1.6.2 垂直关系的性质 同步练习4（含答案）

1.6.2
垂直关系的性质
同步练习
课后训练
1．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)．
A．只有一条
B．有无数条
C．是平面内的所有直线
D．不存在
2．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是(　　)．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)．
A．若l⊥m，mα，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，mα，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，则下列说法中错误的是(　　)．
A．如果直线aα，那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线
B．如果直线aα，那么直线a不可能与平面β平行
C．如果直线aα，a⊥l，那么直线a⊥平面β
D．平面α内一定存在无数多条直线都垂直于平面β内的所有直线
5．以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为(　　)．
A．30°
B．60°
C．90°
D．不确定
6．若α⊥β，α∩β＝l，a∥α，a⊥l，则a与β的关系为______．
7．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是__________．
8．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4
cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3
cm，BD＝12
cm，则CD的长为________
cm.
9．如图，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB.
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.
10．如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC；
(2)证明：SE＝2EB.
参考答案
1答案：B　解析：当aα时，过直线a上不在平面α内的一点向平面α作垂线，假设垂线与直线a确定的平面β与平面α的交线为b，则平面α内与交线b垂直的直线都与直线a垂直，当aα时，易知在平面α内也有无数条直线与a垂直，故选B.
2答案：D　解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以都平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，可以相交，也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
3答案：B　解析：对于A，由l⊥m及mα，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A不正确．B正确．对于C，由l∥α，mα知，l与m的位置关系为平行或异面，故C不正确．对于D，由l∥α，m∥α知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D不正确．
4答案：B
5答案：B　解析：如图，令CD＝AD＝BD＝1，则AC＝BC＝，
又∵AD⊥BD，
∴AB＝，
∴∠ACB＝60°.
6答案：a⊥β
7答案：6　解析：由PA⊥平面ABC，
得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.
又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.
∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴EF⊥BE，EF⊥EC，
∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．
8答案：13　解析：如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，
∴AD＝.
又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，
∴CA⊥β，CA⊥AD，∴△CAD为直角三角形．
∴CD＝．
9答案：证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.
又EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，PE平面PAC，∴PE⊥平面ABC，∴BC⊥PE.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB.
又EF∥AB，∴BC⊥EF.
又PE∩EF＝E，∴BC⊥平面PEF.
又BC平面PBC，
∴平面PEF⊥平面PBC.
10答案：证明：(1)∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD.又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面BDS，∴BC⊥DE.
作BK⊥EC，K为垂足，
∵平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.
又∵BK平面SBC，BC平面SBC，
BK∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC.
(2)由(1)知DE⊥SB，DB＝AD＝，
∴SB＝，DE＝，EB＝，SE＝SB－EB＝，∴SE＝2EB.