1.7.3 球的表面积和体积 同步练习1（含答案）

1.7.3
球的表面积和体积
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是(
)
(A)V1比V2大约多一半
(B)V1比V2大约多两倍半
(C)V1比V2大约多一倍
(D)V1比V2大约多一倍半
2.表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC-A1B1C1的各个面，则该三棱柱的体积为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知球面上的三个点A，B，C，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，球半径R＝15，则球心到平面ABC的距离是(
)
(A)10
(B)
(C)15
(D)
4.某物体是空心的几何体，
其三视图均为右图，则其体积为(
)
(A)8
(B)
(C)8+
(D)8-
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(易错题)已知三棱锥S
-ABC的各顶点
都在一个半径为r的球面上，球心O在AB
上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与
三棱锥体积之比是______.
6.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如果一个几何体的主视图与左视图都是全等
的长方形，边长分别是4
cm与2
cm.如图所示，
俯视图是一个边长为4
cm的正方形.
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积.
8.半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．
【挑战能力】
(10分)正三棱锥A-BCD的高为1，底面边长为内有一个球O与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的表面积．
答案解析
1.【解析】选D.设球半径为R，则V1=设正方体棱长为a，则V2=a3.又∵2R=∴R=，
∴V1=
∴V1-V2=
2.【解析】选A.设球的半径为R，由S球=16π可知R=2.
∵球内切于三棱柱，∴三棱柱的底面边长a=，高h=4，
∴V三棱柱=Sh=
3.【解析】选B.由题意截面圆的半径为5，
∴球心到截面距离d＝
4.【解题指南】由三视图可知，该几何体为一个正方体挖去一个内切球.
【解析】选D.易知V=V正方体-V球=23-·π·13=8-π.
5.【解析】∵SO⊥底面ABC，
∴SO为三棱锥的高线，
∴SO＝r，又∵O在AB上，AB＝2r，AC＝r，
∠ACB＝90°，∴BC＝r，
∴VS-ABC＝
又∵球的体积V＝
答案：4π∶1
【误区警示】本题易在求解体积时弄错系数而出错.
6.【解析】如图，设球的半径为R，圆锥的底面圆半径为r，则依题意得
即
∴∠O′CO=30°，∴OO′=R，
∴AO′=R-R，BO′=R+R，
∴
答案：
7.【解析】(1)由题意可知，该几何体是长方体，
底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是：
2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，
该几何体的表面积是64
cm2.
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d===6，所以球的半径r=3，
因此球的体积V=
所以外接球的体积是36π
cm3
.
8.【解题指南】四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面.
【解析】如图所示．∵棱锥底面各边相等，
∴底面是菱形．∵棱锥侧棱都相等，
∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．
∴底面是正方形，且顶点在底面上的射
影是底面中心，此棱锥是正棱锥．
过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，
则底面对角线AC=a，故截面SAC是等腰直角三角形．
又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以AC=2R，
即a=R．∴高SO=R，体积V=S底·SO=R3.
【挑战能力】
【解析】过侧棱AB与球心O作截面(如图)，在正三棱锥中，BE是底面正三角形的高，O1是底面正三角形的中心，且AE为斜高．因为底面边长为，∴O1E＝，
且AE＝，
S棱锥表＝3×××＋
作OF⊥AE于F，设内切球半径为r，则OF＝r，
AO＝1－r.
∵Rt△AFO∽Rt△AO1E，