1.7.3 球的表面积和体积 同步练习4（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.7.3 球的表面积和体积 同步练习4（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 260.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 17:31:01 | ||
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文档简介
1.7.3
球的表面积和体积
同步练习
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )．
A．8∶27 B．
2∶3 C．4∶9 D．2∶9
解析 设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝，则这两个球的表面积之比为＝2＝.
答案 C
2．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是( )．
A．9π
B．9
C．3π
D．3
解析 如图所示，设底面半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3.∴h＝＝
∴V＝π·r2·h＝3π.
答案 C
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．2π＋2
B．4π＋2
C．2π＋2
D．4π＋
解析 由三视图可知，该空间几何体是一个组合体，其中，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面边长为，高为的正四棱锥．如图．
所以，所求几何体的体积V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋.故选C
答案 C
4．球的内接正方体的表面积与球的表面积之比是________．
解析 设正方体棱长为a，则S正＝6a2，S球＝4π×2＝3a2π.
答案 2∶π
5．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．
解析 ∵矩形的边长为6π和4π，
∴分类讨论可知圆柱底面圆的半径为2或3，
∴圆柱的体积为36π2或24π2.
答案 36π2或24π2
6．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积．
解 由三视图知，三棱柱的高为2
mm，由左视图知，正三棱柱的底面三角形的高为2
mm.设底面边长为a
mm.
则a＝2，∴a＝4
mm.∴此正三棱柱的体积
V＝Sh＝×4×2×2＝8
(mm3)．
7．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )．
A．1∶2
B．2∶3
C．3∶4
D．4∶5
解析 设棱台的高为h，上底面积为S，则下底面积为4S，
∴V台＝h(S＋＋4S)＝Sh.
答案 C
8．正六棱锥P
ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D
GAC与三棱锥P
GAC体积之比为( )．
A．1∶1
B．1∶2
C．2∶1
D．3∶2
解析 如图，设棱锥的高为h，
VD
GAC＝VG
DAC＝S△ADC·h，
V
P
GAC＝V
P
ABC＝V
G
ABC
＝S△ABC·.
又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，
故VD GAC∶VP GAC＝2∶1.
答案 C
9．已知在多面体ABC DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DE＝2，AC＝EF＝1，则这个多面体的体积为________．
解析 法一 将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半．
VABC DEFG＝V正方体
＝×2×2×2＝4.
法二 连结BD、BG，则
VABC DEFG＝VB
ADGC＋VB
EFGD
＝SADGC·AB＋SEFGD·BE
＝×(1＋2)×2××2＋×(1＋2)×2××2＝2＋2＝4.
答案 4
10．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．
解析 圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．
答案 4 16
11．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．
解 正三棱锥S
ABC如右图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．
连接AH并延长交BC于E，
则E为BC的中点，且AE⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3，
∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝，
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.
12．(创新拓展)一个圆台的母线所在直线与轴线所在直线的夹角为30°，两底面半径的比为1∶2，其侧面展开图是半圆环，面积为54π，求这个圆台的体积以及截得这个圆台的圆锥的体积．
解 如图所示，ABCD是圆台的轴截面图，圆台的侧面展开图是半圆环，AD，BC为上、下底面圆的直径，∠DCB＝60°，
根据题意可设r＝＝x，R＝＝2x，
因为∠DCB＝60°，
故圆台的高h＝x·tan
60°＝x.
母线l＝CD＝＝2x，
又有－＝54π，而＝，
OC＝2OD，又CO－OD＝2x，
所以OD＝2x，OC＝4x.
所以54π＝(OC＋OD)(OC－OD)．
所以54π＝π(2x＋x)·2x，
所以x＝3(负根舍去)．
于是r＝3，R＝6，h＝3.
把它们代入圆台的体积公式V＝(r2＋rR＋R2)，
得V＝63π.
设截得圆台的圆锥的高为h′，则h′＝R·tan
60°＝6.
把R＝6及h′＝6代入圆锥的体积公式得
V＝＝72π.
球的表面积和体积
同步练习
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )．
A．8∶27 B．
2∶3 C．4∶9 D．2∶9
解析 设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝，则这两个球的表面积之比为＝2＝.
答案 C
2．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是( )．
A．9π
B．9
C．3π
D．3
解析 如图所示，设底面半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3.∴h＝＝
∴V＝π·r2·h＝3π.
答案 C
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．2π＋2
B．4π＋2
C．2π＋2
D．4π＋
解析 由三视图可知，该空间几何体是一个组合体，其中，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面边长为，高为的正四棱锥．如图．
所以，所求几何体的体积V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋.故选C
答案 C
4．球的内接正方体的表面积与球的表面积之比是________．
解析 设正方体棱长为a，则S正＝6a2，S球＝4π×2＝3a2π.
答案 2∶π
5．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．
解析 ∵矩形的边长为6π和4π，
∴分类讨论可知圆柱底面圆的半径为2或3，
∴圆柱的体积为36π2或24π2.
答案 36π2或24π2
6．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积．
解 由三视图知，三棱柱的高为2
mm，由左视图知，正三棱柱的底面三角形的高为2
mm.设底面边长为a
mm.
则a＝2，∴a＝4
mm.∴此正三棱柱的体积
V＝Sh＝×4×2×2＝8
(mm3)．
7．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )．
A．1∶2
B．2∶3
C．3∶4
D．4∶5
解析 设棱台的高为h，上底面积为S，则下底面积为4S，
∴V台＝h(S＋＋4S)＝Sh.
答案 C
8．正六棱锥P
ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D
GAC与三棱锥P
GAC体积之比为( )．
A．1∶1
B．1∶2
C．2∶1
D．3∶2
解析 如图，设棱锥的高为h，
VD
GAC＝VG
DAC＝S△ADC·h，
V
P
GAC＝V
P
ABC＝V
G
ABC
＝S△ABC·.
又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，
故VD GAC∶VP GAC＝2∶1.
答案 C
9．已知在多面体ABC DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DE＝2，AC＝EF＝1，则这个多面体的体积为________．
解析 法一 将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半．
VABC DEFG＝V正方体
＝×2×2×2＝4.
法二 连结BD、BG，则
VABC DEFG＝VB
ADGC＋VB
EFGD
＝SADGC·AB＋SEFGD·BE
＝×(1＋2)×2××2＋×(1＋2)×2××2＝2＋2＝4.
答案 4
10．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．
解析 圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．
答案 4 16
11．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．
解 正三棱锥S
ABC如右图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．
连接AH并延长交BC于E，
则E为BC的中点，且AE⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3，
∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝，
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.
12．(创新拓展)一个圆台的母线所在直线与轴线所在直线的夹角为30°，两底面半径的比为1∶2，其侧面展开图是半圆环，面积为54π，求这个圆台的体积以及截得这个圆台的圆锥的体积．
解 如图所示，ABCD是圆台的轴截面图，圆台的侧面展开图是半圆环，AD，BC为上、下底面圆的直径，∠DCB＝60°，
根据题意可设r＝＝x，R＝＝2x，
因为∠DCB＝60°，
故圆台的高h＝x·tan
60°＝x.
母线l＝CD＝＝2x，
又有－＝54π，而＝，
OC＝2OD，又CO－OD＝2x，
所以OD＝2x，OC＝4x.
所以54π＝(OC＋OD)(OC－OD)．
所以54π＝π(2x＋x)·2x，
所以x＝3(负根舍去)．
于是r＝3，R＝6，h＝3.
把它们代入圆台的体积公式V＝(r2＋rR＋R2)，
得V＝63π.
设截得圆台的圆锥的高为h′，则h′＝R·tan
60°＝6.
把R＝6及h′＝6代入圆锥的体积公式得
V＝＝72π.