1.6.2 垂直关系的性质 学案（无答案）

1.6.2
垂直关系的性质
学案
课前预习导学
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学习目标
重点难点
1.在观察物体模型的基础上，进行操作确认，掌握直线和平面垂直，平面和平面垂直的性质定理．2．能运用性质定理解决一些简单问题．3．准确把握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.
重点：直线和平面垂直，平面和平面垂直的性质定理及其应用．难点：直线和平面垂直，平面和平面垂直的性质定理在证明题中的应用．疑点：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的内在联系.
预习导引
1．直线与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
(2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)图形表示：
(4)作用：线⊥面线∥线．
预习交流1
直线与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？
提示：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面；④垂直于同一直线的两个平面平行．
预习交流2
在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的．在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？
提示：根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆中一个与工件表面垂直，其他都和工件表面垂直．
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
(2)符号表示：若α⊥β，α∩β＝b，aα，a⊥b，则a⊥β.
(3)图形表示：
(4)作用：面面垂直线面垂直．
预习交流3
平面与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？
提示：平面与平面垂直还有如下性质．
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线在该平面内；
(2)如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线垂直于第三个平面．
预习交流4
(1)若α⊥β，aα，bβ，则a⊥b成立吗？
提示：不一定成立．a与b可能平行、相交或异面．只有当直线a垂直于α与β的交线时，才有a⊥b成立．
(2)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)．
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B.若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β
C.若α⊥β，lα，则l⊥β
D.若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β
提示：根据面面垂直的性质定理逐一判断.
选项A缺少了条件：lα；
选项B缺少了条件：α⊥β；
选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；
选项D具备了面面垂直性质定理的全部条件，故选D.
课堂合作探究
问题导学
1．线面垂直性质的应用
活动与探究1
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.
思路分析：本题以正方体为载体，给出了EF分别与两条异面直线A1D，AC垂直，要证EF∥BD1，只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可，由条件可知这里当然选择平面AB1C.
证明：如图所示，
连接AB1，B1C，BD，B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，
AC平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.
同理BD1⊥B1C，∵B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
迁移与应用
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
∴ON∥CD∥AB.∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形．
∴ON＝AM.∵ON＝AB，∴AM＝AB.
∴M是AB的中点．
名师点津
证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．
2．面面垂直性质的应用
活动与探究2
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF=EF=.求证：EA⊥平面ABCD.
思路分析：解答本题的关键是证明EA⊥AB，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AF∥BE，AF⊥EF，AF=EF=等条件计算AB，AE，BE的长度，利用勾股定理逆定理证明．
证明：设AF=EF=a，则BE=2a.
过A作AM⊥BE于M，
∵AF∥BE，∴AM⊥AF.
又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，
∴四边形AMEF是正方形．
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝a，
∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
AE平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
迁移与应用
1．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
2．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明：(1)如图，设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
所以四边形CEFG为菱形．
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE.
名师点津
应用面面垂直的性质定理要注意的两个问题：
(1)应用面面垂直的性质定理时，四个条件缺一不可：“α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l.”
(2)应用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直．
特别提醒：应用面面垂直的性质定理时，恰当利用平面几何知识，在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键．
3．线线、线面、面面垂直的综合应用
活动与探究3
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，∴BG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)证明：连接PG，则PG⊥AD，
由(1)得BG⊥AD，
又∵PG∩BG＝G，BG平面PBG，
PG平面PBG，
∴AD⊥平面PBG.
∵PB平面PBG，∴AD⊥PB.
(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
取PC的中点F，连接DE，EF，DF，
则由平面几何知识，
在△PBC中，EF∥PB，
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而EF平面DEF，ED平面DEF，
EF∩DE＝E，
PB平面PGB，GB平面PGB，
PB∩GB＝B，
∴平面DEF∥平面PGB.
又∵侧面PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
又∵侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD.
故平面DEF⊥平面ABCD.
迁移与应用
在斜三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥AA1；
(2)若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M.
证明：(1)因为∠ACB＝90°，所以AC⊥CB.
又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，
BC平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1.
又AA1平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
(2)连接A1B，交AB1于点O，连接MO，
在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，
所以OM∥A1N.
又OM平面AB1M，A1N平面AB1M，
所以A1N∥平面AB1M.
名师点津
(1)线线、线面、面面垂直间的关系：
(2)线线、线面、面面的垂直是从低维到高维逐层推进的，其中线面垂直是纽带．
当堂检测
1．直线l⊥平面α，直线m平面α，则l，m的位置关系是(　　)．
A．相交
B．异面
C．平行
D．不平行
答案：D
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直．
其中正确的命题是(　　)．
A．②
B．③
C．①④
D．②③
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直．
答案：A
3．下列命题中错误的是(　　)．
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：A选项正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C正确，设α内a⊥r，β内b⊥r，α∩β＝l，则a∥b，所以a∥β，根据线面平行的性质定理，所以a∥l，所以l⊥r.D错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.
答案：D
4．已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，mα和m⊥γ.写出能得到的一个面面垂直且线线垂直的关系式：________.
答案：α⊥γ且l⊥m
5．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.
证明：取PD的中点E，连接AE，NE，如图．
∵M，N分别是AB，PC的中点，
∴EN＝CD＝AB＝AM，且EN∥CD∥AB.
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE.
∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，∴AE⊥PD.
又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.又MN平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD.