1.6.2 垂直关系的性质 同步练习2（含答案）

1.6.2
垂直关系的性质
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l，m的位置关系是(　　)
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
[答案]　D
[解析]　由于l⊥平面α，m α，所以l⊥m，所以D正确．
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β，且m α
B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α
D．m⊥n，且n∥β
[答案]　B
[解析]　 m⊥β.
3．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n α，则m⊥n；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.
其中所有正确命题的序号是(　　)
A．①③
B．②④
C．①④
D．③④
[答案]　A
[解析]　 m⊥n，故①正确；由面面垂直的性质可知③正确；对于②，α与β可能相交；对于④，直线n可能在β内，故②④错误．因此选A.
4．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中为真命题的是(　　)
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
[答案]　D
[解析]　考查空间线面位置关系的判定与性质．
①错，②正确，③错，④正确．故选D.
5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是(　　)
A．m⊥α，n β，
m⊥n α⊥β
B．α∥β，m⊥α，n∥β m⊥n
C．α⊥β，m⊥α，n∥β m⊥n
D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m n⊥β
[答案]　B
[解析]　A中可能α∥β；C中可能m∥n；D中可能n β.
6．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[答案]　D
[解析]　本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．
对于A，α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.
二、填空题
7．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是________．
[答案]　正方形
[解析]　∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，故有EF平行并等于AC，HG平行并等于AC，
∴EF平行并等于HG，则四边形EFGH为平行四边形，又所有边长均相等，
故EF＝FG＝AC＝BD，所以四边形为菱形，取BD中点O，连接AO、CO，
∴AO⊥BD，CO⊥BD BD⊥面AOC，
∵AC⊥BD.
∴EF⊥FG，故四边形EFGH为正方形．
8．以下三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线必平行②两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任一条直线都垂直于另一个平面③二面角的两个面必垂直于这个二面角的任一平面角所在的平面．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都写上)．
[答案]　③
[解析]　①中，垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，∴①错；两个平面互相垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，∴②错．故正确的只有③.
三、解答题
9．正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请给出说明．
[解析]　(1) AD∥HG，
同理EF∥AD，
∴HG∥EF，同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵A－BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形．
(2)当AP＝a时，平面PBC⊥平面EFGH，
在△ACP中∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP⊥PC，
又AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCP，
∵HG∥AD，
∴HG⊥平面BCP，
又HG 平面EFGH，∴平面BCP⊥平面EFGH.
能力提升
一、选择题
1．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论不成立的是(　　)
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
[答案]　D
[解析]　连接B1C，则B1C与BC1相交于点F.
∵E，F分别是AB1，CB1的中点，
∴EF∥AC.
又BB1⊥AC，∴BB1⊥EF.
∴选项A成立．
又BD⊥AC，EF∥AC，
∴BD⊥EF.∴选项B成立．
观察图形易知选项C成立．
∵EF∥AC，A1C1∥AC，
∴EF∥A1C1.
故选项D不成立．
2．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有(　　)
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
[答案]　C
[解析]　由AD⊥BC，BD⊥AD AD⊥平面BCD，
又AD 平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BCD.
二、填空题
3．下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件为________．
① l∥α
② l∥α
③ l∥α
[答案]　l α
[解析]　通过分析可以看出本题实际上考查的是线面平行的判定定理，缺少的条件是“l为平面α外的直线”．
4．α、β是两个不同的平面，m、n是α，β之外的两条不同直线，给出以下四个论断：
①m⊥n　②α⊥β　③n⊥β　④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填一个即可)．
[答案]　①③④ ②或②③④ ①
[解析]　假设①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于C点．
∵l⊥PA，l⊥PB，∴l⊥平面PACB.
∴l⊥AC，l⊥BC.
∴∠ACB是二面角α－l－β的平面角．
由m⊥n，显然PA⊥PB，∴∠ACB＝90°.
∴α⊥β.由①③④ ②成立．
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．
三、解答题
5．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.
[解析]　取PD的中点E，连接AE，NE，如图．
∵M，N分别是AB，PC的中点，∴EN＝CD＝AB＝AM，且EN∥CD∥AB.
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE.
∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，
∴AE⊥PD.
又CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥AE.
又CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.
又MN 平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD.
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明]　(1)在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，故AP⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE 平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD 平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
[分析]　(1)可以证明BO∥CD，则四边形BCDO是平行四边形，从而确定点O的位置；(2)转化为证明PD⊥平面PAB.
[解析]　(1)解：∵CD∥平面PBO，
CD 平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，
则BC＝DO.而AD＝3BC，∴AD＝3OD，
即点O是靠近点D的，线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD.又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA 平面PAB，AB 平面PAB，
AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.
又PD 平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD.