1.7 简单几何体的面积和体积 教案

1.7
简单几何体的面积和体积
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解侧面积公式的由来．
(2)能运用侧面积计算公式求解相关问题．
2．过程与方法
通过几何体的侧面展开体系公式的由来，培养学生探索精神．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，体会数学的应用价值，培养学生用数学思维方式解决问题的意识．
●重点难点
重点：简单几何体的侧面积公式．
难点：简单几何体的侧面积公式的利用．
简单几何体的侧面展开图是推导侧面积公式的基础，认识其侧面展开图便于公式的记忆．
●教学建议
教学时从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其侧面积的关系，类比正、长方体侧面讨论棱柱、棱锥、棱台的侧面问题，进一步探究圆柱、圆锥、圆台的侧面积问题，在教学时教师可以以实物进行侧面展开让学生直观认识其侧面展开图，从而增强记忆．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答所提问题，理解几何体的侧面面积公式的由来 通过例1及变式训练，使学生掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面计算 通过例2及变式训练，使学生掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的计算 通过例3及变式训练，使学生掌握与侧面积、表面积有关的综合问题 归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法(重点)．3．掌握简单组合体的侧面积的计算(难点).
知识1
圆柱、圆锥、圆台的侧面积
【问题导思】　
在初中，我们学过正方体、长方体的表面积，以及它们的展开图，思考圆柱、圆锥和圆台的侧面展开图的形是什么？
【提示】　矩形、扇形、扇环．
几何体
侧面展开图
侧面积公式
圆柱
S圆柱侧＝2πrlr为底面半径l为侧面母线长
圆锥
S圆锥侧＝πrlr为底面半径l为侧面母线长
圆台
S圆台侧＝π(r1＋r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长
知识2
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
【问题导思】　
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图各是什么形状？
【提示】　矩形、几个全等的等腰三角形、几个全等的梯形.
几何体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝ch
c为底面周长
h为高
正棱锥
S正棱锥侧＝ch′
c为底面周长
h′为斜高，即侧面
等腰三角形的高
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)h′
c′为上底面周长
c为下底面周长
h′为斜高，即侧面
等腰梯形的高
类型1
圆柱、圆锥、圆台的侧面积
例1　圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．
【思路探究】　设出圆柱和圆锥的底面半径，利用相似三角形，得半径之间关系和圆锥母线与半径的关系，写出圆柱、圆锥的表面积求其比值．
【自主解答】　如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r、R，圆锥母线长为l，则有＝，即＝.
∴R＝2r，l＝R.
∴＝
＝＝
＝＝－1.
规律方法
1．本题的解题关键是画出轴截面，将空间问题转化为平面问题．
2．几何体的表面积等于各个表面积之和．
变式训练
　圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为(　　)
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
【解析】　当长为6π的边为高时，底面半径r＝2.
S全＝6π×4π＋π×4×2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．
当长为4π的边为高时，底面半径r＝3.
S全＝24π2＋2×9π＝6π(4π＋3)．
【答案】　C
类型2
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
和表面积
图1－7－1
例2　一个几何体的三视图如图1－7－1所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的表面积．
【思路探究】　审题时要注意以下信息：(1)几何体是正六棱锥；(2)正六棱锥的底面是正六边形，其边长为1，侧棱长为2，求该几何体的表面积时需先求底面积和侧面积，然后求和即可．
【自主解答】　由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)，
其底面边长为BC＝×2＝1，
侧棱长为AC＝2，
斜高AD＝＝＝.
S侧面＝6××1×＝，S底面＝6××12＝，
S表面＝S侧面＋S底面＝＋＝(＋)．
规律方法
1．正棱锥，正棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长．
2．对正棱锥、正棱台、斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)．
变式训练
　已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如图1－7－2所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．
图1－7－2
【解】　由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，
AB＝BC＝AC＝2，
取BC的中点D，连接VD，则
VD＝＝＝，
∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
∴该三棱锥的表面积为：(3＋3).
类型3
与表面积有关的综合问题
例3　正四棱台两底面边长分别为3和9.
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积．
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
【思路探究】　侧棱C1C与上、下底面正方形中心连线以及CO和C1O1可构成直角梯形，从而可知∠C1CA＝45°.从而求h＝C1E以及斜高C1F.
【自主解答】　(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝×(9－3)＝3.
在Rt△C1CE中，
C1E＝CE＝3，
又EF＝CE·sin
45°＝3×＝3，
∴斜高C1F＝＝＝3.
∴S侧＝(4×3＋4×9)×(9－3)＝(92－32)＝72.
(2)由题意知，S上底＋S下底＝90，
∴(4×3＋4×9)·h斜＝90.
∴h斜＝＝.
又EF＝3，h＝
＝＝.
规律方法
1．本题易出现正棱台的高与斜高混淆的情况．
2．解决该类问题，关键是正确找出几何体中轴对应元素，把它们放在一个平面图形中利用平面几何的知识解决，体现了空间问题平面化的思想．
变式训练
　已知底面半径为
cm，母线长为
cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．
【解】　如图，由题意易知圆锥的母线长为3
cm，
则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧
＝π×()2＋2π××＋π××3
＝(3＋6＋3)π(cm2)．
对三视图认识不清致误
典例　一个空间几何体的三视图如图1－7－3所示，则该几何体的表面积为(　　)
图1－7－3
A．48　　　　　　　　　B．32＋8
C．48＋8
D．80
【错解】　由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是正方形，边长为4.
所以表面积S＝42×3＋2×4＋2×(2＋4)×4＝48＋8＋24＝80.
【答案】　D
【错因分析】　(1)不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.
(2)空间想象能力差，思维定势，想象不到几何体是侧放的四棱柱，导致无从入手，盲目求解致误．
【防范措施】　(1)由三视图想象几何体，分别由左视图与主视图、俯视图与主视图、左视图与俯视图确定几何体的高度、长度、宽度．
(2)要熟练掌握常见的几何体的主视图，并善于从不同角度观察几何体的结构特征，要知道三视图中的实线与虚线的原因，明确为什么有这些线或没有某些线，对于主视图，左视图中的直角，更要弄清楚它们是直角的原因．
【正解】　由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为＝.
所以S表＝42＋2×4＋×(2＋4)×4×2＋4××2＝48＋8.
【答案】　C
1．对圆柱、圆锥、圆台的表面积，处理好两个方面的问题．
(1)利用轴截面平面化；
(2)在轴截面中建立高、母线、底面半径的数量关系．
2．对于正棱锥、正棱台的表面积，求侧面的高是解题的关键，这就要求在几个特殊直角三角形或直角梯形中建立高、斜高、底边长的数量关系．
1．长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是(　　)
A．36　　　　B．24　　　　C．52　　　　D．26
【解析】　S表＝2(2×3＋2×4＋3×4)＝52.
【答案】　C
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　)
A．2
B．2
C．4
D．8
【解析】　设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r、R，则l＝(r＋R)，
又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，
∴l2＝16，∴l＝4.
【答案】　C
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的表面积为4，则正方体的棱长为________．
【解析】　设正方体的棱长为a，则正三棱锥A－CB1D1的棱长均为a.
可得此三棱锥的底面周长为3a，斜高为a，
∴×3a·a＋a·a＝4，
2a2＝4，
∴a＝.
【答案】　
4．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，求所形成的几何体的侧面之比．
【解】　以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，
以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积
S2＝2π×1×2＝4π，
∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.
一、选择题
1．下图中可能是四棱柱侧面展开图的是(　　)
【解析】　棱柱的侧面展开图是沿着它的一条侧棱剪开后展开在一个平面上的，可知选项C有可能是四棱柱的侧面展开图．
【答案】　C
2．如图1－7－4所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)
图1－7－4
A.　　　B．2π　　　　　C．3π　　　D．4π
【解析】　由三视图可知该空间几何体是底面半径为，高为1的圆柱，
所以S表＝2π××1＋2×π×()2＝π.
【答案】　A
3．长方体的对角线长为2，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为(　　)
A．44
B．88
C．64
D．48
【解析】　设长，宽，高分别为3x，2x，x，
则对角线长为＝x＝2，∴x＝2.
∴表面积S＝2(6x2＋3x2＋2x2)＝88.
【答案】　B
4．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS
B．2πS
C．πS
D.πS
【解析】　设圆柱的底面半径为R，
则S＝πR2，∴R＝，
则圆柱的母线长l＝2πR＝2.
S侧面积＝(2πR)2＝4π2R2＝4π2×＝4πS.
【答案】　A
5．一个正四棱台上、下底面的边长分别为a、b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是(　　)
A.＝＋
B.＝
C.＝＋
D.＝＋
【解析】　S侧＝(4a＋4b)
＝(2a＋2b)
，
由题意知：(2a＋2b)
＝a2＋b2，
整理得：h(a＋b)＝ab，
∴＝＋，故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．一个圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为________．
【解析】　由圆锥的底面半径r＝2，高h＝2，可得母线l＝＝＝4.
所以S侧＝πrl＝π×2×4＝8π.
【答案】　8π
7．圆台的两底面半径分别为3，5，其侧面积为16，则母线长l＝________.
【解析】　由已知得16＝π(3＋5)l，∴l＝.
【答案】　
图1－7－5
8．如图1－7－5，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
【解析】　此直三棱柱的底面是边长为a的正三角形，该三角形的高为a.左视图是一矩形，一边为a，另一边为2a，故左视图的面积为a×2a＝a2.
【答案】　a2
三、解答题
9．已知正六棱柱的高为5
cm，最长的对角线长为13
cm，求它的侧面积．
【解】　如图所示，连接A1D1，AD，AD1，则易知AD1为正六棱柱最长的对角线，且为13
cm.
由正六棱柱的性质，得AA1⊥A1D1.
在Rt△AA1D1中，
因为AD1＝13
cm，AA1＝5
cm，
所以A1D1＝＝12
cm，
所以A1B1＝A1D1＝6
cm.
所以S侧＝6×6×5＝180
cm2.
10．圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，求这两部分侧面积的比．
【解】　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心，
∵O1为PO2的中点，
∴＝＝＝.
∴PA＝AB，O2B＝2O1A.
∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，
∴＝＝.
11．在一次地震中，有某受灾县急需如图1－7－6三视图(单位：m)所示的救灾帐篷，求3万顶这样的帐篷共需要多大面积的帆布．
图1－7－6
【解】　由三视图可知，这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱组合而成的．
S＝4×42＋2×2×4＋×2×2×2＝72＋16×≈94.6(m2)．
故3万顶这样的帐篷所需帆布的面积约为94.6×30
000＝2
838
000(m2)．
备选例题
　如图已知平行四边形ABCD，AB＝8，AD＝6，∠DAB＝60°，以AB为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积．
【思路探究】　首先判断旋转后的几何体是由哪几个简单的旋转体组成，然后利用相应的面积公式求解．
【自主解答】　如图(1)，作DH⊥AB于H，
在Rt△ADH中，AD＝6，∠DAH＝60°，
∴DH＝×AD＝3，
如图(2)，所得旋转体的表面积是一个圆柱的侧面积与两个圆锥侧面积的和．
即S表＝2π×DH×DC＋π×DH×AD×2
＝2π×3×8＋π×3×6×2
＝48π＋36π＝84π.
即旋转体的表面积为84π.
规律方法
1．判断旋转后几何体的形状是解决本题的关键．
2．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的关键量之间的关系．
备选变式
　如图所示，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，以某一条边为轴旋转，求所得的旋转体的表面积．
【解】　若以AB为轴旋转，母线l＝AC＝5，
底面半径r＝BC＝4，
则所得圆锥的表面积S＝S侧面积＋S底面积＝πrl＋πr2＝36π；
若以BC为轴旋转，母线l＝AC＝5，
底面半径r＝AB＝3，
则所得圆锥的表面积S＝S侧面积＋S底面积＝πrl＋πr2＝24π；
若以AC为轴旋转，则所得的旋转体是由两个圆锥组合而成的，
其表面积为S＝π××(3＋4)＝π.7.2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(2)熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．
2．过程与方法
通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者的体积关系，培养空间想象能力和思维能力．
3．情感、态度和价值观
通过学习，感受几何体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．
●重点难点
重点：柱体、锥体、台体的体积计算公式．
难点：体积公式的应用．
●教学建议
通过阅读教材，自主学习、思考、交流，讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而熟练体积的计算公式，完成本节课的教学目标．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，理解体积公式 通过例1及变式训练，使学生掌握柱体的体积问题 通过例2及互动探究，使学生掌握锥体的体积问题 通过例3及变式训练，使学生掌握如何求台体体积问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式(重点)．
2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积(难点).
知识2
柱体、锥体、台体的体积
【问题导思】　
长方体的体积公式是什么？长方体能否分为两个全等的三棱柱？其体积与长方体体积有什么关系？
【提示】　V＝Sh，能，Sh.
几何体
体积
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的底面积，h为柱体的高
锥体
V锥体＝Sh
S为锥体的底面积，h为锥体的高
台体
V台体＝(S上＋＋S下)·h
S上，
S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高
类型1
柱体的体积
例1　已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2
cm2，2
cm2，侧棱长为2
cm，求其体积．
【思路探究】　设出底面菱形的两条对角线长，表示出两个对角面的面积，然后利用两条对角线表示底面菱形的面积，代入棱柱的体积公式即可．
【自主解答】　如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x
cm，y
cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有解得底面菱形的面积S＝xy＝(cm2)，所以该棱柱的体积为V＝Sh＝×2＝(cm3)．
规律方法
1．本题中巧用了菱形的对角线求出底面面积．
2．求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理．熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键．
变式训练
　一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
【解】　设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶(a3)＝∶1＝∶2.
类型2
锥体的体积
例2　
如图1－7－7所示是一个几何体的主视图和俯视图．
(1)试判断这个几何体的形状；
(2)请画出它的左视图，并求该平面图形的面积；
(3)求该几何体的体积．
图1－7－7
【思路探究】　解答本题可先根据主视图、俯视图判断这个几何体的形状，再画出左视图，求几何体的体积．
【自主解答】　(1)根据几何体的主视图和俯视图，可知该几何体是一个底面是正六边形，侧棱都相等的六棱锥．
(2)该几何体的左视图为△ABC
(如图所示)，
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝a，
AD是六棱锥的高，根据主视图易知AD＝a，
∴该左视图的面积为
a·a＝a2.
(3)设六棱锥的底面积是S，体积为V，则S＝6×a2＝a2，
∴V＝×a2×a＝a3.
规律方法
1．求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高，往往在求高时，需用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．
2．求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积法)．
图1－7－8
互动探究
　若本例中的几何体的主视图和俯视图改成如图1－7－8.求该几何体的体积．
【解】　由主视图、俯视图可知该几何体是底面半径为a，母线长为2a的圆锥，所以圆锥的高h＝＝a，
即V＝Sh＝πa2·a＝πa3.
类型3
台体的体积
例3　如图1－7－9，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．]
图1－7－9
【思路探究】　求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径和圆台的高，代入公式求解．
【自主解答】　作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D.
则A1D＝3，∠A1AB＝60°.∴AD＝＝，
∴R－r＝，BD＝A1D·tan
60°＝3，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3.
∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.
规律方法
1．求台体的体积，其关键在于求高，一般地棱台把高放在直角梯形中求解，若是圆台把高放在等腰梯形中求解．
2．“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．
图1－7－10
变式训练
　如图1－7－10，圆台上底的面积为16π
cm2，下底半径为6
cm，母线长为10
cm，那么圆台体积是多少？
【解】　由题意知，圆台的上底面半径为4
cm，
圆台的高h＝BC
＝
＝＝4(cm)，
V圆台＝h(S＋＋S′)
＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．
巧用补形法求几何体的体积
典例　(12分)已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，点C到AB的距离为3
cm，侧面ABB1A1的面积为8
cm2，求直三棱柱的体积．
【思路点拨】　把三棱柱补成四棱柱，以侧面为底面，体积就容易求得．
【规范解答】　补上一个相同的直三棱柱ACD—A1C1D1可以得到一个直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，3分
可以看成以ABB1A1为底面的四棱柱CDD1C1—ABB1A16分
∴点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离9分
∴V＝V四棱柱＝×8×3＝12(cm2)12分
【思维启迪】　四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面，故遇到三棱柱求体积问题，可以采用“补形”为四棱柱，通过四棱柱体积解决三棱柱的体积．
1．对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.
1．已知圆锥的母线长是10，底面周长12π，则它的体积为(　　)
A．256π　　　　　　　　B．128π
C．96π
D．64π
【解析】　由2πr＝12π，得r＝6，
∴h＝＝8，
∴V＝π×62×8＝96π，故选C.
【答案】　C
2．将正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个角后得到一个正四面体BDA1C1，这个四面体的体积是正方体体积的(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　设正方体的棱长为a，则＝＝.
【答案】　B
3．一个几何体的三视图如图1－7－11所示，则这个几何体的体积为________．
图1－7－11
【解析】　该空间几何体是一个边长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为2的圆锥．故其体积为23－π×12×2＝8－π.
【答案】　8－π
4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，求圆台的体积．
【解】　设圆台的上底面半径为r，则
(3r)2＋(4r)2＝100，解之得r＝2.
∴S上＝πr2＝4π，S下＝π(4r)2＝16πr2＝64π，
h＝4r＝8.
∴V＝(4π＋64π＋16π)×8＝224π.
一、选择题
1．已知圆柱的侧面积为18，底面周长为6π，则它的体积是(　　)
A．9　　　　B．9π　　　　C．27　　　　D．27π
【解析】　设底面半径为r，高为h，则2π·r＝6π，得r＝3，
又由2πr·h＝18，得h＝，
所以体积V＝π×32×＝27，故选C.
【答案】　C
2．半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(　　)
A.πr3
B.πr3
C.πr3
D.πr3
【解析】　设底面半径为r′，则2πr′＝πr，∴r′＝，
∴圆锥的高h＝＝r，
∴V锥＝πr′2×h＝π··r＝πr3.
【答案】　C
图1－7－12
3．正三棱柱ABC—A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B，BD，A1D，AD，则三棱锥A—A1BD的体积为(　　)
A.a3
B.a3
C.a3
D.a3
【解析】　VA—A1BD＝VB—AA1D＝·S△AA1D×hB＝×(×a×a)×a＝a3，应选B.
【答案】　B
4．若某空间几何体的三视图如图1－7－13所示，则该几何体的体积是(　　)
图1－7－13
A.
B.
C．1
D．2
【解析】　该几何体的直观图为平放的直三棱柱，且底面为直角三角形，两直角边边长为1和，侧棱长为，∴V＝××1×＝1.
【答案】　C
5．三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＋PB＝4，PC＝1，则此三棱锥的体积(　　)
A．有最大值，无最小值
B．有最小值，无最大值
C．有最大值，无最小值
D．无最大值，也无最小值
【解析】　设PA＝x，则PB＝4－x，
V＝PA·PB·PC＝x(4－x)＝－(x－2)2＋，
∴Vmax＝，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
【解析】　如图所示，则母线PA＝2，设圆锥底面半径为r，则有2πr＝×2π×2，则r＝1，则圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积V＝×12×＝.
【答案】　π
7．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14
cm3，则棱台的高为________cm.
【解析】　由题意设正四棱台的斜高与上，下底面边长分别为5x，2x，8x，则高h＝＝4x.由棱台的体积公式可得·4x(4x2＋16x2＋64x2)＝14，解得x＝，所以h＝2
cm.
【答案】　2
8．如图1－7－14，圆锥的高为h，圆锥内水面的高为h1，水面上底面半径为2r，且h1＝h.若将圆锥倒置，水面高为h2，则h2等于________．
图1－7－14
【解析】　V圆台＝×[π(3r)2·h－π(2r)2·h]＝πhr2.
圆锥倒置时，水体呈圆锥状，设圆锥底面半径为x，则＝，
于是x＝.
则V圆锥＝π()2h2＝.
由V圆台＝V圆锥得πhr2＝，
∴h2＝h.
【答案】　h
三、解答题
9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底边AB＝2
cm，D、E分别是侧棱B1B、C1C上的点，且有EC＝BC＝2DB，求四棱锥A－BCED的体积．
【解】　如图，要计算四棱锥A－BCED的体积，一是应计算四边形BCED的面积；二是应计算这个四棱锥的高．
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，CC1⊥底面ABC，且BC?平面ABC，
∴BB1⊥BC，CC1⊥BC，则DB∥EC，且∠DBC＝90°，
∴四边形BCED是直角梯形．
∵EC＝2DB＝BC＝2(cm)，
∴DB＝1(cm)．
∴S梯形BCED＝(BD＋EC)·BC＝×(1＋2)×2＝3(cm2)．
取BC的中点F，连接AF，则AF⊥BC，由于平面ABC⊥平面BCC1B1，由两个平面垂直的性质定理，有AF⊥平面BCC1B1，
即AF为四棱锥A－BCED的高，且AF＝AB＝(cm)．
∴VA－BCED＝S梯形BCED·AF＝(cm3)．
10．已知正六棱锥P—ABCDEF的底面边长为2
cm，侧棱长为3
cm，求正六棱锥P—ABCDEF的体积．
【解】　如图所示，O为正六边形的中心，则PO为正六棱锥的高，G为CD的中点，则PG为正六棱锥的斜高，
由已知得CD＝2
cm，
则OG＝
cm，CG＝1
cm.
在Rt△PCG中，PC＝3
cm，CG＝1
cm，
则PG＝＝2
cm.
在Rt△POG中，
PG＝2
cm，OG＝
cm，
则PO＝＝
cm.
故VP—ABCDEF＝SABCDEF·PO
＝×6××22×＝2
cm3.
图1－7－15
11．降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为38
cm，底面直径为24
cm，深度为35
cm的圆台形水桶(轴截面如图1－7－15所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，求本次降雨的降水量(精确到1
mm)．
【解】　桶内水的深度为×35＝5(cm)．
设水面半径为x
cm，则有＝，解得x＝13.
V水＝π·5(122＋12×13＋132)＝π.
设单位面积雨水深度为h，则V水＝π·192·h.
∴π·192·h＝π.∴h≈2.17
cm≈22
mm.
∴本次降雨的降水量为22
mm.
备选例题
　已知如图，正六棱柱的底面边长为12
cm，高为10
cm，从中间挖去一个直径为10
cm的圆柱后，求此几何体的体积．(无需求近似值，保留根式及π)
【思路探究】　求六棱柱的体积→求圆柱的体积→六棱柱的体积减去圆柱的体积
【自主解答】　V六棱柱＝×122×6×10
＝2
160(cm3)，
V圆柱＝π×()2×10＝250π(cm3)，
∴此几何体的体积V＝V六棱柱－V圆柱＝(2
160－250π)cm3.
规律方法
　求组合体的体积时，首先应弄清楚它的组成，然后再求出各简单几何体的体积，最后再相加或相减．
备选变式
　正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是________．
【解析】　若正三棱柱的高为12，则底面边长为×6＝2，V＝×4×12＝12，
若三棱柱的高为6，则底面边长为×12＝4，V＝×42×6＝24.
【答案】　12或24
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解球的体积和表面积公式．
(2)会用公式求球的表面积和体积及解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题．
2．过程与方法
通过球的表面积和体积公式的应用，提高学生的计算能力．
3．情感、态度与价值观
提高学生的思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心．
●重点难点
重点：球的表面积和体积公式．
难点：与球有关的组合体的表面积和体积问题．
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，从而化解难点．
●教学建议
球的体积是球体所占空间的大小的度量，由球的几何特征可知，它是球半径的函数，而球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数，教学时对球的体积公式和表面积公式可以采用教材中的方法，直接给出其公式即可．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 通过引导学生回答问题，掌握球的表面积和体积公式 通过例1及互动探究，使学生掌握球的表面积和体积的计算 通过例2及变式训练使学生掌握球的表面积和体积的应用 通过例3及变式训练使学生掌握有关球的切接问题的解法 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识
课标解读
1.了解球的体积和表面积公式．
2.会用公式求球的表面积和体积(重点)．
3.会用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题(难点).
知识1
球的表面积和体积公式
【问题导思】　
球是最常见的几何体之一．从小学到初中，教材就介绍了球的表面积和体积，而且关于球的表面积和体积的计算在社会生活中有着重要的作用．
(1)球能象多面体和圆柱、圆锥、圆台一样展开在一个平面上吗？
(2)两个半径不相等的球，体积会相等吗？
【提示】　(1)不能．(2)不相等．
1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)
2．球的体积公式：V球＝πR3(R为球半径)
类型1
球的表面积和体积的计算
例1　过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π
cm2，试求此球的表面积．
【思路探究】　利用球的截面性质求球的半径．
【自主解答】　如图，设截面圆的圆心为O1，OA为球的半径，
∵12π＝π·O1A2，∴O1A2＝12，
在Rt△OO1A中，
OA2＝OO＋O1A2，
即R2＝(R)2＋12，
∴R＝4(cm)，
∴S球＝4πR2＝4π×16＝64π(cm2)．
规律方法
1．用一个平面去截球，截面总是圆面．
2．球的截面圆的半径、圆心到球心的距离和球的半径构成直角三角形．此性质是解决球的表面积和体积问题的重要工具．
互动探究
　本例中，若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．
【解】　如图，由题意可知：
OO1＝1.
设截面圆的半径为r，则π＝πr2，
∴r＝1，
即O1A＝1.
在Rt△OO1A中，
球半径R＝OA＝
＝＝.
∴球的表面积S球＝4πR2＝8π，
球的体积V球＝πR3＝π.
类型2
球的表面积及体积的应用
例2　一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
【思路探究】　先设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，则水面下降，减少的体积就是球的体积，建立一个关系式来解决．
【自主解答】　设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示．
∵AC＝r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝πAC2·PC
＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3.
球取出后水面下降到EF，水的体积为
V水＝πEH2·PH
＝π(PH·tan
30°)2·PH
＝πx3.
而V水＝V圆锥－V球，
即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.
故球取出后水面的高为r.
规律方法
1．画出截面图是解答本题的关键．
2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．
变式训练
　圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
【解】　设取出小球后，容器中水面下降h
cm，两个小球的体积为V球＝2×π×()3＝，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以＝π×52×h，所以h＝(cm)．
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降
cm.
类型3
有关球的切、接问题
例3　求棱长为a的正四面体P—ABC的内切球的体积．
【思路探究】　欲求正四面体P—ABC的内切球的体积，首先必须求出内切球的半径r，显然半径在正四面体的高h上，因由正四面体中心O至各个顶点的连线与正四面体各面围成四个体积相等的正三棱锥，这些棱锥的底是正四面体的面，高是O到各面的距离(即r)，它们的体积各为正四面体体积的，于是可以求得r与h的关系，然后在正四面体中，由棱长a求得高，进而得到内切球的半径．
【自主解答】　如图(1)所示，设O为内切球的球心，连接OA、OB、OC、OP，则正四面体的体积可以化为四个三棱锥的体积之和．
即VP—ABC＝VO—ABC＋VO—PBC＋VO—PAB＋VO—PAC，
设正四面体各面的面积为S，正四面体的高为h，
则VP—ABC＝Sh，
又VO—ABC＝VO—PBC＝VO—PAB＝VO—PAC，
∴Sh＝4·Sr，
∴r＝，
作PH⊥平面ABC(如图(2))，连接CH，延长后交AB于D，连接PD，则CD⊥AB，PD⊥AB，
因为正四面体的棱长为a，
所以PD＝CD＝a，
DH＝CD＝a，
∴PH＝
＝＝a，
∴r＝h＝PH＝a，
故正四面体的内切球的体积为V＝πr3＝π(a)3＝πa3.
规律方法
1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥空间想象能力，做到以下几点：
(1)明确切点和接点的位置；
(2)确定有关元素间的数量关系；
(3)作出合适的截面图．
2．一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，于是将立体问题转化为平面问题解决．
变式训练
　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
【解】　设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1、R2、R3，则有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，
a＝2R3，R3＝a，∴R1∶R2∶R3＝1∶∶.
∴S1∶S2∶S3＝R∶R∶R＝1∶2∶3.
即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.
问题考虑不全致误
典例　一个球内有相距9
cm的两个平行截面，面积分别为49π
cm2和400π
cm2，求球的表面积．
【错解】　如图所示，设OD＝x，
由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7
cm.
π·BD2＝400π，∴BD＝20
cm.
设球半径为R，则有
(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2
500π
cm2.
【错因分析】　本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．
【防范措施】　遇到情况不确定，不唯一时要分类讨论，考虑到各种情况．
【正解】　(1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．
(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，
设球半径为R，
可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
此方程无正数解，
即此种情况不可能．
综上可知，
球的表面积是2
500π
cm2.
1．球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．
2．处理与球有关的问题应解决下面几点
(1)截面问题．R2＝d2＋r2(d为球心到截面的距离，r是截面圆的半径)．
(2)接切问题．球心到接切点的距离等于半径．
(3)轴截面问题．球是旋转体，轴截面很关键．
1．半径为1的球的表面积和体积分别为(　　)
A．4π，π　　　　　　　B．π，
C．2π，4π
D．2π，
【解析】　S球＝4πR2＝4π，V球＝πR3＝π.
【答案】　A
2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(　　)
A.
B．1
C．2
D．3
【解析】　设球的半径为R，则πR3＝4πR2，解得R＝3.
【答案】　D
3．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．
【解析】　设球的半径为R，则S球表＝4πR2.分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，S圆＝πR2.
∴两个半球的表面积和S＝S球表＋2S圆＝6πR2.
∴S∶S球表＝3∶2.
【答案】　
4．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π
cm2，试求此球的表面积和体积．
【解】　设球的半径为R，所作截面半径为r，则πr2＝48π，r2＝48.由图可知，()2＋r2＝R2，
∴R2＝r2＝×48＝64，
∴R＝8，S球＝4πR2＝256π
cm2，
V球＝πR3＝π
cm3.
一、选择题
1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大(　　)
A．2倍　　　　　　　B.倍
C．2倍
D．3倍
【解析】　半径扩大倍，
从而体积扩大()2＝2倍．
【答案】　C
2．正方体的表面积与其外接球表面积的比为(　　)
A．3∶π
B．2∶π
C．1∶2π
D．1∶3π
【解析】　设正方体棱长为1，则正方体表面积为6.则其外接球半径为，其表面积为4π·()2即3π.所以表面积之比为2∶π.
【答案】　B
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　)
A．25π
B．50π
C．125π
D．都不对
【解析】　设球的半径为R.则
2R＝＝5.
∴S表＝4πR2＝π(2R)2＝π(5)2＝50π.
【答案】　B
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)
A．R
B．2R
C．3R
D．4R
【解析】　设圆柱的高为h，则πR3×3＝πR2·h，
∴h＝4R.
【答案】　D
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2
B.πa2
C.πa2
D．5πa2
【解析】　正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得
R＝＝a，
∴S＝4πR2＝4π×＝a2.
【答案】　B
二、填空题
6．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．
【解析】　V＝πR3＝4π，
∴R＝，
∴S球面＝4πR2＝12π.
【答案】　12π
7．图1－7－16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是__________．
图1－7－16
【解析】　该几何体为一个半径为1的球与底面半径为1，高为3的圆柱组成的组合体．
S表＝4π×12＋2×π×12＋2π×1×3＝12π.
【答案】　12π
图1－7－17
8．圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1－7－17所示)，则球的半径是________cm.
【解析】　设球的半径为r
cm，
则有8πr2＋3×πr3＝πr2×6r，由此解得r＝4.
【答案】　4
三、解答题
9．一个球的外切圆台上、下底面半径分别为r、R，求球的体积和表面积．
【解】　如图，圆台及内切球的轴截面ABCD，O1、O2、O分别为上、下底面圆心及球心，设球的半径为x，
则O1O2＝2x，
过C作CE⊥AB于E，则CE＝2x，
BE＝R－r，
∵BC＝R＋r，
∴在Rt△CBE中，CB2＝BE2＋CE2，
即(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2.
∴x2＝Rr，
∴x＝.
∴V球＝πx3＝πRr，S球＝4πx2＝4πRr.
图1－7－18
10．如图1－7－18，一个长、宽、高分别是80
cm、60
cm、55
cm的水槽中有水200
000
cm3.现放入一个直径为50
cm的木球，如果木球的2/3在水中，1/3在水上，那么水是否会从水槽中流出？
【解】　水槽的容积V＝80×60×55＝264
000(cm3)，
木球的体积V木＝π×253≈65
417(cm3)．
∵200
000＋65
417×≈243
611＜V，
∴水不会从水槽中流出．
图1－7－19
11．如图1－7－19，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4，求圆台的体积．
【解】　设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l.
由题意知，圆台的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°.OE⊥BC.
∵在Rt△COB中，
CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE，
∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.
又∵S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)l
且S球∶S圆台侧＝3∶4，
∴4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4.
∴(r1＋r2)2＝R2，
∴V台＝πh(r＋r＋r1r2)＝×2R[(r1＋r2)2－r1r2]＝×2R×(R2－R2)＝πR3.
故圆台的体积为πR3.
备选例题
　如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图，单位：cm，不考虑接触点，无需求近似值)．
【思路探究】　由三视图易知此几何体由球、四棱柱、四棱台组成，根据公式分别求球、四棱柱、四棱台的表面积和体积得几何体的表面积和体积．
【自主解答】　由三视图可知此几何体由以下三个简单几何体组成：
①球：半径为2
cm.
②四棱柱：底面为长8
cm，宽4
cm的矩形，高为20
cm.
③四棱台：上底面为边长16
cm的正方形，
下底面为边长20
cm的正方形，高为
2cm，
斜高为＝2(cm)．
S球＝4π·22＝16π(cm2)，V球＝π·23
＝π(cm3)．
S四棱柱＝8×4×2＋8×20×2＋4×20×2
＝544(cm2)，
V四棱柱＝8×4×20＝640(cm3)．
S四棱台＝4××(16＋20)×2＋162＋202
＝144＋656(cm2)，
V四棱台＝×(162＋202＋)×2
＝(cm3)．
∴此几何体的表面积
S＝S球＋S四棱柱＋S四棱台－2×8×4
＝16π＋544＋144＋656－64
＝16π＋144＋1
136(cm2)．
体积V＝V球＋V四棱柱＋V四棱台
＝π＋640＋
＝(cm3)．
规律方法
1．由三视图得到组合体的几何特征是解决此类问题的关键．
2．计算组合体的体积时，应根据其几何特征分析求解，分别计算不同几何体的体积再相加．
备选变式
　如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)
A.π＋12　　　　　B.π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
【解析】　由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V＝32×2＋π3＝18＋π.
【答案】　B