1.7.3 球的表面积和体积 同步练习3（含答案）

1.7.3
球的表面积和体积
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A．144π，144π　　　　
B．144π，36π
C．36π，144π
D．36π，36π
[答案]　D
[解析]　球的半径为3，S球＝4π×32＝36π.
V球＝π×33＝36π.
2．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为(　　)
A．27π
B．π
C．
36π
D．π
[答案]　A
[解析]　S正＝54，∴边长a＝3，2R＝3，
∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π.
3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)
A．R
B．2R
C．3R
D．4R
[答案]　D
[解析]　设圆柱的高为h，则πR2h＝3·πR3，
∴h＝4R.
4．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为(　)
A．2∶1
B．2∶3
C．2∶π
D．2∶5
[答案]　A
[解析]　设半径为r，圆锥的高为h，由题意得：V圆锥＝πr2h＝πr3×.∴h∶r＝2∶1.
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A．
B．16π
C．9π
D．
[答案]　A
[解析]　本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积运算．设球的半径是r，根据题意可得(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以球的表面积是S＝4πr2＝4π()2＝.
6．球面上四点P、A、B、C，已知PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为(　　)
A．2πa2
B．3πa2
C．4πa2
D．6πa2
[答案]　B
[解析]　可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．
∴有a＝2R，∴R＝a，
∴S＝4πR2＝3πa2.
二、填空题
7．(新课标Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
[答案]　π
[解析]　本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．
如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－()2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.
8．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．
[答案]　
[解析]　本题主要考查利用正方体全面积，球表面积公式等知识点解决问题的能力．由条件知正方体棱长为2，所以全面积为24，设球半径为R，则4πR2＝24，R＝，所以球的体积为π3＝.
三、解答题
9．一倒置圆锥体的母线长为10
cm，底面半径为6
cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
[解析]　(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，
由△OCD∽△ACO1得＝.
∴＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．
能力提升
一、选择题
1．设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是(　　)
A．V1比V2大约多一半
B．V1比V2大约多两倍半
C．V1比V2大约多一倍
D．V1比V2大约多一倍半
[答案]　D
[解析]　本题考查球的体积公式等，并考查学生的推理判断能力、估算能力．
设球的半径为R，则V1＝πR3，设正方体棱长为a，则2R＝a，V2＝a3，所以V1＝V2，估算得选项D.
2．一个物体的三视图如图所示，则该物体的体积为(　　)
A．2π
B．＋π
C．π
D．π
[答案]　A
[解析]　该几何体的上部是一个球，其体积为π，下部是一个圆柱，其体积是π，则该几何体的体积为π＋π＝2π.
二、填空题
3．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
[答案]　
[解析]　本题考查了正方体外接球的体积.
设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体棱长为.正方体体对角线的长为a，其长度等于外接球的直径，注意这些常用结论．
4．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
[答案]　
[解析]　本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．
依据题意画出示意图：
设球半径R，圆锥底面半径r，则
πr2＝·4πR2，
即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.
所以，高的比为.
三、解答题
5．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
[解析]　设正方体的棱长为a，
(1)正方体的内切球的球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如答图(1)，所以2r1＝a，r1＝.所以S1＝4πr＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作平行于正方体底面的截面，如答图(2)，2r2＝a，r2＝a，所以S3＝4πr＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如答图(3)，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S2＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
6．两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长之和为6π，求大球半径与小球半径之差．
[解析]　设两球的半径为R，r(R>r)．由已知，得
，得
∵R3＋r3＝(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝9，
∴R2－Rr＋r2＝3，
∴(R＋r)2－3Rr＝3，得Rr＝2，
∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝1，
∴R－r＝1.故大球半径与小球半径之差为1.
7．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
[解析]　如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.
在Rt△AOB中，
AB＝1，BO＝×＝，
所以AO＝＝.
设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝－R，O1B＝R，BO＝，
在Rt△O1OB中，O1B2＝OB2＋OO，
即R2＝2＋2，解得R＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝.