1.7.2-1.7.3 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积和球的表面积、体积 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.7.2-1.7.3 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积和球的表面积、体积 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 17:26:19 | ||
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文档简介
1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
1.7.3 球的表面积和体积
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.在上一节学习的基础上，会用公式求柱、锥、台体的体积．了解柱、锥、台体的体积之间的关系．2．记住球的表面积和体积公式，并进行有关计算．3．通过学习，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了探索问题和解决问题的信心．
重点：柱体、锥体、台体的体积的计算．会用公式求球的表面积和体积．难点：与球有关的组合体的体积计算．疑点：已知几何体的三视图，首先转化为直观图，再求它体积.
预习导引
1．柱、锥、台体的体积
V柱体＝Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)．
V锥体＝Sh(S为锥体的底面积，
h为锥体的高)．
V台体＝(S上＋S下＋)h(S上，S下分别为棱台的上，下底面积，h为高)．
预习交流1
柱体、锥体、台体的体积公式有何联系？
提示：台体的体积公式中，如果设S上＝S下，就得到柱体的体积公式V柱体＝Sh；如果设S上＝0，就得到锥体的体积公式V锥体＝Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．
由上可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例．
预习交流2
(1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的( )．
A. B.
C.
D.
(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．
提示：(1)B (2)28
2．球的表面积和体积
S球面＝4πR2，V球＝πR3(其中R为球的半径)．
预习交流3
(1)若球的半径由R增加为2R，则这个球的表面积变为原来的________倍，体积变为原来的________倍．
(2)若一个球的体积为4π，则它的表面积为______．
提示：(1)4 8 (2)12π
课堂合作探究
问题导学
1．柱体的体积
活动与探究1
如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱ABC A1B1C1的体积．
思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长．
解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，
所以正三棱柱的体积
V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.
迁移与应用
1．圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S＝πr2，∴r＝，
则圆柱的母线长l＝2πr＝2，
即圆柱的高h＝2，
∴V圆柱＝S·h＝2S.
答案：2S
2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．
解：该几何体上方是底面半径为，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4，1，1的长方体，
从而V＝4×1×1＋π·2·1＝＋4.
名师点津
1.求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．
2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．
2．锥体的体积
活动与探究2
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值．
(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解：设AB＝a.
由题设知AQ为棱锥Q ABCD的高，
所以棱锥Q ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P DCQ的高．
而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，
所以棱锥P DCQ的体积V2＝a3.
故棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值为1.
迁移与应用
1．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )．
A．8－
B．8－
C．8－2π
D.
解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个棱长为2的正方体且内部去掉一个底面与正方体上底面内切，高等于正方体棱长的圆锥．正方体的体积为8，圆锥的体积为πr2h＝，∴所求几何体的体积为8－.
答案：A
2．下图是一个正方体，H，G，F分别是棱AB，AD，AA1的中点．现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的部分的体积是原正方体体积的几分之几？
解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是Rt△AGF，而∠FAG为90°，G，F分别为AD，AA1的中点，所以AF＝AG＝a.
所以△AGF的面积为×a×a＝a2.
又AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，
所以AH＝a.
所以锯掉的部分的体积为×a×a2＝a3.
又a3÷a3＝，所以锯掉的部分的体积是原正方体体积的.
名师点津
(1)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．
(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法．
3．台体的体积
活动与探究3
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝__________.
思路分析：V1对应的几何体AEF A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面积的；V2对应的是一个不规则几何体，显然V2无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示．
解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以S△AEF＝S，
V2＝Sh－V1＝Sh，故V1∶V2＝7∶5.
答案：7∶5
迁移与应用
四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
解：∵C(2，1)，D(0，3)，
∴圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.
∴V圆锥=πr2h=×22×2=.
∵B(1，0)，C(2，1)，
∴圆台的两个底面半径R=2，R′=1，高h′=1.
∴V圆台=
(R2+R′2+RR′)
=×1×(22+12+2×1)=
，
∴V=V圆锥+V圆台=5π.
名师点津
求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．
4．球的表面积和体积
活动与探究4
(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
(2)如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )．
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
思路分析：(1)该球的直径等于长方体的体对角线长．
(2)可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论．
解析：(1)由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，
a，则长方体的体对角线长为＝a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝a.
∴S球＝4πR2＝6πa2.
(2)半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，
∴π×(3x)3÷＝3.
答案：(1)B (2)C
迁移与应用
1．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．
A．π＋12
B．π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
分析：由题意知该几何体上部为直径为3的球，下部为长、宽、高分别为3，3，2的长方体
答案：B
2．请用所学知识探求表面积相等的球和正方体，哪个体积更大．
解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，依题意得4πr2＝6a2，所以r＝a.所以V球＝π3＝a3.
又因为V正方体＝a3，且＞1，所以V球＞V正方体，
即球的体积大于正方体的体积．
名师点津
计算球的表面积和体积时要注意的问题：
(1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置．因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息．
(2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍．
(3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径．
当堂检测
1.
已知高为3的直三棱柱ABC A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′ ABC的体积为( )．
A．
B.
C.
D.
解析：由题意知S△ABC＝×12＝，
∴VB′ ABC＝S△ABC×3＝.
答案：D
2．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )．
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶8
解析：由S＝4πr2知，若半径之比为1∶2，则表面积之比为1∶4.
答案：B
3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )．
A.
B．2π
C.
D.
解析：设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，
则∴
圆台的高h＝＝，
∴V圆台＝(π＋＋4π)·＝.
答案：D
4．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )．
A．4
B．2
C．2
D.
解析：由题意可设棱柱的底面边长为a，
则其体积为a2·a＝2，得a＝2.
由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长，为宽的矩形．∴其面积为2.故选B.
答案：B
5.如图，一个底面直径为20
cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6
cm，高为20
cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)
解：设水面下降的高度为x
cm，因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π(cm3)，
则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)．
所以60π＝100πx，解得x＝0.6(cm)．
则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6
cm.
1.7.3 球的表面积和体积
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.在上一节学习的基础上，会用公式求柱、锥、台体的体积．了解柱、锥、台体的体积之间的关系．2．记住球的表面积和体积公式，并进行有关计算．3．通过学习，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了探索问题和解决问题的信心．
重点：柱体、锥体、台体的体积的计算．会用公式求球的表面积和体积．难点：与球有关的组合体的体积计算．疑点：已知几何体的三视图，首先转化为直观图，再求它体积.
预习导引
1．柱、锥、台体的体积
V柱体＝Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)．
V锥体＝Sh(S为锥体的底面积，
h为锥体的高)．
V台体＝(S上＋S下＋)h(S上，S下分别为棱台的上，下底面积，h为高)．
预习交流1
柱体、锥体、台体的体积公式有何联系？
提示：台体的体积公式中，如果设S上＝S下，就得到柱体的体积公式V柱体＝Sh；如果设S上＝0，就得到锥体的体积公式V锥体＝Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．
由上可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例．
预习交流2
(1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的( )．
A. B.
C.
D.
(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．
提示：(1)B (2)28
2．球的表面积和体积
S球面＝4πR2，V球＝πR3(其中R为球的半径)．
预习交流3
(1)若球的半径由R增加为2R，则这个球的表面积变为原来的________倍，体积变为原来的________倍．
(2)若一个球的体积为4π，则它的表面积为______．
提示：(1)4 8 (2)12π
课堂合作探究
问题导学
1．柱体的体积
活动与探究1
如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱ABC A1B1C1的体积．
思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长．
解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，
所以正三棱柱的体积
V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.
迁移与应用
1．圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S＝πr2，∴r＝，
则圆柱的母线长l＝2πr＝2，
即圆柱的高h＝2，
∴V圆柱＝S·h＝2S.
答案：2S
2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．
解：该几何体上方是底面半径为，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4，1，1的长方体，
从而V＝4×1×1＋π·2·1＝＋4.
名师点津
1.求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．
2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．
2．锥体的体积
活动与探究2
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值．
(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解：设AB＝a.
由题设知AQ为棱锥Q ABCD的高，
所以棱锥Q ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P DCQ的高．
而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，
所以棱锥P DCQ的体积V2＝a3.
故棱锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值为1.
迁移与应用
1．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )．
A．8－
B．8－
C．8－2π
D.
解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个棱长为2的正方体且内部去掉一个底面与正方体上底面内切，高等于正方体棱长的圆锥．正方体的体积为8，圆锥的体积为πr2h＝，∴所求几何体的体积为8－.
答案：A
2．下图是一个正方体，H，G，F分别是棱AB，AD，AA1的中点．现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的部分的体积是原正方体体积的几分之几？
解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是Rt△AGF，而∠FAG为90°，G，F分别为AD，AA1的中点，所以AF＝AG＝a.
所以△AGF的面积为×a×a＝a2.
又AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，
所以AH＝a.
所以锯掉的部分的体积为×a×a2＝a3.
又a3÷a3＝，所以锯掉的部分的体积是原正方体体积的.
名师点津
(1)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．
(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法．
3．台体的体积
活动与探究3
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝__________.
思路分析：V1对应的几何体AEF A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面积的；V2对应的是一个不规则几何体，显然V2无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示．
解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以S△AEF＝S，
V2＝Sh－V1＝Sh，故V1∶V2＝7∶5.
答案：7∶5
迁移与应用
四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
解：∵C(2，1)，D(0，3)，
∴圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.
∴V圆锥=πr2h=×22×2=.
∵B(1，0)，C(2，1)，
∴圆台的两个底面半径R=2，R′=1，高h′=1.
∴V圆台=
(R2+R′2+RR′)
=×1×(22+12+2×1)=
，
∴V=V圆锥+V圆台=5π.
名师点津
求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．
4．球的表面积和体积
活动与探究4
(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
(2)如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )．
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
思路分析：(1)该球的直径等于长方体的体对角线长．
(2)可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论．
解析：(1)由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，
a，则长方体的体对角线长为＝a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝a.
∴S球＝4πR2＝6πa2.
(2)半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，
∴π×(3x)3÷＝3.
答案：(1)B (2)C
迁移与应用
1．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．
A．π＋12
B．π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
分析：由题意知该几何体上部为直径为3的球，下部为长、宽、高分别为3，3，2的长方体
答案：B
2．请用所学知识探求表面积相等的球和正方体，哪个体积更大．
解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，依题意得4πr2＝6a2，所以r＝a.所以V球＝π3＝a3.
又因为V正方体＝a3，且＞1，所以V球＞V正方体，
即球的体积大于正方体的体积．
名师点津
计算球的表面积和体积时要注意的问题：
(1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置．因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息．
(2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍．
(3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径．
当堂检测
1.
已知高为3的直三棱柱ABC A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′ ABC的体积为( )．
A．
B.
C.
D.
解析：由题意知S△ABC＝×12＝，
∴VB′ ABC＝S△ABC×3＝.
答案：D
2．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )．
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶8
解析：由S＝4πr2知，若半径之比为1∶2，则表面积之比为1∶4.
答案：B
3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )．
A.
B．2π
C.
D.
解析：设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，
则∴
圆台的高h＝＝，
∴V圆台＝(π＋＋4π)·＝.
答案：D
4．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )．
A．4
B．2
C．2
D.
解析：由题意可设棱柱的底面边长为a，
则其体积为a2·a＝2，得a＝2.
由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长，为宽的矩形．∴其面积为2.故选B.
答案：B
5.如图，一个底面直径为20
cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6
cm，高为20
cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)
解：设水面下降的高度为x
cm，因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π(cm3)，
则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)．
所以60π＝100πx，解得x＝0.6(cm)．
则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6
cm.