1.7.1 简单几何体的侧面积 学案（含答案）

1.7.1
简单几何体的侧面积
学案
课前预习导学
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学习目标
重点难点
1．通过几何体的侧面的展开过程，感知几何体的形状．2．通过对柱、锥、台体的研究，会用公式求柱、锥、台体的侧面积和表面积．3．会区别侧棱、高、斜高等概念，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．
重点：柱体、锥体、台体的侧面积和表面积的计算．难点：台体的侧面积和表面积的计算．疑点：已知几何体的三视图，首先转化为直观图，再求它的侧面积和表面积.
预习导引
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl(r为底面半径，l为母线长)．
S圆台侧＝π(r1＋r2)l(r1，r2分别为上、下底面的半径，l为侧面母线长)．
预习交流1
圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的关系如何？
提示：
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)．
S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．
S正棱台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
预习交流2
棱柱、棱锥、棱台侧面积之间的关系如何？
提示：
3．求一个几何体的表面积
一个几何体的表面积等于其侧面积与底面积之和．
预习交流3
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　)．
A．3π
B．3π
C．6π
D．9π
提示：根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.
课堂合作探究
问题导学
1．简单旋转体的侧面积与表面积
活动与探究1
圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的表面积．
思路分析：该矩形的一边长为圆柱的母线长，另一边长为圆柱的底面圆周长，因此应分两类讨论解决此问题．
解：设圆柱的底面半径为r.
圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长．
∴2πr＝4π，即r＝2.
∴S底＝4π，S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π.
②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长．
∴2πr＝6π，即r＝3.∴S底＝9π，
∴S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π.
迁移与应用
1．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为(　　)．
A．1
B．2
C.
D.
解析：如图，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意得2πr=πl，
∴l=2r.
又S表=πrl+πr2=3π，
∴r=1，
∴底面直径2r=2.
答案：B
2．一个直角梯形的上、下底长分别为2和5，若它旋转后形成的圆台的侧面积等于两底面面积之和，则该圆台的母线长是多少？
解：设圆台的母线长为l，
由题意可得π(2＋5)l＝π(22＋52)，解得l＝，即该圆台的母线长为.
名师点津
圆柱、圆锥、圆台的侧面积的求法．
由圆柱的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长．
要求圆锥的侧面积应已知它的母线长和底面圆的半径．
要求圆台的侧面积应已知圆台的母线长和上、下两底面圆的半径．
特别提醒：旋转体中轴截面可以将母线、底面半径、高等主要元素联系在一起，因此处理好轴截面中的边角关系是正确计算的关键．
2．简单多面体的侧面积与表面积
活动与探究2
正四棱台两底面边长分别为a和b(a＜b)．
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
思路分析：侧棱C1C与上、下底面正方形中心连线以及CO和C1O1可构成直角梯形，从而可知∠C1CA＝45°，从而求出高C1E以及斜高C1F.
解：(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝(b－a)．
在Rt△C1CE中，
C1E＝CE＝(b－a)，
又EF＝CE·sin
45°＝(b－a)，
∴斜高C1F＝
＝＝(b－a)．
∴S侧＝(4a＋4b)×(b－a)＝(b2－a2)．
(2)由S上底＋S下底＝a2＋b2，
∴(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝.
又EF＝，h＝＝.
迁移与应用
1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)．
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：设该直棱柱的底面边长为a，高为b，则
解得
∴棱柱的侧面积是4ab＝8.
答案：D
2．正四棱锥底面正方形的边长为4
cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
解：如图，正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE＝×4＝2(cm)，∠OPE＝30°，
∴PE＝＝4(cm)．
∴S侧＝×4×4×4＝32(cm2)．
又S底＝42＝16(cm2)，
∴S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．
名师点津
简单多面体的侧面积的求法：
(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁．
(2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系．
特别提醒：棱柱的侧面积不一定等于底面周长和侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积等于底面周长与侧棱长的乘积．
3．组合体的表面积
活动与探究3
一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为(　　)．
A．280
B．292
C．360
D．372
解析：由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，
上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，
又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
答案：C
迁移与应用
一个几何体的直观图如图，求该几何体的表面积．
解：S＝4×8×2＋4×8×2＋8×8×2＋2π×2×8＝256＋32π.
名师点津
求组合体的表面积的解题策略：
(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．
(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体的表面的变化．
当堂检测
1．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)．
A．6
B．12
C．24
D．48
解析：正四棱锥的斜高h′＝＝4，
S侧＝4××6×4＝48.
答案：D
2．圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的倍，那么它的侧面积变为原来的(　　)．
A．1倍
B．n倍
C．n2倍
D.
倍
解析：由S侧＝π(r′＋r)l，当r，r′缩小倍，l扩大n倍时，S侧不变．
答案：A
3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为(　)．
A．6a2
B．12a2
C．18a2
D．24a2
解析：每个小正方体的棱长为，表面积为
∴27个小正方体的表面积为27×a2＝18a2.
答案：C
4．若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为__________．
解析：由主视图知该圆锥的底面半径r＝1，母线长l＝3，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×1×3＝3π.
答案：3π
5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于__________．
解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S＝×22×2＋2×1×3＝6＋2.
答案：6＋2