1.6.2 垂直关系的性质 同步练习5（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.6.2 垂直关系的性质 同步练习5（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 361.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 17:16:56 | ||
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文档简介
1.6.2
垂直关系的性质
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.下列说法错误的是(
)
(A)若α⊥β，则平面α内所有直线都垂直于β
(B)若α⊥β，则平面α内一定存在直线平行于β
(C)若α⊥γ，γ⊥β，α∩β=l，则l⊥γ
(D)若α不垂直于β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β
2.(易错题)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，
垂足为H，则点H在(
)
(A)直线AC上
(B)直线AB上
(C)直线BC上
(D)△ABC的内部
3.若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的(
)
(A)内心
(B)外心
(C)重心
(D)垂心
4.直二面角α-AB-β，点C∈α，点D∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时，
则∠CAD的大小为(
)
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)120°
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知直线l和平面α，β，且lα，lβ，给出如下三个论证：
①l⊥α，②α⊥β，③l∥β.
从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的说法________(写出一种即可).
6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，
A∈l，B∈l，ACα，BDβ，AC⊥l，BD⊥l，
且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝_______.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图，平面ABCD⊥
平面ABEF，ABCD为正方形，ABEF是矩形，且
AF＝AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC.
8.平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求AA1的长；
(3)求二面角A-BC-A1的余弦值.
【挑战能力】
(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PDA；
(2)PD⊥平面ABCD；
(3)平面PAC⊥平面PDB.
答案解析
1.【解题指南】根据直线、平面垂直的性质逐一验证.
【解析】选A.若α⊥β，则平面α内的直线可能与β垂直，也可能平行、斜交.
2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B，
∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC，
∴平面BAC⊥平面BC1A.
∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足，
平面BAC∩平面BC1A=AB，∴H∈AB.
3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC，
∴SB⊥AC，又SO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，
∴BO⊥AC，
同理可证AO⊥BC，CO⊥AB，
∴O为垂心.
4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.
∵二面角α-AB-β是直二面角，
∴CE⊥β，∴CE⊥EF.
在Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴AC=CE，
同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得AF=CE，
CF=CE，∴△ACF是等边三角形，∴∠CAD=60°.
5.【解析】若l⊥α，α⊥β.又∵lβ，∴l∥β.
若l∥β，过l作平面γ交β于m，则l∥m.又l⊥α，
故m⊥α.又∵mβ，所以α⊥β.
若α⊥β，l∥β，则l与α关系不确定.
答案：若l⊥α，α⊥β，则l∥β(或若l⊥α，
l∥β，则α⊥β)
6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解.
【解析】连接BC，∵AC⊥l，AC=3，AB=4，∴BC=5.
∵BD⊥l，l=α∩β，α⊥β，BDβ，∴BD⊥α.
又BCα，∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中，
答案：13
7.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明.
【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴CB⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AG，GB平面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG.
又AD＝2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点.
∴AG＝BG＝a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴AG⊥BG.
∵CB∩BG=B，∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC.
故平面AGC⊥平面BGC.
8.【解题指南】(1)通过线线垂直证明线面垂直进而得到线线垂直；(2)构造Rt△AA1D，在△AA1D中求AA1；
(3)先找到平面角，然后在三角形中求出.
【解析】(1)取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，则由AB=AC知AO⊥BC，由面ABC⊥面BB1C1C可知AO⊥面BB1C1C；同理，A1O1⊥面BB1C1C，由此可得AO∥A1O1，即A，O，A1，O1共面.
又OO1⊥BC，OO1∩AO=O，则BC⊥面AOA1O1，所以AA1⊥BC；
(2)延长A1O1到D，使O1D=OA，则O1DOA，ADOO1；OO1⊥BC，
面A1B1C1⊥面BB1C1C，则OO1⊥面A1B1C1，AD⊥面A1B1C1，在Rt△AA1D中，
(3)因为AO⊥BC，A1O⊥BC，则∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角.
在Rt△OO1A1中，
在Rt△OAA1中，
所以二面角A-BC-A1的余弦值为.
【挑战能力】
【证明】(1)∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点.
∵E，F分别是PC，DC的中点，
∴EF∥PD.
又EF平面PAD，PD平面PAD，
∴EF∥平面PDA，
同理FO∥平面PAD.
而FO∩EF=F，EF，FO平面EFO，
∴平面EFO∥平面PDA.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PD平面PAD，
∴PD⊥平面ABCD.
(3)∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥PD.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PD∩DB=D，
PD，DB平面PBD.
∴AC⊥平面PBD.
∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.
垂直关系的性质
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.下列说法错误的是(
)
(A)若α⊥β，则平面α内所有直线都垂直于β
(B)若α⊥β，则平面α内一定存在直线平行于β
(C)若α⊥γ，γ⊥β，α∩β=l，则l⊥γ
(D)若α不垂直于β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β
2.(易错题)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，
垂足为H，则点H在(
)
(A)直线AC上
(B)直线AB上
(C)直线BC上
(D)△ABC的内部
3.若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的(
)
(A)内心
(B)外心
(C)重心
(D)垂心
4.直二面角α-AB-β，点C∈α，点D∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时，
则∠CAD的大小为(
)
(A)30°
(B)45°
(C)60°
(D)120°
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知直线l和平面α，β，且lα，lβ，给出如下三个论证：
①l⊥α，②α⊥β，③l∥β.
从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的说法________(写出一种即可).
6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，
A∈l，B∈l，ACα，BDβ，AC⊥l，BD⊥l，
且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝_______.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图，平面ABCD⊥
平面ABEF，ABCD为正方形，ABEF是矩形，且
AF＝AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC.
8.平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求AA1的长；
(3)求二面角A-BC-A1的余弦值.
【挑战能力】
(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PDA；
(2)PD⊥平面ABCD；
(3)平面PAC⊥平面PDB.
答案解析
1.【解题指南】根据直线、平面垂直的性质逐一验证.
【解析】选A.若α⊥β，则平面α内的直线可能与β垂直，也可能平行、斜交.
2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B，
∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC，
∴平面BAC⊥平面BC1A.
∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足，
平面BAC∩平面BC1A=AB，∴H∈AB.
3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC，
∴SB⊥AC，又SO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，
∴BO⊥AC，
同理可证AO⊥BC，CO⊥AB，
∴O为垂心.
4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.
∵二面角α-AB-β是直二面角，
∴CE⊥β，∴CE⊥EF.
在Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴AC=CE，
同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得AF=CE，
CF=CE，∴△ACF是等边三角形，∴∠CAD=60°.
5.【解析】若l⊥α，α⊥β.又∵lβ，∴l∥β.
若l∥β，过l作平面γ交β于m，则l∥m.又l⊥α，
故m⊥α.又∵mβ，所以α⊥β.
若α⊥β，l∥β，则l与α关系不确定.
答案：若l⊥α，α⊥β，则l∥β(或若l⊥α，
l∥β，则α⊥β)
6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解.
【解析】连接BC，∵AC⊥l，AC=3，AB=4，∴BC=5.
∵BD⊥l，l=α∩β，α⊥β，BDβ，∴BD⊥α.
又BCα，∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中，
答案：13
7.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明.
【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴CB⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AG，GB平面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG.
又AD＝2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点.
∴AG＝BG＝a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴AG⊥BG.
∵CB∩BG=B，∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC.
故平面AGC⊥平面BGC.
8.【解题指南】(1)通过线线垂直证明线面垂直进而得到线线垂直；(2)构造Rt△AA1D，在△AA1D中求AA1；
(3)先找到平面角，然后在三角形中求出.
【解析】(1)取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，则由AB=AC知AO⊥BC，由面ABC⊥面BB1C1C可知AO⊥面BB1C1C；同理，A1O1⊥面BB1C1C，由此可得AO∥A1O1，即A，O，A1，O1共面.
又OO1⊥BC，OO1∩AO=O，则BC⊥面AOA1O1，所以AA1⊥BC；
(2)延长A1O1到D，使O1D=OA，则O1DOA，ADOO1；OO1⊥BC，
面A1B1C1⊥面BB1C1C，则OO1⊥面A1B1C1，AD⊥面A1B1C1，在Rt△AA1D中，
(3)因为AO⊥BC，A1O⊥BC，则∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角.
在Rt△OO1A1中，
在Rt△OAA1中，
所以二面角A-BC-A1的余弦值为.
【挑战能力】
【证明】(1)∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点.
∵E，F分别是PC，DC的中点，
∴EF∥PD.
又EF平面PAD，PD平面PAD，
∴EF∥平面PDA，
同理FO∥平面PAD.
而FO∩EF=F，EF，FO平面EFO，
∴平面EFO∥平面PDA.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PD平面PAD，
∴PD⊥平面ABCD.
(3)∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥PD.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PD∩DB=D，
PD，DB平面PBD.
∴AC⊥平面PBD.
∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.