1.6.2 垂直关系的性质 同步练习3（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.6.2 垂直关系的性质 同步练习3（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 206.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 17:14:38 | ||
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文档简介
1.6.2
垂直关系的性质
同步练习
1．下列推理中错误的是( )．
A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
解析 因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β.
答案 A
2．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )．
①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；
④a⊥α，b⊥α a∥b.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 由线面垂直的性质知①④正确．②中b可能满足b?α，故②错误．③中b能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确．
答案 B
3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )．
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
答案 D
4．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列命题中正确的为________(只填序号)．
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
解析 由性质定理可知②错误．
答案 ①③④
5．四棱锥P ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．
解析 由CD⊥AE，AE⊥PD.
则AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC.
答案 垂直
6．如图所示，α⊥β，CD β，CD⊥AB，EC α，EF α，∠FEC＝90°.
求证：平面FED⊥平面DCE.
证明 ∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，
∴CD⊥α.
又∵EF α，∴CD⊥EF.
又∵FEC＝90°，∴EF⊥EC.
又∵EC∩CD＝C，
∴EF⊥平面DCE.
又∵EF 平面EFD，
∴平面EFD⊥平面DCE.
7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )．
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m，故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.从而B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l α，∴B∈α.
∴ABβ，l β.∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．
答案 D
8．关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中正确命题的序号为( )．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
解析 对于①，m、n可以平行、相交，也可以异面，故①不正确；对于②，由α⊥β可知在α内存在直线a⊥β，因为n⊥β，所以a∥n.又因为m⊥α，所以m⊥a，所以n⊥m，故②正确；对于③，由n∥β可知在β内存在直线a∥n，因为α∥β且m⊥α，所以m⊥β，所以m⊥a，所以m⊥n.故③正确；对于④，m有可能垂直于n，故④不正确．
答案 D
9．已知m、n是空间两条相交直线，l1、l2是与m、n都垂直的两条直线，直线l与l1、l2都相交，则直线l与l1、l2所成的角的大小关系是________．
解析 m与n相交确定平面α，
则l1⊥α、l2⊥α，
∵l1∥l2，
∴l与l1、l2所成的角相等．
答案 相等
10．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
解析 ①④易判断(正确)，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A PMN是正三棱锥，故图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.
答案 ①④⑤
11．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB，DF的中点，若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求线段MN的长．
解 取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥GD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF.
可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
12．(创新拓展)如图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论．
解 PA与BD垂直，证明如下：
如图，取BC的中点O，
连接PO、AO，
∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
在直角梯形ABCD中，
易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，
∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，
∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，
∴BD⊥PA，
所以PA与BD相互垂直．
垂直关系的性质
同步练习
1．下列推理中错误的是( )．
A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
解析 因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β.
答案 A
2．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )．
①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；
④a⊥α，b⊥α a∥b.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 由线面垂直的性质知①④正确．②中b可能满足b?α，故②错误．③中b能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确．
答案 B
3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )．
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
答案 D
4．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列命题中正确的为________(只填序号)．
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
解析 由性质定理可知②错误．
答案 ①③④
5．四棱锥P ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．
解析 由CD⊥AE，AE⊥PD.
则AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC.
答案 垂直
6．如图所示，α⊥β，CD β，CD⊥AB，EC α，EF α，∠FEC＝90°.
求证：平面FED⊥平面DCE.
证明 ∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，
∴CD⊥α.
又∵EF α，∴CD⊥EF.
又∵FEC＝90°，∴EF⊥EC.
又∵EC∩CD＝C，
∴EF⊥平面DCE.
又∵EF 平面EFD，
∴平面EFD⊥平面DCE.
7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )．
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m，故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.从而B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l α，∴B∈α.
∴ABβ，l β.∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．
答案 D
8．关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中正确命题的序号为( )．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
解析 对于①，m、n可以平行、相交，也可以异面，故①不正确；对于②，由α⊥β可知在α内存在直线a⊥β，因为n⊥β，所以a∥n.又因为m⊥α，所以m⊥a，所以n⊥m，故②正确；对于③，由n∥β可知在β内存在直线a∥n，因为α∥β且m⊥α，所以m⊥β，所以m⊥a，所以m⊥n.故③正确；对于④，m有可能垂直于n，故④不正确．
答案 D
9．已知m、n是空间两条相交直线，l1、l2是与m、n都垂直的两条直线，直线l与l1、l2都相交，则直线l与l1、l2所成的角的大小关系是________．
解析 m与n相交确定平面α，
则l1⊥α、l2⊥α，
∵l1∥l2，
∴l与l1、l2所成的角相等．
答案 相等
10．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
解析 ①④易判断(正确)，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A PMN是正三棱锥，故图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.
答案 ①④⑤
11．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB，DF的中点，若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求线段MN的长．
解 取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥GD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF.
可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
12．(创新拓展)如图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论．
解 PA与BD垂直，证明如下：
如图，取BC的中点O，
连接PO、AO，
∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
在直角梯形ABCD中，
易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，
∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，
∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，
∴BD⊥PA，
所以PA与BD相互垂直．