指南】证明AE⊥平面PCD即可.
【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD.
∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，
∴AE⊥CD.
又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，
∴AE⊥平面PCD，又l⊥平面PCD，
∴AE∥l.
8.【解析】(1)∵M，N分别为A1B1，AB的中点，
∴B1M
NA，∴B1N∥AM.
又AM平面AMC1，B1N平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1，
连接MN，在四边形CC1MN中，有MC1∥CN，
同理得CN∥平面AMC1.
∵CN平面B1CN，B1N平面B1CN，CN∩B1N=N，
∴平面AMC1∥平面NB1C.
(2)∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1，
又三棱柱ABC-A1B1C1侧棱A1A垂直于底面ABC，
∴A1A⊥CN，又CN∥C1M，
∴A1A⊥C1M.
又A1A∩A1B1=A1，
∴C1M⊥平面AA1B1B.
又∵A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B，
又AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，
∴A1B⊥平面AC1M.
∵AM平面AC1M，
∴A1B⊥AM.
【挑战能力】
【解析】(1)连接SO，
∵底面ABCD是菱形，O为AC与BD的交点，
∴AC⊥BD.又SA＝SC，
∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，
∴AC⊥平面SBD.
(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：
连接EM，EN，
∵E是BC中点，
M是SC中点，∴EM∥SB，
同理EN∥BD.∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，
∴AC⊥EM，同理AC⊥EN.
又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN.
因此，当P点在线段MN上运动时，总有PE⊥AC.