1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 同步练习（含答案）

1.7.2
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)
A．3
B．
C．1
D．
[答案]　C
[解析]　本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．
由条件知底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为，
而高为底面等边三角形的高，为，
∴VA－B1DC1＝××＝1.
2．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)
A．4，8　　　　　　　
B．4，
C．4(＋1)，
D．8，8
[答案]　B
[解析]　由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝＝，侧面积S＝4××2×＝4，体积V＝×2×2×2＝.
3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，高为3，底面为边长是1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　D
[解析]　∵BB′⊥平面ABC，
∴VB′－ABC＝S△ABC·h＝S△ABC·BB′＝××3＝.
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．72cm3
B．90cm3
C．108cm3
D．138cm3
[答案]　B
[解析]　本题考查三视图与几何体的体积计算．考查空间想象能力与计算能力．该几何体的直观图为
左边是一个横放的棱柱，右边是一个长方体．
V＝×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90cm3.
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　　)
A．8－
B．8－
C．8－2π
D．
[答案]　A
[解析]　本小题考查几何体的三视图与体积计算，此几何体为正方体内有一倒置圆锥．
∴V＝2×2×2－×π×2＝8－π.
6．三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为(　　)
A．1∶1∶1
B．1∶1∶2
C．1∶2∶4
D．1∶4∶4
[答案]　C
[解析]　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh，
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－
＝Sh.
∴体积比为1∶2∶4.∴应选C.
二、填空题
7．设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
[答案]　
[解析]　本题考查圆柱的侧面积及体积．
设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝，又＝＝，所以＝，则＝＝·＝·＝.
8．棱台的上底面积为16，下底面积为64，则棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比为________．
[答案]　19∶37
[解析]　将棱台恢复成棱锥，如右图所示，AA1，BB1，CC1分别是小棱锥，中棱锥，大棱锥底面上的对应线段，
则V小∶V中∶V大＝43∶63∶83＝23∶33∶43＝8∶27∶64，
所以(V中－V小)∶(V大－V中)＝(27－8)∶(64－27)＝19∶37，即上、下两部分体积之比为19∶37.
三、解答题
9．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．[]
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积．
[解析]　(1)证明：连接OC，
∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，
∴QB⊥SC，QB⊥OC，
∴QB⊥平面SOC.
∵OH 平面SOC，
∴QB⊥OH.
又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.
(2)解：连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，
∴AB＝＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，
∴SO＝AB＝2.
∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.
能力提升
一、选择题
1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(　　)
A．πR3
B．πR3
C．πR3
D．πR3
[答案]　A
[解析]　令母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，
∴l＝2r，又∵l＝R，∴r＝R，
高h＝＝＝R.
∴V＝πr2h＝π·R2·R＝πR3.
2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　C
[解析]　本题考查立体几何的三视图及体积的求法．
∵加工前的零件半径为3，高为6，
∴体积V1＝9π·6＝54π.
∵加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高为4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，
∴体积V2＝7π·4＋9π·2＝34π.
∴削掉部分的体积与原体积之比＝＝.故选C.
二、填空题
3．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm3，则棱台的高为________cm.
[答案]　2
[解析]　由题意设正四棱台的斜高与上，下底面边长分别为5x，2x，8x，则高h＝＝4x.由棱台的体积公式可得·4x(4x2＋16x2＋64x2)＝14，
解得x＝.所以h＝2cm.
4．如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________
cm.
[答案]　4
[解析]　该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝××h＝20，∴h＝4
cm.
三、解答题
5．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1截下一个三棱锥．
(1)求此三棱锥的体积；
(2)以BDA1为底面时，求此三棱锥的高．
[解析]　(1)若三棱锥以△ABD为底面，则AA1就是高，所以V＝·a2·a＝a3.
(2)若以△BDA1为底面，设高为h，则V＝S△BDA1·h＝×·(a)2·h＝a2h，又由(1)有V＝a3，
所以a2h＝a3，解得h＝a.
6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
[解析]　(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF，
因为DF?平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D
所以VC－A1DE＝××××＝1.
7．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．
[解析]　思路分析：(1)由三角形全等、等腰三角形的三线合一及线面垂直的判断定理可求得结论1；(2)通过作辅助线求得三棱锥A－BCD的高，从而求了三棱锥G－BCD的高，最后求出此三棱锥的体积．
证明：(1)由已知得△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，
又G为AD的中点，∴CG⊥AD，
同理BG⊥AD，∴AD⊥面BGC.
又EF∥AD，∴EF⊥面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CD，交CB延长线于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC距离h是AO的一半，
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，
∴VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h＝××BD·BC·sin120°·＝.