2.1 直线与直线的方程 教案
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文档简介
2.1
直线与直线的方程
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．过程与方法
通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．
3．情感、态度与价值观
通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．
●重点难点
重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．
难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．
直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan
α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．
●教学建议
教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角 通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法 通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法 通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正
课标解读
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).
知识1
直线的倾斜角和斜率
【问题导思】
1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？
2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？
3．直线l1，l2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？
【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．
2．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．
(2)范围：0°≤α<180°.
3．直线的斜率
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝
4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系
倾斜角α
直线特点
斜率k的变化
0°
垂直于y轴
k＝0
0°<α<90°
由左向右上升
随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值
α＝90°
垂直于x轴
k不存在
90°<α<180°
由左向右下降
随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为负值
5.过两点的直线斜率的计算公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
类型1
求直线的倾斜角
例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
【思路探究】 倾斜角的
取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°
【自主解答】 由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；
而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，
l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.
【答案】 D
规律方法
1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．
2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．
变式训练
图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．
图2－1－1
【解】 设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；
图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；
图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.
类型2
求直线的斜率
例2 (1)直线过两点A(1，3)、B(2，7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．
【思路探究】 (1)利用过两点的直线的斜率公式求得．
(2)利用斜率的定义求．
【自主解答】 (1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k＝＝4.
(2)因为直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l′的斜率k′＝tan
135°＝－1.
规律方法
1．熟记斜率公式是解答本题的关键．
2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．
互动探究
将本题中的两点改为(1，1)，(－1，－2)其余不变．
【解】 k＝＝.
类型3
直线的倾斜角、斜率的综合应用
例3 已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(3，1)，且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．
【思路探究】 欲使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率与直线PA，PB的斜率有必然的关系，通过画图可知．
【自主解答】 设直线l的斜率为k，当l与线段AB相交时，kPB≤k≤kPA，
又∵kPA＝＝4，kPB＝＝，
∴≤k≤4，
即直线l的斜率的取值范围为[，4]．
规律方法
1．借助于画图是解答本题的关键．
2．研究直线的倾斜角与斜率间的关系，在求解过程中通常是先依据题意画出草图，然后结合斜率的几何意义，利用数形结合的思想，找出斜率变化的分界点，最后依据斜率与倾斜角的关系得出明确的结论．
变式训练
若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一直线上，则实数k＝________.
【解析】 kAB＝＝3，kBC＝＝k－3，
∵A、B、C共线，∴kAB＝kBC，∴k－3＝3，∴k＝6.
【答案】 6
忽视斜率不存在的情况致误
典例 该直线l过点A(7，12)，B(m，13)，求直线l的斜率及倾斜角α的取值范围．
【错解】 k＝＝.
当m＞7，即＞0时，k＞0，0°＜α＜90°；
当m＜7，即＜0时，k＜0，90°＜α＜180°.
【错因分析】 本题做错的原因是没有搞清斜率k与倾斜角α之间的关系．任意直线的倾斜角都存在，但当α＝90°时，直线的斜率是不存在的；反之，当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角是90°.错解忽视了m＝7时，斜率不存在的情况．
【防范措施】 利用斜率与倾斜角的关系解题时，若倾斜角的范围不确定，一定要考虑倾斜角α＝90°和α≠90°两种情况．
【正解】 当m＝7时，直线与x轴垂直，斜率不存在．
倾斜角α＝90°.
当m≠7时，k＝＝.
当m＞7时，即＞0时，k＞0，0°＜α＜90°.
当m＜7，即＜0时，k＜0，90°＜α＜180°.
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立．
3．斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用．
4．利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.
1．已知直线l的斜率不存在，则直线l的倾斜角为( )
A．45° B．180°
C．0°
D．90°
【解析】 倾斜角为90°的直线斜率不存在．
【答案】 D
2．过M(－2，m)，N(m，4)的直线的倾斜角为90°，则m的值为( )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
【解析】 由倾斜角为90°得－2＝m，
即m＝－2.
【答案】 A
3．过两点(2，)和(6，－)的直线的斜率为________．
【解析】 k＝＝－.
【答案】 －
4．已知A(x，0)和B(2，)，且直线AB的倾斜角为60°，求直线AB的斜率和x的值．
【解】 ∵AB的倾斜角为60°，
∴kAB＝tan
60°＝，
∴＝，∴x＝1.
一、选择题
1．若直线l的倾斜角为120°，则这条直线的斜率为( )
A. B．－ C. D．－
【解析】 k＝tan
120°＝－.
【答案】 B
2．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则a等于( )
A．－8
B．10
C．2
D．4
【解析】 ∵k＝＝－，∴a＝10.
【答案】 B
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)三点在同一条直线上，则m的值为( )
A．－2
B．2
C．－
D.
【解析】 ∵A，B，C三点在同一条直线上，
∴kAB＝kAC，
即＝，
解得m＝.
【答案】 D
4．直线l过原点，且不过第三象限，则l的倾斜角α的取值集合是( )
A．{α|0°≤α<180°}
B．{α|90°≤α<180°}
C．{α|90°≤α<180°或α＝0°}
D．{α|90°≤α≤135°}
【解析】 不过第三象限，说明倾斜角不能取0°＜α＜90°，即可取0°或90°≤α＜180°.
【答案】 C
5．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )
A.
B.
C．－
D．－
【解析】 设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.
【答案】 C
二、填空题
6．直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点，(m∈R)．那么直线l的倾斜角的取值范围为________．
【解析】 k＝＝1－m2≤1，∴倾斜角0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.
【答案】 0°≤α≤45°或90°＜α＜180°
7．已知三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，)在同一直线上，则k＝________.
【解析】 kAB＝＝3，kBC＝＝－3.
∵A、B、C在同一直线上，
∴kAB＝kBC，即3＝－3，解得k＝12.
【答案】 12
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
【解析】 ∵A、B、C三点共线，∴＝，
∴4＝(a－2)(b－2)，
∴ab－2(a＋b)＝0，∵ab≠0，
∴1－2(＋)＝0，∴＋＝.
【答案】
三、解答题
9．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
(1)A(0，－1)，B(2，0)；
(2)P(5，－4)，Q(2，3)；
(3)M(3，－4)，N(3，－2)．
【解】 (1)kAB＝＝，
∵kAB＞0，∴直线AB的倾斜角是锐角．
(2)kPQ＝＝－.
∵kPQ＜0，∴直线PQ的倾斜角是钝角．
(3)∵xM＝xN＝3.
∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°.
10．已知直线l的倾斜角为α，且tan
α＝±1，点P1(2，y1)、P2(x2，－3)、P3(4，2)均在直线l上，求y1、x2的值．
【解】 当tan
α＝1时，＝1，
∴x2＝－1，＝1，∴y1＝0.
当tan
α＝－1时，＝－1，
∴x2＝9，
＝－1，∴y1＝4.
11．已知点P(x，y)在以点A(1，1)，B(3，1)，C(－1，6)为顶点的三角形内部及边界上运动，求kOP(O为坐标原点)的取值范围．
【解】 如图所示，设直线OB、OC的倾斜角分别为α1、α2，斜率分别为k1、k2，则直线OP的倾斜角α满足α1≤α≤α2.
又∵α2＞90°，
∴直线OP的斜率kOP满足kOP≥k1或kOP≤k2.
又k1＝，k2＝－6，
∴kOP≥或kOP≤－6.
备选例题
已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
【思路探究】 (1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2)可采用数形结合法来解．
【自主解答】 (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.
∵tan
0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.
tan
60°＝，∴BC的倾斜角为60°.
tan
30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，
所以k的取值范围[，]．
规律方法
求解斜率的取值范围是要抓住以下几点：
(1)倾斜角的取值范围；(2)倾斜角和斜率间的关系；(3)数形结合．
备选变式
求函数y＝(x≥0)的值域．
【解】 y＝，可看成点A(－2，1)与函数y＝3x上动点M(x，3x)连线的斜率(如图所示)．由函数y＝3x(x≥0)的图像易知kAM≥－，
又因为＜＝3.
所以已知函数的值域为[－，3)．
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握直线方程的点斜式．
(2)了解斜截式与一次函数的关系．
2．过程与方法
通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．
3．情感、态度与价值观
培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．
●重点难点
重点：直线方程的点斜式．
难点：直线方程的应用．
给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．
●教学建议
本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式 通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程 通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程 通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用 归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识 完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).
知识1
直线方程的点斜式
【问题导思】
若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
【提示】 y－y0＝k(x－x0)．
1．直线的方程
如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：
(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；
(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．
2．直线方程的点斜式和斜截式
类型1
利用点斜式求直线方程
例1 根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．
【思路探究】 解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．
【自主解答】 (1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．
(2)k＝tan
45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．
(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．
(4)k＝＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.图形如图(4)所示．
规律方法
1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．
2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x0，y0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x＝x0)．
互动探究
本例第(4)问中“C(2，8)”改为“C(m，8)”，试写出满足条件的直线方程．
【解】 当m＝－3时，斜率不存在，直线方程为x＝－3；
当m≠－3时，k＝＝，
∴y－(－2)＝[x－(－3)]，
即y＝x＋.
类型2
利用斜截式求直线方程
例2 (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．
(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．
【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．
【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，
∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.
(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0，化为斜截式为y＝－2x＋1，
∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0，1)．
规律方法
1．已知直线斜率或直线与y轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．
2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．
变式训练
写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，并求m为何值时，直线过点(1，1)？
【解】 由题意知，直线方程为y＝2x＋m.
把点(1，1)代入得1＝2×1＋m，
∴m＝－1.
类型3
点斜式、斜截式方程的综合应用
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，求证：不论a取何值，直线l总经过第一象限．
【思路探究】 可以把直线l的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．
【自主解答】 法一 将直线方程变形为y－＝a(x－)，它表示经过点A(，)，斜率为a的直线．
∵点A(，)在第一象限．
∴直线l必过第一象限．
法二 将直线方程变形为y＝ax＋，
当a＞0时，不论a取何值，直线一定经过第一象限；
当a＝0时，y＝，直线显然过第一象限；
当a＜0时，＞0，直线一定经过第一象限．
综上，直线5ax－5y－a＋3＝0一定过第一象限．
规律方法
1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．
2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．
变式训练
不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点( )
A．(1，) B．(－2，1)
C．(2，－1)
D．(－1，－)
【解析】 ∵直线方程可化为y－1＝m[x－(－2)]，
∴直线恒过定点(－2，1)．
【答案】 B
忽视对字母的分类讨论致误
典例 求过两点(m，2)，(3，4)的直线方程．
【错解】 ∵k＝＝，
∴直线方程为y－4＝(x－3)．
【错因分析】 未考虑m与3的关系导致错误的出现．
【防范措施】 当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．
【正解】 当m＝3时，直线斜率不存在，
∴直线方程为x＝3，
当m≠3时，k＝，
∴直线方程为y－4＝(x－3)．
1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．
2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．
1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
【解析】 由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．
【答案】 D
2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于( )
A．2，2
B．－3，－3
C．－3，2
D．2，－3
【解析】 由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.
【答案】 D
3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．
【解析】 ∵倾斜角为150°，
∴斜率k＝tan
150°＝－，又知直线在y轴上截
距为6，∴y＝－x＋6.
【答案】 y＝－x＋6
4．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．
【解】 ∵直线过(－1，0)，k＝2，
由点斜式得y＝2[x－(－1)]
∴y＝2x＋2.
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
【解析】 k＝tan
150°＝－，∴y－(－2)＝－(x－4)．
【答案】 B
2．方程y＝kx＋表示的直线可能是( )
【解析】 斜率为k，且k≠0，在y轴上的截距为.
当k>0时，>0；当k<0时，<0，从而选B.
【答案】 B
3．直线l过点(－1，－1)，(2，5)两点，点(1
005，b)在l上，则b的值为( )
A．2
009 B．2
010
C．2
011
D．2
012
【解析】 ∵直线斜率k＝＝2，
∴直线点斜式方程为y－5＝2(x－2)，
∴y＝2x＋1，令x＝1
005，∴b＝2
011.
【答案】 C
4．方程y＝k(x＋4)表示( )
A．过点(－4，0)的所有直线
B．过点(4，0)的一切直线
C．过点(－4，0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(－4，0)且除去x轴的一切直线
【解析】 显然y＝k(x＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4，0)且斜率不存在即垂直于x轴的直线．
【答案】 C
5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．－2或－1
D．－2或1
【解析】 当a＝0时，不满足条件，当a≠0时，令x＝0，y＝a＋2，
令y＝0，x＝.
由已知得a＋2＝.
∴(a＋2)(1－)＝0.
∴a＝－2或a＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．直线－x＋y－6＝0的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．
【解析】 y＝x＋2，∴tan
α＝，∴α＝，在y轴上的截轴为2.
【答案】 ，2
7．直线y＝x＋m过点(m，－1)，则其在y轴上的截距是________．
【解析】 y＝x＋m过点(m，－1)，∴－1＝m＋m，即m＝－，从而在y轴上的截距为－.
【答案】 －
8．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．
【解析】 由已知得直线方程
y＋1＝tan
45°(x－4)，
即y＝x－5.
当x＝0，y＝－5，当y＝0，x＝5.
∴被坐标轴所截得的线段长|AB|＝＝5.
【答案】 5
三、解答题
9．写出下列直线的方程．
(1)斜率是3，在y轴上的截轴是－2.
(2)倾斜角是30°，过点(2，1)．
【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y＝3x－2.
(2)k＝tan
30°＝.
∴直线方程为y－1＝(x－2)，∴y＝x－＋1.
10．直线x－y＋1＝0上一点P(3，m)，把已知直线绕点P逆时针方向旋转15°后得直线l，求直线l的方程．
【解】 把点P(3，m)的坐标代入方程x－y＋1＝0可得3－m＋1＝0，
∴m＝4，即P(3，4)．
又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，
∴k＝1＝tan
45°，
即倾斜角为45°.
如图，易知已知直线绕点P逆时针方向旋转15°，
所得直线的倾斜角为60°，
∴k＝tan
60°＝，
∴所求直线方程为y－4＝(x－3)．
11．经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．
【解】 设直线为y－2＝k(x＋2)，交x轴于点(－2，0)，交y轴于点(0，2k＋2)，
S＝×|＋2|×|2k＋2|＝1，|4＋＋2k|＝1，
得2k2＋3k＋2＝0或2k2＋5k＋2＝0，
解得k＝－或k＝－2，
∴x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求．
备选例题
如图所示，已知△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，点C在直线AB上方．
求：(1)线段AB的方程；
(2)AC所在直线的方程及在y轴上的截距．
【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解．
【自主解答】 (1)由A(1，1)，B(5，1)，得AB∥x轴，
∴kAB＝0，∴线段AB的方程为y＝1(1≤x≤5)．
(2)kAC＝tan
60°＝，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)，
整理得y＝x＋1－，令x＝0得y＝1－，
∴在y轴上的截距为1－.
规律方法
1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．
2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．
备选变式
已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点P(3，－4)；
(2)在y轴上截距为3.
【解】 由直线y＝－x＋5，
得k＝－，
即tan
α＝－，∴α＝150°，
故所求直线l的倾斜角为30°，
斜率k′＝.
(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：
y＋4＝(x－3)，
即y＝x－－4.
(2)∵l在y轴上截距为3，
则由斜截式方程得：
y＝x＋3.
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．
(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．
2．过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．
3．情感、态度与价值观
(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．
●重点难点
重点：直线方程的两点式和一般式．
难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．
两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程＝中的条件x1
≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．
●教学建议
本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式 通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程 通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化 通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).
知识1
直线方程的两点式
【问题导思】
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？
【提示】 kAB＝由点斜式方程得y－y1＝(x－x1)．
1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为＝.
2．截距式：若直线l过A(a，0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为＋＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．
知识2
直线方程的一般式
【问题导思】
以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？
【提示】 能．
直线方程的一般式
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．
类型1
直线方程的两点式和截距式
例1 求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2，3)，B(4，－1)；
(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；
(3)过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距相等．
【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．
【自主解答】 (1)由两点式得＝化简得2x＋3y－5＝0.
(2)由截距式，得＋＝1化简为5x－4y－20＝0.
(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0.
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，
∵直线过P(2，3)
，
∴＝1，∴a＝5，
直线方程为x＋y－5＝0，
所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
规律方法
1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．
2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．
互动探究
将本例(1)中的A改(－2，m)，求直线方程．
【解】 当m＝－1时直线方程为y＝－1，
当m≠－1时，
由两点式得＝，
∴y＝x＋.
类型2
直线方程的一般式
例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式．
【自主解答】 (1)由题意可得
由①得：m≠－1且m≠3，
由②得：m＝3或m＝－.
∴m＝－.
(2)由题意得
由③得：m≠－1且m≠，
由④得：m＝－1或m＝－2.∴m＝－2.
规律方法
1．本题的易错点是(1)中漏掉m2－2m－3≠0，(2)中漏掉2m2＋m－1≠0.
2．把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．
变式训练
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为2，且经过点A(1，－1)．
(2)斜率为，在y轴上的截距为1.
【解】 (1)y－(－1)＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
(2)y＝x＋1，即x－2y＋2＝0.
类型3
直线方程的应用
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(，)，说明直线l恒过第一象限．对于求a的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．
【自主解答】 (1)将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴l的斜率为a，且过定点A(，)，而点A(，)在第一象限，
故l过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝＝3，
∵l不经过第二象限，∴a≥3.
规律方法
1．直线过定点(，)是解决本题的关键．
2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．
变式训练
若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∴＜m＜1.
【答案】 (，1)
分类讨论思想在直线方程问题中的应用
典例 (12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．
【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等.2分
∴当a＝2时满足条件，此时方程为3x＋y＝0.
当a＝－1时，直线为平行于x轴的直线，在x轴上无截距，不合题意.4分
当a≠－1且a≠2时，由＝a－2，
即a＋1＝1.
∴当a＝0时，直线在x轴、y轴上的截距都为－2，此时方程为x＋y＋2＝0.7分
综上所述，当a＝2时，l在两坐标轴上的截距相等，方程为3x＋y＝0；当a＝0时，l在两坐标轴上的截距相等，方程为x＋y＋2＝0.8分
(2)将l的方程转化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或10分
∴a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1].12分
【思维启迪】 对直线方程的一般式可以转化其他多种形式，注意含参数的方程要对参数进行讨论并进行转化．
1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．
2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．
3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B≠0时，可化为斜截式，在ABC≠0时，可化为截距式．
1．过两点(2
013，2
014)，(2
013，2
015)的直线方程是( )
A．x＝2
013 B．x＝2
014
C．y＝2
013
D．x＋y＝2
013
【解析】 过这两点的直线与x轴垂直，所以直线方程为x＝2
013.
【答案】 A
2．直线x－y＋5＝0的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
【解析】 直线方程可写为：y＝x＋5，
所以斜率k＝1，∴倾斜角为45°.
【答案】 A
3直线ax＋by－ab＝0(ab≠0)在两坐标轴上截距之和是________．
【解析】 由ax＋by－ab＝0，得＋＝1.故截距之和是a＋b.
【答案】 a＋b
4．已知△ABC的顶点为A(1，－1)，线段BC的中点为D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
【解】 ∵线段BC的中点为D(3，)，A(1，－1)．
由两点式得直线AD的方程为＝，
整理得5x－4y－9＝0.
即BC边上的中线所在直线的方程为5x－4y－9＝0.
一、选择题
1．直线l不经过第三象限，其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则( )
A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0
【解析】 由题意知k≤0，b>0，∴kb≤0.
【答案】 B
2．直线l过点A(－1，－1)和B(2，5)，且点C(1
005，m)也在直线l上，则m的值为( )
A．2
008
B．2
009
C．2
010
D．2
011
【解析】 ＝，即2x－y＋1＝0，又C(1
005，m)在l上，
∴2×1
005－m＋1＝0，
∴m＝2
011.
【答案】 D
3．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是( )
A．a＝－7，b＝－7
B．a＝－7，b＝－
C．a＝－，b＝7
D．a＝－，b＝－7
【解析】 令x＝0得y＝－7，∴b＝－7，令y＝0得x＝－，∴a＝－.
【答案】 D
4．两条直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k(k＞0，b＞0，k≠b)的图像是下图中的( )
【解析】 由k＞0，b＞0可知，直线l1和l2的倾斜角都是锐角，且在y轴上的截距为正，所以A，B，D错误．
【答案】 C
5．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A．m≠1
B．m≠＝－
C．m≠0
D．m≠1且m≠＝－且m≠0
【解析】 由
得m＝1，依题意只要x、y的系数不同时为0，
即m≠1该方程就表示一条直线．
【答案】 A
二、填空题
6．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
【解析】 直线方程为＝，即y＝2x＋3，
令y＝0得x＝－，∴在x轴上的截距为－.
【答案】 －
7．直线kx－y－3k＋2＝0(k∈R)必过定点________．
【解析】 直线方程可变为y－2＝k(x－3)即过点(3，2)．
【答案】 (3，2)
8．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
【解析】 因为直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，所以B≠0，且－＝5，即A＝－5B，又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝B.
此时直线的方程化为－5Bx＋By＋B＝0.
即：－5x＋y＋＝0，故所求直线的方程为15x－3y－7＝0.
【答案】 15x－3y－7＝0
三、解答题
9．根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般方程．
(1)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(2)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1.
【解】 (1)由两点式得直线方程＝，整理得2x＋y－3＝0.
(2)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.
10．已知直线l1为－＝1，求过点(1，2)并且纵截距与直线l1的纵截距相等的直线l的方程．
【解】 ∵l1的方程可化为＋＝1，
∴直线l1的纵截距为－.
设直线l的方程为＋＝1，即－＝1.
并且直线l过点(1，2)，所以－＝1，解得a＝.
因此直线l的方程为－＝1，即7x－2y－3＝0.
11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.根据下列条件确定m的值．
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
(2)直线l的斜率是－1.
【解】 (1)由题意可得
由①可得m≠－1，m≠3，
由②可得m＝3或m＝－，∴m＝－.
(2)由题意得
∴，∴m＝－2.
备选例题
如图所示，已知△ABC的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程．
【思路探究】 解答本题可利用两点式或截距式写出三角形三条边所在的直线方程，最后将结果化为一般式．
【自主解答】 直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，
由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，
∴AB所在的直线方程为3x＋8y＋15＝0.
直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，
由两点式得＝，即5x＋3y－6＝0，
∴BC所在的直线方程为5x＋3y－6＝0.
直线AC过A(－5，0)，C(0，2)，由截距式得＋＝1，即2x－5y＋10＝0，
∴AC所在的直线方程为2x－5y＋10＝0.
规律方法
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
备选变式
如图所示，直线l过点P(8，6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
【解】 直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，必须且只需直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线l的方程为＋＝1或＋＝1(a≠0)．
当直线l的方程为＋＝1时，因为点P(8，6)在直线l上，所以＋＝1，
解得a＝14，
所以直线l的方程为x＋y－14＝0；
当直线l的方程为＋＝1时，
因为点P(8，6)在直线l上，
所以－＝1，
解得a＝2，所以直线l的方程为x－y－2＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
●三维目标
1．知识与技能
(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．
(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．
2．过程与方法
通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．
3．情感、态度与价值观
学习用数学思维方法解决问题、认识问题，不断提高学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．
难点：直线无斜率时平行或垂直的关系．
教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认识水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学面几何知识，不断观察、分析发现平行、垂直的判定，引导学生从倾斜角与斜率的关系入手思考，从而化解难点，强化重点．
●教学建议
在初中学面几何中两直线平行或垂直的判定、性质定理的基础上，本节内容进一步在直角坐标系中根据直线方程特征来判断两直线平行或垂直关系，教学时引导学生从倾斜角与斜率的关系寻找两直线平行或垂直的条件，让学生讨论、探究，总结出两直线平行或垂直的结论．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，归纳、理解平行或垂直的有关结论 通过例1及变式训练，使学生掌握两直线平行、垂直的判定方法 通过例2及互动探究，使学生掌握利用垂直、平行关系求直线方程 通过例3及变式训练，使学生掌握平行、垂直的综合应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并反馈、矫正
课标解读
1.能根据斜率判定这两条直线平行或垂直(重点)．2．能根据直线平行或垂直，求直线方程(重点).
知识1
两条直线平行、垂直的判定
【问题导思】
1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？
2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？
3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？
【提示】 1.斜率均为1，平行.2.斜率分别为－1，1，垂直.3.垂直．
l1∥l2
l1⊥l2
l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系
α1＝α2
|α2－α1|＝90°
图示
斜率间的关系(若l1、l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)
若l1、l2的斜率都存在，则l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2(如图①所示)，若l1、l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合
若l1、l2的斜率都存在，则l1⊥l2 k1k2＝－1(如图③所示)，若l1、l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2 另一条直线的斜率为0(如图④所示)
类型1
两直线平行、垂直的判定
例1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
【思路探究】 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断．
【自主解答】 (1)将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2，
∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)直线l1、l2的斜率均不存在，且2≠4.
∴l1∥l2.
(4)直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在．
∴l1⊥l2.
规律方法
1．判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况．
2．判断两直线平行、垂直的方法
变式训练
已知点A(2，2＋2)，B(－2，2)和C(0，2－2)可组成三角形，求证：△ABC为直角三角形．
【证明】 ∵kAB＝＝，
kBC＝＝－，
∴kAB·kBC＝－1，
∴AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
类型2
利用两直线平行、垂直求直线方程
例2 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【思路探究】 利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．
【自主解答】 法一 ∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，
∴kl＝－.
(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，
∵kl＝kl1，∴kl1＝－.
∴l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，
∵kl·kl2＝－1，∴(－)·kl2＝－1，∴kl2＝.
∴l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.
法二 (1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14.
∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴4×2－3×2＋λ＝0，
∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0.
规律方法
1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解．
2．直线方程的常用设法
①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；
②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；
③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；
④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.
互动探究
本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程．
【解】 (1)设x－m＝0，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0；
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0，
所以，所求直线方程为y＝2，
即y－2＝0.
类型3
利用两直线的平行、垂直求参数
例3 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1⊥l2.
【思路探究】 由于l2的斜率未必存在，故应从l2的斜率存在与不存在两种情况入手，分a＝0和a≠0讨论．
【自主解答】 将直线l1化成斜截式方程为y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－.
若
即a＝2时，l1∥l2；
若－·(－)＝－1，即＝－1，矛盾，故l1与l2在a≠0时不垂直．
综上，当a＝2时，l1∥l2；
当a＝0时，l1⊥l2.
规律方法
1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
变式训练
已知直线l1过点A(1，1)，B(3，a)，直线l2过点M(2，2)，N(3＋a，4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
【解】 kl1＝kAB＝＝，
(1)若l1∥l2，则3＋a≠2，
且kl2＝kMN＝＝＝，
即a≠－1且a＝5，
∴a＝±.
(2)当a＋3＝2即a＝－1时，l2无斜率，
此时kl1＝－1，所以l1与l2不垂直，
当a＋3≠2即a≠－1时，kl2＝，
由l1⊥l2得，kl1·kl2＝×＝－1.
即a＝0.
忽视斜率不存在的情形致误
典例 已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
【错解】 由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝1，∴m的值为1.
【错因分析】 两直线垂直 k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论．
【防范措施】 遇到垂直、平行的判断时一定要考虑到直线斜率不存在的情况．
【正解】 ∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行．
∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1.而m＝－1时C、D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝1，
综上m的值为1或－1.
1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2 k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．
2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2 k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．
1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是( )
A．x＋y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．ax－ay－a＝0
D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0
【解析】 显然B中直线与x－y－1＝0斜率相等但不重合．
【答案】 B
2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直
D．不确定
【解析】 ∵k1·k2＝－1，
∴l1⊥l2.
【答案】 B
3．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.
【解析】 －＝3，
∴m＝－.
【答案】 －
4．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a.
【解】 由题意得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
∴a＝±1.
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
【解析】 过点(1，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)即x－2y－1＝0.
【答案】 A
2．两直线2x－a2y－3＝0与ax－2y－1＝0互相垂直，则( )
A．a＝0
B．a＝－1
C．a＝0或a＝－1
D．不存在
【解析】 由2·a＋(－a2)·(－2)＝0得a2＋a＝0，
∴a＝0或a＝－1.
【答案】 C
3．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．0 B．－8
C．2 D．10
【解析】 因为直线2x＋y－1＝0的斜率是－2，
所以，若两直线平行，则有－2＝，
解得m＝－8.
【答案】 B
4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点A(1，2)，B(－5，－4)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．平行或重合
【解析】 ∵l1的倾斜角为45°，∴k1＝tan
45°＝1，
又∵l2过点A(1，2)，B(－5，－4)，
∴k2＝＝＝1，
∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合，故选D.
【答案】 D
5．(2013·合肥高一检测)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
【解析】 ∵kAB＝－，kAC＝，
∴kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·海淀高一检测)若直线l经过点(1，2)且与直线2x＋y－1＝0平行，则直线l的方程为________．
【解析】 由已知得直线l的斜率为－2，则方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0
7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为______．
【解析】 l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，
即2m＋10＝0，∴m＝－5.
【答案】 －5
8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为________．
【解析】 kBC＝＝，
∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋2y－11＝0.
【答案】 3x＋2y－11＝0
三、解答题
9．求经过点A(2，1)且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程．
【解】 设直线l的方程为ax－2y＋m＝0.
∵直线l经过A(2，1)，
∴2a－2＋m＝0，m＝2－2a，
即直线l的方程为ax－2y＋2－2a＝0.
10．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标．
【解】 设M(x，0)
∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，
∴AM⊥BM，∴kAM·kBM＝－1，
即×＝－1，
∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，
∴M(1，0)或M(2，0)．
11．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
【解】 (1)对于l1：y＝－x－，
若l1∥l2，则kl2存在．
∴y＝－x－.
∴解得a＝3.
(2)若l1⊥l2，则kl2也存在．
∴y＝－x－.
∴－×(－)＝－1，解得a＝.
备选例题
(1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值．
【思路探究】 解答本题可先讨论斜率是否存在，然后利用两直线平行或垂直的条件求相应参数．
【自主解答】 (1)法一 当m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝，两直线不平行；
当m＋1≠0，即m≠－1时，两直线方程化为斜截式为l1：y＝－x－，l2：y＝－x＋.
由l1∥l2知两直线斜率相等，截距不相等，
所以
由①得m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，经验证均适合②式，故m的值为2或－3.
法二 l1中A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，
l2中A2＝m，B2＝3，C2＝－2，
若l1∥l2，则有或，
即或，
解得或，
∴m的值为2或－3.
(2)法一 当a＝1时，
l1：x＝3，l2：y＝，∴l1⊥l2；
当a＝－时，
l1：y＝x＋，l2：x＝－，
∴l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠－时，k1＝，k2＝，
由于l1⊥l2，则×＝－1，
解得a＝－3.
综上可知，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.
法二 l1中，A1＝a，B1＝1－a，
l2中，A2＝a－1，B2＝2a＋3.
若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0，
即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3，∴a的值为－3或1.
规律方法
1．由l1∥l2，利用k1和k2求参数的值时，应首先考虑斜率是否存在，当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．
2．由l1⊥l2利用k1k2＝－1时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0.
备选变式
已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O为坐标原点)；
(2)∠MPN是直角．
【解】 设P(x，0)，
(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴MO∥PN，
∴kOM＝kNP，
又kOM＝＝1，kNP＝＝.
∴＝1，解得x＝7，即P(7，0)．
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴kMP·kNP＝－1，∵kMP＝，kNP＝，
∴×＝－1，解得x＝1或x＝6.
∴P(1，0)或(6，0)．
●三维目标
1．知识与技能
(1)学会用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
(2)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．
2．过程与方法
通过用解方程组的方法求两直线交点，使学生掌握用代数方法解决与直线有关的问题．
3．情感、态度与价值观
培养解析几何意识，实现平面几何问题向代数方法的转变．
●重点难点
重点：用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
难点：方程组的解和两直线交点坐标的对应关系，可通过如下表格理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系：
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
点A的坐标是方程组的解
●教学建议
教学时对方程组可结合例题给出下面结论：(1)若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标．
(2)若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行，这样对学生而言适当降低了要求，更加实效．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，使学生了解求两相交直线的交点坐标的理论依据 通过例1及变式训练，使学生掌握求两直线交点坐标的具体方法 通过例2及互动探究，使学生掌握由两直线交点求直线方程的两种基本方法 通过例3及变式训练，使学生掌握直线系方程过定点的求解方法 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点)．2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系(难点).
知识1
两直线的交点
【问题导思】
若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？
【提示】
两条直线相交与方程组解的关系
已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；
l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，
则.
(2)若两直线方程组成的方程组
有唯一解，则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0)．因此，求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.
类型1
求两直线交点坐标
例1 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；
(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；
(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
【思路探究】 首先判断是否相交，若相交解方程组即可求出交点坐标．
【自主解答】 (1)解方程组得
所以交点坐标为(2，1)，
所以l1与l2相交．
(2)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
规律方法
1．本题通过方程组解的个数的情况来说明两直线的位置关系，但不能明确垂直关系．
2．一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．
变式训练
直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为________．
【解析】 由解得
故两直线的交点坐标为(－4，3)．
【答案】 (－4，3)
类型2
由交点求直线方程
例2 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
【思路探究】 求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解．
【自主解答】 法一 由方程组
得
∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝3，
∴根据点斜式有y－(－)＝3[x－(－)]．
即所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
法二 ∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，
∴＝≠，
解得λ＝.
从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
规律方法
1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．
2．经过两直线交点的直线系方程
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.
互动探究
将本例中的条件改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．”
【解】 法一 解方程组得
即交点P(－5，2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，
∴所求直线的斜率是.
故所求直线的方程是y－2＝(x＋5)，即3x－2y＋19＝0.
法二 设所求直线方程是3x－2y＋m＝0.
解方程组，得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19.故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法三 设所求直线的方程为(2x＋y＋8)＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0(
)，∵所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，∴－＝，解得λ＝－，把λ＝－代入(
)式得所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
类型3
直线过定点问题
例3 求证：无论k取何值时，直线l：
(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
【思路探究】 本题主要考查过两直线交点的直线系方程的应用，关键是把方程形式整理为直线系方程形式．
【自主解答】 法一 令k＝1，得到直线l1：x＝1，
令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0，
由
得l1与l2交点M(1，－1)，
把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，
∴无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1)．
法二 由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1)，
因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)；
当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1)．
综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
法三 方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为
k(x－y－2)＋(x＋y)＝0
由
可得点.
显然使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立
∴无论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
规律方法
1．法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系．
2．处理动直线过定点问题的常用的方法：(1)将直线方程化为点斜式；(2)化为过两条直线的交点的直线系方程；(3)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；(4)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立．
变式训练
求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
【证明】 法一 取m＝1，直线为y＝－4；
再取m＝，直线为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得
(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.
故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二 把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数m都成立，
则必有解得
∴m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4).
直线系方程的应用
典例 (12分)求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
【思路点拨】 可把l1，l2交点的方程设为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.
【规范解答】 ∵l2不过原点2分
∴可设直线l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)6分
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝08分
将原点(0，0)代入上式解得λ＝1，10分
∴l的方程为5x＋5y＝0，
即x＋y＝0.12分
【思维启迪】 求过两已知直线交点的直线方程可采用设直线系方程的方法解决：很方便、实用．
利用交点解决问题，一般有两种思路：一是解出交点坐标，应用交点坐标；一是利用直线系，过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程可表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(但它不表示直线l2)；反之动直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0经过的定点就是l1与l2的交点，即方程组的解．
1．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是( )
A．y＝－x＋5 B．3x＋2y＝0
C.＋＝1
D.＋＝1
【解析】 kl＝－，又C所对应直线的斜率k＝－，∴kl≠k，从而两直线相交．
【答案】 C
2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－2，－1)
B．(－1，－2)
C．(1，2)
D．(2，1)
【解析】 由解得
【答案】 B
3．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．
【解析】 ∵直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)．
又直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)即2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0
4．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，求直线l的方程．
【解】 由方程组
得两直线的交点为(－1，2)，
其直线斜率为k＝＝－，
直线方程为y＋1＝－(x－1)，
即直线l的方程为：3x＋2y－1＝0.
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定
【解析】 ∵k1＝，k2＝－＜0，∴k1≠k2的两直线相交．
【答案】 B
2．直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：4x－3y－＝0的交点坐标为( )
A．(2，3)
B．
(，3)
C．(3，)
D．(，3)
【解析】 由得本题也可代入选项验证．
【答案】 B
3．两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2
B．a＜－2
C．a＞2
D．a＜－2或a＞2
【解析】 联立方程，得
解得由交点在第一象限，得解得a＞2.
【答案】 C
4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝( )
A．－4
B．20
C．0
D．24
【解析】 由两直线垂直得－×＝－1，∴a＝10，
将垂足代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，
再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，
∴a＋b＋c＝－4.
【答案】 A
5．已知点P(－1，0)，Q(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[－，]
D．[0，2]
【解析】 点P，Q所在直线的方程为y＝0，由得交点(，0)，由－1≤≤1，得－2≤b≤2.
【答案】 A
二、填空题
6．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
【解析】 由，得.
将(4，－2)代入ax＋2y＋8＝0，得4a＋2×(－2)＋8＝0
∴a＝－1.
【答案】 －1
7．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．
【解析】 直线y＝－x＋1交x轴于点(4，0)．
∵两条直线的交点在x轴上，
∴直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)．
∴0＝4k＋3k－2.∴k＝.
【答案】
8．若三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝________.
【解析】 因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－＝，解得a＝－1；当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－＝－，解得a＝.
【答案】 －1或
三、解答题
9．判断直线l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标．
【解】 ∵k1＝2，k2＝－，∴k1≠k2，∴l1与l2相交，
由得
∴l1与l2的交点坐标为(3，－1)．
10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．
【解】 ∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，
∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，
把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0，
∴m＝－1，
即直线AB方程为5x－4y－1＝0
由
得即B(1，1)．
同理可得C(6，0)，
∴kBC＝＝－.
∴直线BC的方程为y＝－(x－6)
即x＋5y－6＝0.
11．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
【解】 (1)由
解得
∴点P的坐标是(－2，2)．
又所求直线l与x－2y－1＝0垂直，
可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.
∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
S＝×1×2＝1.
备选例题
求直线m：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线n的方程．
【思路探究】 可转化为点的对称问题．
【自主解答】 由得交点E(3，－2)，E也在直线n上，在直线m上取A(2，0)，
设A关于l对称的点为B(x0，y0)，则
得B(，－)．
由两点式得直线n的方程为2x＋11y＋16＝0.
规律方法
1．线是点构成的集合．直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，
则l关于原点的对称直线方程是Ax＋By－C＝0；
l关于x轴的对称直线方程是Ax－By＋C＝0；
l关于y轴的对称直线方程是－Ax＋By＋C＝0；
l关于y＝x的对称直线方程是Bx＋Ay＋C＝0；
l关于y＝－x的对称直线方程是Bx＋Ay－C＝0.
备选变式
光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
【解】 设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
则
解之，得A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，
即4x－5y＋1＝0.
解方程组
得反射点P(－，－)．
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·.
即5x－4y＋2＝0.
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求点点距、点线距、两平行线距离．
(2)会根据图形建立适当的平面直角坐标系，并用解析法解决几何问题．
2.过程与方法
(1)通过公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、教学表达等基本数学思维能力．
(2)在推导过程中，渗透数形结合、转化、化归等数学思想以及特殊与一般的方法．
3．情感、态度与价值观
引导学生体验在探究问题的过程中受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
●重点难点
重点：两点间的距离公式及点到直线的距离公式．
难点：公式的推导．
●教学建议
点到直线的距离的教学情境设计
(1)教师帮助学生回忆学习过的两点间距离公式
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则|P1P2|＝把其中一个元素换成直线，提出新的问题，即已知点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，如何用x0，y0，A，B，C表示点P到直线l的距离．
(2)数形结合，分析任务，理清思路，画出框图．
学生已经有点到直线的距离的概念，即由点P0画直线l的垂线，垂足是Q，只要求两点P0与Q之间的距离．
这里体现了“化归”数学思想方法，把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 通过引导学生回答问题，进一步理解两点距离公式、点到直线距离公式 通过例1及变式训练，使学生掌握两点间距离公式的应用 通过例2及互动探究，使学生掌握点到直线距离公式的应用 通过例3及变式训练，使学生掌握用解析法证明几何问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用(重点)．2．能准确求出两平行直线间的距离．3．会用解析法证明几何问题(难点).
知识1
两点间的距离公式
【问题导思】
(1)若两点A(－5，1)，B(6，1)，它们的距离是多少呢？
(2)
若A(x1，y1)，C(x2，y1)，B(x2，y2)，能否求出|AC|，|BC|，|AB|？
【提示】 (1)|AB|＝|6－(－5)|＝11.
(2)能，|AC|＝|x2－x1||BC|＝|y2－y1|由勾股定理得|AB|＝
＝.
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式，|AB|＝.
知识2
点到直线的距离公式
【问题导思】
(1)点(x0，y0)到x轴，y轴的距离怎样用坐标表示？
(2)点(x0，y0)直线x＝a，y＝b的距离是多少？
(3)如何求点到直线的距离呢？
【提示】 (1)到x轴距离|y0|，到y轴距离是|x0|.
(2)|x0－a|，|y0－b|.
(3)转化为点点距，即过点作直线的垂线，求点与垂足的距离即可．
已知点P(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，则点P到直线l的距离公式是d＝.
类型1
两点间的距离公式
例1 已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，试求D点坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．
【思路探究】 根据两腰相等利用两点间的距离公式解决．
【自主解答】 设D点的坐标为(x，y)，若|AB|＝|CD|且AD∥BC，
则
解得或
当x＝4，y＝3时，kAB＝kCD，应舍去．∴D(2，3)．
若|BC|＝|AD|且AB∥CD，
则
解得或
当x＝4，y＝3时，kBC＝kAD，应舍去．∴D(，)．
故D点的坐标为(2，3)或(，)．
规律方法
1．本题通过一组对边相等，另一组对边平行来求解，很容易产生增解(x＝4，y＝3时，四边形ABCD为平行四边形)，也很容易遗漏其中的情形(|BC|＝|AD|，AB∥CD)．处理时，可以画出草图予以解决．
2．使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
变式训练
已知A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【解】 设所求的点为P(x，0)于是有|PA|＝＝，
|PB|＝＝，
由|PA|＝|PB|得x＝1，所以所求点为P(1，0)，且|PA|＝＝2.
类型2
点到直线的距离公式
例2 求点P(3，－2)到下列直线的距离．
(1)y＝x＋；(2)y＝1；(3)y轴．
【思路探究】 (1)先将直线化成一般式，再代入公式求值．(2)、(3)可考虑点P坐标的几何意义求解．
【自主解答】 (1)把方程y＝x＋写成一般式3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得
d＝＝.
(2)结合图形可知d＝|－2－1|＝3.
(3)结合图形可知d＝|3|＝3.
规律方法
1．在求本例中(2)、(3)时，我们仍可以使用点到直线的距离公式．
2．求点到直线的距离时首先要将直线方程化为一般式．对于点P(x0，y0)到垂直于x轴的直线x＝a或垂直于y轴的直线y＝b的距离，可直接用公式d＝|x0－a|及d＝|y0－b|求出．
互动探究
将本例中(1)中将直线方程改为x＋2y＋6＝0.
【解】 由点到直线距离公式得d＝＝.
类型3
解析法证明几何问题
例3 用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
【思路探究】 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得．
【自主解答】 分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，
则D(0，b)，又A(0，0)．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2.
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
规律方法
1．解析法证明几何问题的步骤：
(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；
(2)进行有关的代数运算；
(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
变式训练
已知AO是△ABC边BC的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
【证明】 以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(x，y)，
由两点间距离公式得
|AB|2＝(x＋a)2＋y2，
|AC|2＝(x－a)2＋y2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2，
|AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2，
|AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
忽视斜率不存在的情况致误
典例 求经过点A(1，2)且到原点的距离等于1的直线方程．
【错解】 ∵所求直线过点A(1，2)，
∴可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
∵原点到此直线的距离为1，
∴＝1，解得k＝，
∴所求直线方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
【错因分析】 本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
【防范措施】 遇到有关直线斜率问题，当斜率不确定时，一定要考虑斜率存在与不存在两种情况．
【正解】 ①当直线过点A(1，2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0，0)到直线的距离等于1，所以满足题意．
②当直线过点A(1，2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，
又由原点到此直线距离等于1，
所以＝1，解得k＝，
所以直线方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式可以写成|P1P2|＝.
2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路
几何问题代数问题
↑
↓
几何结论代数结论
1．两点A(－1，1)，B(2，3)之间的距离为( )
A. B．13 C. D．2
【解析】 |AB|＝＝.
【答案】 A
2．点(1，1)到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．2
B.
C.
D.
【解析】 d＝＝＝.
【答案】 B
3．若点P(1，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为__________．
【解析】 由＝1，得a＝或.
【答案】 或
4．求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程．
【解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
由
＝，
解得k＝0，或k＝－.
故直线的方程为y＝1，或x＋2y＝0.
当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线l.
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A. B. C. D.
【解析】 d＝＝＝.
【答案】 D
2．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是( )
A．1
B．－3
C．1或
D．－3或
【解析】 由题意得＝4，
解得k＝－3或.
【答案】 D
3．设P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A.
B.
C.
D．2
【解析】 |OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0上的距离，d＝＝2.
【答案】 D
4．已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是( )
A．(－，)
B．(，)
C．(，－)
D．(－，－)
【解析】 当AB与x＋y＝0垂直时，AB最短，
∴AB的方程为y＝x＋1.
由，得交点坐标为B(－，)．
【答案】 A
5．过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A．4x＋y－6＝0
B．x＋4y－6＝0
C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0
D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
【解析】 ∵kAB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，
∴过点P(1，2)与AB平行的直线方程为
y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．
过点P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－(x－1)，
即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
【解析】 直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，∴|PQ|min＝3.
【答案】 3
7．已知两点A(0，m)，B(8，－5)之间的距离是17，则实数m的值为________．
【解析】 由题意得＝17，
解得m＝10或－20.
【答案】 10或－20
8．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
【解析】 由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m<0，∴m＝－4.
【答案】 －4
三、解答题
9．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
【解】 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，得k＝－，即l为5x＋12y－26＝0.
10．已知点A(0，0)，B(1，1)，C(2，－1)，求△ABC的面积．
【解】 直线AB的方程为x－y＝0，
点C到AB的距离d＝＝，
|AB|＝＝，
∴S△ABC＝|AB|d＝××＝.
11．已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF交于点G，求证：AG＝AD.
【证明】 建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2)
.
直线DE的方程为y＝2x－2，
直线CF的方程为y＝－x＋1，
由得即点G(，)．
从而|AG|＝＝2＝|AD|，
故AG＝AD.
备选例题
已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【思路探究】 (1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．
【自主解答】 (1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知
，解得x＝2，y＝6，
∴A′点的坐标为
(2，6)．
(2)法一 在直线l′上任取一点P′(x，y)，其关于点A(－4，4)的对称点(－8－x，8－y)必在直线l上，
∴即3(－8－x)＋(8－y)－2＝0，即3x＋y＋18＝0，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
法二 由题意可知l′∥l，设l′的方程为3x＋y＋c＝0，
由题意可知＝
解得c＝18或c＝－2(舍)，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
规律方法
1．中心对称间点可转化为点点对称问题解决．
2．处理轴对称问题的关键是：一是转化为点关于线的对称问题；二是求对称点坐标时，注意利用中点在直线上及垂直关系建立方程组．
备选变式
直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0
D．x＋2y－1＝0
【解析】 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
直线与直线的方程
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．过程与方法
通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．
3．情感、态度与价值观
通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．
●重点难点
重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．
难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．
直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan
α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．
●教学建议
教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角 通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法 通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法 通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正
课标解读
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).
知识1
直线的倾斜角和斜率
【问题导思】
1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？
2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？
3．直线l1，l2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？
【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．
2．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．
(2)范围：0°≤α<180°.
3．直线的斜率
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝
4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系
倾斜角α
直线特点
斜率k的变化
0°
垂直于y轴
k＝0
0°<α<90°
由左向右上升
随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值
α＝90°
垂直于x轴
k不存在
90°<α<180°
由左向右下降
随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为负值
5.过两点的直线斜率的计算公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
类型1
求直线的倾斜角
例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°
【思路探究】 倾斜角的
取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°
【自主解答】 由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；
而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，
l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.
【答案】 D
规律方法
1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．
2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．
变式训练
图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．
图2－1－1
【解】 设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；
图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；
图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.
类型2
求直线的斜率
例2 (1)直线过两点A(1，3)、B(2，7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．
【思路探究】 (1)利用过两点的直线的斜率公式求得．
(2)利用斜率的定义求．
【自主解答】 (1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k＝＝4.
(2)因为直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l′的斜率k′＝tan
135°＝－1.
规律方法
1．熟记斜率公式是解答本题的关键．
2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．
互动探究
将本题中的两点改为(1，1)，(－1，－2)其余不变．
【解】 k＝＝.
类型3
直线的倾斜角、斜率的综合应用
例3 已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(3，1)，且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．
【思路探究】 欲使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率与直线PA，PB的斜率有必然的关系，通过画图可知．
【自主解答】 设直线l的斜率为k，当l与线段AB相交时，kPB≤k≤kPA，
又∵kPA＝＝4，kPB＝＝，
∴≤k≤4，
即直线l的斜率的取值范围为[，4]．
规律方法
1．借助于画图是解答本题的关键．
2．研究直线的倾斜角与斜率间的关系，在求解过程中通常是先依据题意画出草图，然后结合斜率的几何意义，利用数形结合的思想，找出斜率变化的分界点，最后依据斜率与倾斜角的关系得出明确的结论．
变式训练
若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一直线上，则实数k＝________.
【解析】 kAB＝＝3，kBC＝＝k－3，
∵A、B、C共线，∴kAB＝kBC，∴k－3＝3，∴k＝6.
【答案】 6
忽视斜率不存在的情况致误
典例 该直线l过点A(7，12)，B(m，13)，求直线l的斜率及倾斜角α的取值范围．
【错解】 k＝＝.
当m＞7，即＞0时，k＞0，0°＜α＜90°；
当m＜7，即＜0时，k＜0，90°＜α＜180°.
【错因分析】 本题做错的原因是没有搞清斜率k与倾斜角α之间的关系．任意直线的倾斜角都存在，但当α＝90°时，直线的斜率是不存在的；反之，当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角是90°.错解忽视了m＝7时，斜率不存在的情况．
【防范措施】 利用斜率与倾斜角的关系解题时，若倾斜角的范围不确定，一定要考虑倾斜角α＝90°和α≠90°两种情况．
【正解】 当m＝7时，直线与x轴垂直，斜率不存在．
倾斜角α＝90°.
当m≠7时，k＝＝.
当m＞7时，即＞0时，k＞0，0°＜α＜90°.
当m＜7，即＜0时，k＜0，90°＜α＜180°.
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立．
3．斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用．
4．利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.
1．已知直线l的斜率不存在，则直线l的倾斜角为( )
A．45° B．180°
C．0°
D．90°
【解析】 倾斜角为90°的直线斜率不存在．
【答案】 D
2．过M(－2，m)，N(m，4)的直线的倾斜角为90°，则m的值为( )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
【解析】 由倾斜角为90°得－2＝m，
即m＝－2.
【答案】 A
3．过两点(2，)和(6，－)的直线的斜率为________．
【解析】 k＝＝－.
【答案】 －
4．已知A(x，0)和B(2，)，且直线AB的倾斜角为60°，求直线AB的斜率和x的值．
【解】 ∵AB的倾斜角为60°，
∴kAB＝tan
60°＝，
∴＝，∴x＝1.
一、选择题
1．若直线l的倾斜角为120°，则这条直线的斜率为( )
A. B．－ C. D．－
【解析】 k＝tan
120°＝－.
【答案】 B
2．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则a等于( )
A．－8
B．10
C．2
D．4
【解析】 ∵k＝＝－，∴a＝10.
【答案】 B
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)三点在同一条直线上，则m的值为( )
A．－2
B．2
C．－
D.
【解析】 ∵A，B，C三点在同一条直线上，
∴kAB＝kAC，
即＝，
解得m＝.
【答案】 D
4．直线l过原点，且不过第三象限，则l的倾斜角α的取值集合是( )
A．{α|0°≤α<180°}
B．{α|90°≤α<180°}
C．{α|90°≤α<180°或α＝0°}
D．{α|90°≤α≤135°}
【解析】 不过第三象限，说明倾斜角不能取0°＜α＜90°，即可取0°或90°≤α＜180°.
【答案】 C
5．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )
A.
B.
C．－
D．－
【解析】 设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.
【答案】 C
二、填空题
6．直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点，(m∈R)．那么直线l的倾斜角的取值范围为________．
【解析】 k＝＝1－m2≤1，∴倾斜角0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.
【答案】 0°≤α≤45°或90°＜α＜180°
7．已知三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，)在同一直线上，则k＝________.
【解析】 kAB＝＝3，kBC＝＝－3.
∵A、B、C在同一直线上，
∴kAB＝kBC，即3＝－3，解得k＝12.
【答案】 12
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
【解析】 ∵A、B、C三点共线，∴＝，
∴4＝(a－2)(b－2)，
∴ab－2(a＋b)＝0，∵ab≠0，
∴1－2(＋)＝0，∴＋＝.
【答案】
三、解答题
9．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
(1)A(0，－1)，B(2，0)；
(2)P(5，－4)，Q(2，3)；
(3)M(3，－4)，N(3，－2)．
【解】 (1)kAB＝＝，
∵kAB＞0，∴直线AB的倾斜角是锐角．
(2)kPQ＝＝－.
∵kPQ＜0，∴直线PQ的倾斜角是钝角．
(3)∵xM＝xN＝3.
∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°.
10．已知直线l的倾斜角为α，且tan
α＝±1，点P1(2，y1)、P2(x2，－3)、P3(4，2)均在直线l上，求y1、x2的值．
【解】 当tan
α＝1时，＝1，
∴x2＝－1，＝1，∴y1＝0.
当tan
α＝－1时，＝－1，
∴x2＝9，
＝－1，∴y1＝4.
11．已知点P(x，y)在以点A(1，1)，B(3，1)，C(－1，6)为顶点的三角形内部及边界上运动，求kOP(O为坐标原点)的取值范围．
【解】 如图所示，设直线OB、OC的倾斜角分别为α1、α2，斜率分别为k1、k2，则直线OP的倾斜角α满足α1≤α≤α2.
又∵α2＞90°，
∴直线OP的斜率kOP满足kOP≥k1或kOP≤k2.
又k1＝，k2＝－6，
∴kOP≥或kOP≤－6.
备选例题
已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
【思路探究】 (1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2)可采用数形结合法来解．
【自主解答】 (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.
∵tan
0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.
tan
60°＝，∴BC的倾斜角为60°.
tan
30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，
所以k的取值范围[，]．
规律方法
求解斜率的取值范围是要抓住以下几点：
(1)倾斜角的取值范围；(2)倾斜角和斜率间的关系；(3)数形结合．
备选变式
求函数y＝(x≥0)的值域．
【解】 y＝，可看成点A(－2，1)与函数y＝3x上动点M(x，3x)连线的斜率(如图所示)．由函数y＝3x(x≥0)的图像易知kAM≥－，
又因为＜＝3.
所以已知函数的值域为[－，3)．
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握直线方程的点斜式．
(2)了解斜截式与一次函数的关系．
2．过程与方法
通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．
3．情感、态度与价值观
培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．
●重点难点
重点：直线方程的点斜式．
难点：直线方程的应用．
给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．
●教学建议
本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式 通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程 通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程 通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用 归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识 完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).
知识1
直线方程的点斜式
【问题导思】
若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
【提示】 y－y0＝k(x－x0)．
1．直线的方程
如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：
(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；
(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．
2．直线方程的点斜式和斜截式
类型1
利用点斜式求直线方程
例1 根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．
【思路探究】 解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．
【自主解答】 (1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．
(2)k＝tan
45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．
(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．
(4)k＝＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.图形如图(4)所示．
规律方法
1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．
2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x0，y0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x＝x0)．
互动探究
本例第(4)问中“C(2，8)”改为“C(m，8)”，试写出满足条件的直线方程．
【解】 当m＝－3时，斜率不存在，直线方程为x＝－3；
当m≠－3时，k＝＝，
∴y－(－2)＝[x－(－3)]，
即y＝x＋.
类型2
利用斜截式求直线方程
例2 (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．
(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．
【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．
【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，
∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.
(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0，化为斜截式为y＝－2x＋1，
∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0，1)．
规律方法
1．已知直线斜率或直线与y轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．
2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．
变式训练
写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，并求m为何值时，直线过点(1，1)？
【解】 由题意知，直线方程为y＝2x＋m.
把点(1，1)代入得1＝2×1＋m，
∴m＝－1.
类型3
点斜式、斜截式方程的综合应用
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，求证：不论a取何值，直线l总经过第一象限．
【思路探究】 可以把直线l的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．
【自主解答】 法一 将直线方程变形为y－＝a(x－)，它表示经过点A(，)，斜率为a的直线．
∵点A(，)在第一象限．
∴直线l必过第一象限．
法二 将直线方程变形为y＝ax＋，
当a＞0时，不论a取何值，直线一定经过第一象限；
当a＝0时，y＝，直线显然过第一象限；
当a＜0时，＞0，直线一定经过第一象限．
综上，直线5ax－5y－a＋3＝0一定过第一象限．
规律方法
1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．
2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．
变式训练
不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点( )
A．(1，) B．(－2，1)
C．(2，－1)
D．(－1，－)
【解析】 ∵直线方程可化为y－1＝m[x－(－2)]，
∴直线恒过定点(－2，1)．
【答案】 B
忽视对字母的分类讨论致误
典例 求过两点(m，2)，(3，4)的直线方程．
【错解】 ∵k＝＝，
∴直线方程为y－4＝(x－3)．
【错因分析】 未考虑m与3的关系导致错误的出现．
【防范措施】 当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．
【正解】 当m＝3时，直线斜率不存在，
∴直线方程为x＝3，
当m≠3时，k＝，
∴直线方程为y－4＝(x－3)．
1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．
2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．
1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
【解析】 由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．
【答案】 D
2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于( )
A．2，2
B．－3，－3
C．－3，2
D．2，－3
【解析】 由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.
【答案】 D
3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．
【解析】 ∵倾斜角为150°，
∴斜率k＝tan
150°＝－，又知直线在y轴上截
距为6，∴y＝－x＋6.
【答案】 y＝－x＋6
4．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．
【解】 ∵直线过(－1，0)，k＝2，
由点斜式得y＝2[x－(－1)]
∴y＝2x＋2.
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
【解析】 k＝tan
150°＝－，∴y－(－2)＝－(x－4)．
【答案】 B
2．方程y＝kx＋表示的直线可能是( )
【解析】 斜率为k，且k≠0，在y轴上的截距为.
当k>0时，>0；当k<0时，<0，从而选B.
【答案】 B
3．直线l过点(－1，－1)，(2，5)两点，点(1
005，b)在l上，则b的值为( )
A．2
009 B．2
010
C．2
011
D．2
012
【解析】 ∵直线斜率k＝＝2，
∴直线点斜式方程为y－5＝2(x－2)，
∴y＝2x＋1，令x＝1
005，∴b＝2
011.
【答案】 C
4．方程y＝k(x＋4)表示( )
A．过点(－4，0)的所有直线
B．过点(4，0)的一切直线
C．过点(－4，0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(－4，0)且除去x轴的一切直线
【解析】 显然y＝k(x＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4，0)且斜率不存在即垂直于x轴的直线．
【答案】 C
5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．－2或－1
D．－2或1
【解析】 当a＝0时，不满足条件，当a≠0时，令x＝0，y＝a＋2，
令y＝0，x＝.
由已知得a＋2＝.
∴(a＋2)(1－)＝0.
∴a＝－2或a＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．直线－x＋y－6＝0的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．
【解析】 y＝x＋2，∴tan
α＝，∴α＝，在y轴上的截轴为2.
【答案】 ，2
7．直线y＝x＋m过点(m，－1)，则其在y轴上的截距是________．
【解析】 y＝x＋m过点(m，－1)，∴－1＝m＋m，即m＝－，从而在y轴上的截距为－.
【答案】 －
8．直线l的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．
【解析】 由已知得直线方程
y＋1＝tan
45°(x－4)，
即y＝x－5.
当x＝0，y＝－5，当y＝0，x＝5.
∴被坐标轴所截得的线段长|AB|＝＝5.
【答案】 5
三、解答题
9．写出下列直线的方程．
(1)斜率是3，在y轴上的截轴是－2.
(2)倾斜角是30°，过点(2，1)．
【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y＝3x－2.
(2)k＝tan
30°＝.
∴直线方程为y－1＝(x－2)，∴y＝x－＋1.
10．直线x－y＋1＝0上一点P(3，m)，把已知直线绕点P逆时针方向旋转15°后得直线l，求直线l的方程．
【解】 把点P(3，m)的坐标代入方程x－y＋1＝0可得3－m＋1＝0，
∴m＝4，即P(3，4)．
又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，
∴k＝1＝tan
45°，
即倾斜角为45°.
如图，易知已知直线绕点P逆时针方向旋转15°，
所得直线的倾斜角为60°，
∴k＝tan
60°＝，
∴所求直线方程为y－4＝(x－3)．
11．经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．
【解】 设直线为y－2＝k(x＋2)，交x轴于点(－2，0)，交y轴于点(0，2k＋2)，
S＝×|＋2|×|2k＋2|＝1，|4＋＋2k|＝1，
得2k2＋3k＋2＝0或2k2＋5k＋2＝0，
解得k＝－或k＝－2，
∴x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求．
备选例题
如图所示，已知△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，点C在直线AB上方．
求：(1)线段AB的方程；
(2)AC所在直线的方程及在y轴上的截距．
【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解．
【自主解答】 (1)由A(1，1)，B(5，1)，得AB∥x轴，
∴kAB＝0，∴线段AB的方程为y＝1(1≤x≤5)．
(2)kAC＝tan
60°＝，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)，
整理得y＝x＋1－，令x＝0得y＝1－，
∴在y轴上的截距为1－.
规律方法
1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．
2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．
备选变式
已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点P(3，－4)；
(2)在y轴上截距为3.
【解】 由直线y＝－x＋5，
得k＝－，
即tan
α＝－，∴α＝150°，
故所求直线l的倾斜角为30°，
斜率k′＝.
(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：
y＋4＝(x－3)，
即y＝x－－4.
(2)∵l在y轴上截距为3，
则由斜截式方程得：
y＝x＋3.
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．
(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．
2．过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．
3．情感、态度与价值观
(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．
●重点难点
重点：直线方程的两点式和一般式．
难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．
两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程＝中的条件x1
≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．
●教学建议
本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式 通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程 通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化 通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).
知识1
直线方程的两点式
【问题导思】
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？
【提示】 kAB＝由点斜式方程得y－y1＝(x－x1)．
1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为＝.
2．截距式：若直线l过A(a，0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为＋＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．
知识2
直线方程的一般式
【问题导思】
以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？
【提示】 能．
直线方程的一般式
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．
类型1
直线方程的两点式和截距式
例1 求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(－2，3)，B(4，－1)；
(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；
(3)过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距相等．
【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．
【自主解答】 (1)由两点式得＝化简得2x＋3y－5＝0.
(2)由截距式，得＋＝1化简为5x－4y－20＝0.
(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0.
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，
∵直线过P(2，3)
，
∴＝1，∴a＝5，
直线方程为x＋y－5＝0，
所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
规律方法
1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．
2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．
互动探究
将本例(1)中的A改(－2，m)，求直线方程．
【解】 当m＝－1时直线方程为y＝－1，
当m≠－1时，
由两点式得＝，
∴y＝x＋.
类型2
直线方程的一般式
例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式．
【自主解答】 (1)由题意可得
由①得：m≠－1且m≠3，
由②得：m＝3或m＝－.
∴m＝－.
(2)由题意得
由③得：m≠－1且m≠，
由④得：m＝－1或m＝－2.∴m＝－2.
规律方法
1．本题的易错点是(1)中漏掉m2－2m－3≠0，(2)中漏掉2m2＋m－1≠0.
2．把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．
变式训练
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为2，且经过点A(1，－1)．
(2)斜率为，在y轴上的截距为1.
【解】 (1)y－(－1)＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
(2)y＝x＋1，即x－2y＋2＝0.
类型3
直线方程的应用
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(，)，说明直线l恒过第一象限．对于求a的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．
【自主解答】 (1)将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴l的斜率为a，且过定点A(，)，而点A(，)在第一象限，
故l过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝＝3，
∵l不经过第二象限，∴a≥3.
规律方法
1．直线过定点(，)是解决本题的关键．
2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．
变式训练
若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∴＜m＜1.
【答案】 (，1)
分类讨论思想在直线方程问题中的应用
典例 (12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．
【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等.2分
∴当a＝2时满足条件，此时方程为3x＋y＝0.
当a＝－1时，直线为平行于x轴的直线，在x轴上无截距，不合题意.4分
当a≠－1且a≠2时，由＝a－2，
即a＋1＝1.
∴当a＝0时，直线在x轴、y轴上的截距都为－2，此时方程为x＋y＋2＝0.7分
综上所述，当a＝2时，l在两坐标轴上的截距相等，方程为3x＋y＝0；当a＝0时，l在两坐标轴上的截距相等，方程为x＋y＋2＝0.8分
(2)将l的方程转化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或10分
∴a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1].12分
【思维启迪】 对直线方程的一般式可以转化其他多种形式，注意含参数的方程要对参数进行讨论并进行转化．
1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．
2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．
3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B≠0时，可化为斜截式，在ABC≠0时，可化为截距式．
1．过两点(2
013，2
014)，(2
013，2
015)的直线方程是( )
A．x＝2
013 B．x＝2
014
C．y＝2
013
D．x＋y＝2
013
【解析】 过这两点的直线与x轴垂直，所以直线方程为x＝2
013.
【答案】 A
2．直线x－y＋5＝0的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
【解析】 直线方程可写为：y＝x＋5，
所以斜率k＝1，∴倾斜角为45°.
【答案】 A
3直线ax＋by－ab＝0(ab≠0)在两坐标轴上截距之和是________．
【解析】 由ax＋by－ab＝0，得＋＝1.故截距之和是a＋b.
【答案】 a＋b
4．已知△ABC的顶点为A(1，－1)，线段BC的中点为D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
【解】 ∵线段BC的中点为D(3，)，A(1，－1)．
由两点式得直线AD的方程为＝，
整理得5x－4y－9＝0.
即BC边上的中线所在直线的方程为5x－4y－9＝0.
一、选择题
1．直线l不经过第三象限，其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则( )
A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0
【解析】 由题意知k≤0，b>0，∴kb≤0.
【答案】 B
2．直线l过点A(－1，－1)和B(2，5)，且点C(1
005，m)也在直线l上，则m的值为( )
A．2
008
B．2
009
C．2
010
D．2
011
【解析】 ＝，即2x－y＋1＝0，又C(1
005，m)在l上，
∴2×1
005－m＋1＝0，
∴m＝2
011.
【答案】 D
3．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是( )
A．a＝－7，b＝－7
B．a＝－7，b＝－
C．a＝－，b＝7
D．a＝－，b＝－7
【解析】 令x＝0得y＝－7，∴b＝－7，令y＝0得x＝－，∴a＝－.
【答案】 D
4．两条直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k(k＞0，b＞0，k≠b)的图像是下图中的( )
【解析】 由k＞0，b＞0可知，直线l1和l2的倾斜角都是锐角，且在y轴上的截距为正，所以A，B，D错误．
【答案】 C
5．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A．m≠1
B．m≠＝－
C．m≠0
D．m≠1且m≠＝－且m≠0
【解析】 由
得m＝1，依题意只要x、y的系数不同时为0，
即m≠1该方程就表示一条直线．
【答案】 A
二、填空题
6．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．
【解析】 直线方程为＝，即y＝2x＋3，
令y＝0得x＝－，∴在x轴上的截距为－.
【答案】 －
7．直线kx－y－3k＋2＝0(k∈R)必过定点________．
【解析】 直线方程可变为y－2＝k(x－3)即过点(3，2)．
【答案】 (3，2)
8．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
【解析】 因为直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，所以B≠0，且－＝5，即A＝－5B，又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝B.
此时直线的方程化为－5Bx＋By＋B＝0.
即：－5x＋y＋＝0，故所求直线的方程为15x－3y－7＝0.
【答案】 15x－3y－7＝0
三、解答题
9．根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般方程．
(1)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(2)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1.
【解】 (1)由两点式得直线方程＝，整理得2x＋y－3＝0.
(2)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.
10．已知直线l1为－＝1，求过点(1，2)并且纵截距与直线l1的纵截距相等的直线l的方程．
【解】 ∵l1的方程可化为＋＝1，
∴直线l1的纵截距为－.
设直线l的方程为＋＝1，即－＝1.
并且直线l过点(1，2)，所以－＝1，解得a＝.
因此直线l的方程为－＝1，即7x－2y－3＝0.
11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.根据下列条件确定m的值．
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
(2)直线l的斜率是－1.
【解】 (1)由题意可得
由①可得m≠－1，m≠3，
由②可得m＝3或m＝－，∴m＝－.
(2)由题意得
∴，∴m＝－2.
备选例题
如图所示，已知△ABC的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程．
【思路探究】 解答本题可利用两点式或截距式写出三角形三条边所在的直线方程，最后将结果化为一般式．
【自主解答】 直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，
由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，
∴AB所在的直线方程为3x＋8y＋15＝0.
直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，
由两点式得＝，即5x＋3y－6＝0，
∴BC所在的直线方程为5x＋3y－6＝0.
直线AC过A(－5，0)，C(0，2)，由截距式得＋＝1，即2x－5y＋10＝0，
∴AC所在的直线方程为2x－5y＋10＝0.
规律方法
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
备选变式
如图所示，直线l过点P(8，6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
【解】 直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，必须且只需直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线l的方程为＋＝1或＋＝1(a≠0)．
当直线l的方程为＋＝1时，因为点P(8，6)在直线l上，所以＋＝1，
解得a＝14，
所以直线l的方程为x＋y－14＝0；
当直线l的方程为＋＝1时，
因为点P(8，6)在直线l上，
所以－＝1，
解得a＝2，所以直线l的方程为x－y－2＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
●三维目标
1．知识与技能
(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．
(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．
2．过程与方法
通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．
3．情感、态度与价值观
学习用数学思维方法解决问题、认识问题，不断提高学习数学的兴趣．
●重点难点
重点：两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．
难点：直线无斜率时平行或垂直的关系．
教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认识水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学面几何知识，不断观察、分析发现平行、垂直的判定，引导学生从倾斜角与斜率的关系入手思考，从而化解难点，强化重点．
●教学建议
在初中学面几何中两直线平行或垂直的判定、性质定理的基础上，本节内容进一步在直角坐标系中根据直线方程特征来判断两直线平行或垂直关系，教学时引导学生从倾斜角与斜率的关系寻找两直线平行或垂直的条件，让学生讨论、探究，总结出两直线平行或垂直的结论．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，归纳、理解平行或垂直的有关结论 通过例1及变式训练，使学生掌握两直线平行、垂直的判定方法 通过例2及互动探究，使学生掌握利用垂直、平行关系求直线方程 通过例3及变式训练，使学生掌握平行、垂直的综合应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并反馈、矫正
课标解读
1.能根据斜率判定这两条直线平行或垂直(重点)．2．能根据直线平行或垂直，求直线方程(重点).
知识1
两条直线平行、垂直的判定
【问题导思】
1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？
2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？
3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？
【提示】 1.斜率均为1，平行.2.斜率分别为－1，1，垂直.3.垂直．
l1∥l2
l1⊥l2
l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系
α1＝α2
|α2－α1|＝90°
图示
斜率间的关系(若l1、l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2)
若l1、l2的斜率都存在，则l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2(如图①所示)，若l1、l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合
若l1、l2的斜率都存在，则l1⊥l2 k1k2＝－1(如图③所示)，若l1、l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2 另一条直线的斜率为0(如图④所示)
类型1
两直线平行、垂直的判定
例1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
【思路探究】 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断．
【自主解答】 (1)将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2，
∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)直线l1、l2的斜率均不存在，且2≠4.
∴l1∥l2.
(4)直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在．
∴l1⊥l2.
规律方法
1．判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况．
2．判断两直线平行、垂直的方法
变式训练
已知点A(2，2＋2)，B(－2，2)和C(0，2－2)可组成三角形，求证：△ABC为直角三角形．
【证明】 ∵kAB＝＝，
kBC＝＝－，
∴kAB·kBC＝－1，
∴AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
类型2
利用两直线平行、垂直求直线方程
例2 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【思路探究】 利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．
【自主解答】 法一 ∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，
∴kl＝－.
(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，
∵kl＝kl1，∴kl1＝－.
∴l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，
∵kl·kl2＝－1，∴(－)·kl2＝－1，∴kl2＝.
∴l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.
法二 (1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14.
∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴4×2－3×2＋λ＝0，
∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0.
规律方法
1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解．
2．直线方程的常用设法
①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；
②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；
③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；
④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.
互动探究
本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程．
【解】 (1)设x－m＝0，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0；
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0，
所以，所求直线方程为y＝2，
即y－2＝0.
类型3
利用两直线的平行、垂直求参数
例3 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1⊥l2.
【思路探究】 由于l2的斜率未必存在，故应从l2的斜率存在与不存在两种情况入手，分a＝0和a≠0讨论．
【自主解答】 将直线l1化成斜截式方程为y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－.
若
即a＝2时，l1∥l2；
若－·(－)＝－1，即＝－1，矛盾，故l1与l2在a≠0时不垂直．
综上，当a＝2时，l1∥l2；
当a＝0时，l1⊥l2.
规律方法
1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
变式训练
已知直线l1过点A(1，1)，B(3，a)，直线l2过点M(2，2)，N(3＋a，4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
【解】 kl1＝kAB＝＝，
(1)若l1∥l2，则3＋a≠2，
且kl2＝kMN＝＝＝，
即a≠－1且a＝5，
∴a＝±.
(2)当a＋3＝2即a＝－1时，l2无斜率，
此时kl1＝－1，所以l1与l2不垂直，
当a＋3≠2即a≠－1时，kl2＝，
由l1⊥l2得，kl1·kl2＝×＝－1.
即a＝0.
忽视斜率不存在的情形致误
典例 已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
【错解】 由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝1，∴m的值为1.
【错因分析】 两直线垂直 k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论．
【防范措施】 遇到垂直、平行的判断时一定要考虑到直线斜率不存在的情况．
【正解】 ∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行．
∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1.而m＝－1时C、D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝1，
综上m的值为1或－1.
1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2 k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．
2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2 k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．
1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是( )
A．x＋y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．ax－ay－a＝0
D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0
【解析】 显然B中直线与x－y－1＝0斜率相等但不重合．
【答案】 B
2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直
D．不确定
【解析】 ∵k1·k2＝－1，
∴l1⊥l2.
【答案】 B
3．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.
【解析】 －＝3，
∴m＝－.
【答案】 －
4．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a.
【解】 由题意得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
∴a＝±1.
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
【解析】 过点(1，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)即x－2y－1＝0.
【答案】 A
2．两直线2x－a2y－3＝0与ax－2y－1＝0互相垂直，则( )
A．a＝0
B．a＝－1
C．a＝0或a＝－1
D．不存在
【解析】 由2·a＋(－a2)·(－2)＝0得a2＋a＝0，
∴a＝0或a＝－1.
【答案】 C
3．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．0 B．－8
C．2 D．10
【解析】 因为直线2x＋y－1＝0的斜率是－2，
所以，若两直线平行，则有－2＝，
解得m＝－8.
【答案】 B
4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点A(1，2)，B(－5，－4)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．平行或重合
【解析】 ∵l1的倾斜角为45°，∴k1＝tan
45°＝1，
又∵l2过点A(1，2)，B(－5，－4)，
∴k2＝＝＝1，
∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合，故选D.
【答案】 D
5．(2013·合肥高一检测)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
【解析】 ∵kAB＝－，kAC＝，
∴kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·海淀高一检测)若直线l经过点(1，2)且与直线2x＋y－1＝0平行，则直线l的方程为________．
【解析】 由已知得直线l的斜率为－2，则方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0
7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为______．
【解析】 l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，
即2m＋10＝0，∴m＝－5.
【答案】 －5
8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为________．
【解析】 kBC＝＝，
∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋2y－11＝0.
【答案】 3x＋2y－11＝0
三、解答题
9．求经过点A(2，1)且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程．
【解】 设直线l的方程为ax－2y＋m＝0.
∵直线l经过A(2，1)，
∴2a－2＋m＝0，m＝2－2a，
即直线l的方程为ax－2y＋2－2a＝0.
10．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标．
【解】 设M(x，0)
∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，
∴AM⊥BM，∴kAM·kBM＝－1，
即×＝－1，
∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，
∴M(1，0)或M(2，0)．
11．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
【解】 (1)对于l1：y＝－x－，
若l1∥l2，则kl2存在．
∴y＝－x－.
∴解得a＝3.
(2)若l1⊥l2，则kl2也存在．
∴y＝－x－.
∴－×(－)＝－1，解得a＝.
备选例题
(1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值．
【思路探究】 解答本题可先讨论斜率是否存在，然后利用两直线平行或垂直的条件求相应参数．
【自主解答】 (1)法一 当m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝，两直线不平行；
当m＋1≠0，即m≠－1时，两直线方程化为斜截式为l1：y＝－x－，l2：y＝－x＋.
由l1∥l2知两直线斜率相等，截距不相等，
所以
由①得m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，经验证均适合②式，故m的值为2或－3.
法二 l1中A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，
l2中A2＝m，B2＝3，C2＝－2，
若l1∥l2，则有或，
即或，
解得或，
∴m的值为2或－3.
(2)法一 当a＝1时，
l1：x＝3，l2：y＝，∴l1⊥l2；
当a＝－时，
l1：y＝x＋，l2：x＝－，
∴l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠－时，k1＝，k2＝，
由于l1⊥l2，则×＝－1，
解得a＝－3.
综上可知，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.
法二 l1中，A1＝a，B1＝1－a，
l2中，A2＝a－1，B2＝2a＋3.
若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0，
即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3，∴a的值为－3或1.
规律方法
1．由l1∥l2，利用k1和k2求参数的值时，应首先考虑斜率是否存在，当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．
2．由l1⊥l2利用k1k2＝－1时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0.
备选变式
已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O为坐标原点)；
(2)∠MPN是直角．
【解】 设P(x，0)，
(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴MO∥PN，
∴kOM＝kNP，
又kOM＝＝1，kNP＝＝.
∴＝1，解得x＝7，即P(7，0)．
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴kMP·kNP＝－1，∵kMP＝，kNP＝，
∴×＝－1，解得x＝1或x＝6.
∴P(1，0)或(6，0)．
●三维目标
1．知识与技能
(1)学会用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
(2)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．
2．过程与方法
通过用解方程组的方法求两直线交点，使学生掌握用代数方法解决与直线有关的问题．
3．情感、态度与价值观
培养解析几何意识，实现平面几何问题向代数方法的转变．
●重点难点
重点：用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
难点：方程组的解和两直线交点坐标的对应关系，可通过如下表格理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系：
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
点A的坐标是方程组的解
●教学建议
教学时对方程组可结合例题给出下面结论：(1)若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标．
(2)若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行，这样对学生而言适当降低了要求，更加实效．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，使学生了解求两相交直线的交点坐标的理论依据 通过例1及变式训练，使学生掌握求两直线交点坐标的具体方法 通过例2及互动探究，使学生掌握由两直线交点求直线方程的两种基本方法 通过例3及变式训练，使学生掌握直线系方程过定点的求解方法 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点)．2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系(难点).
知识1
两直线的交点
【问题导思】
若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？
【提示】
两条直线相交与方程组解的关系
已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；
l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，
则.
(2)若两直线方程组成的方程组
有唯一解，则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0)．因此，求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.
类型1
求两直线交点坐标
例1 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；
(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；
(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
【思路探究】 首先判断是否相交，若相交解方程组即可求出交点坐标．
【自主解答】 (1)解方程组得
所以交点坐标为(2，1)，
所以l1与l2相交．
(2)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
规律方法
1．本题通过方程组解的个数的情况来说明两直线的位置关系，但不能明确垂直关系．
2．一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．
变式训练
直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为________．
【解析】 由解得
故两直线的交点坐标为(－4，3)．
【答案】 (－4，3)
类型2
由交点求直线方程
例2 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
【思路探究】 求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解．
【自主解答】 法一 由方程组
得
∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝3，
∴根据点斜式有y－(－)＝3[x－(－)]．
即所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
法二 ∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，
∴＝≠，
解得λ＝.
从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
规律方法
1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．
2．经过两直线交点的直线系方程
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.
互动探究
将本例中的条件改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．”
【解】 法一 解方程组得
即交点P(－5，2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，
∴所求直线的斜率是.
故所求直线的方程是y－2＝(x＋5)，即3x－2y＋19＝0.
法二 设所求直线方程是3x－2y＋m＝0.
解方程组，得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19.故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法三 设所求直线的方程为(2x＋y＋8)＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0(
)，∵所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，∴－＝，解得λ＝－，把λ＝－代入(
)式得所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
类型3
直线过定点问题
例3 求证：无论k取何值时，直线l：
(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
【思路探究】 本题主要考查过两直线交点的直线系方程的应用，关键是把方程形式整理为直线系方程形式．
【自主解答】 法一 令k＝1，得到直线l1：x＝1，
令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0，
由
得l1与l2交点M(1，－1)，
把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，
∴无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1)．
法二 由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1)，
因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)；
当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1)．
综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
法三 方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为
k(x－y－2)＋(x＋y)＝0
由
可得点.
显然使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立
∴无论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
规律方法
1．法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系．
2．处理动直线过定点问题的常用的方法：(1)将直线方程化为点斜式；(2)化为过两条直线的交点的直线系方程；(3)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；(4)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立．
变式训练
求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
【证明】 法一 取m＝1，直线为y＝－4；
再取m＝，直线为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得
(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.
故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二 把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数m都成立，
则必有解得
∴m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4).
直线系方程的应用
典例 (12分)求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
【思路点拨】 可把l1，l2交点的方程设为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.
【规范解答】 ∵l2不过原点2分
∴可设直线l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)6分
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝08分
将原点(0，0)代入上式解得λ＝1，10分
∴l的方程为5x＋5y＝0，
即x＋y＝0.12分
【思维启迪】 求过两已知直线交点的直线方程可采用设直线系方程的方法解决：很方便、实用．
利用交点解决问题，一般有两种思路：一是解出交点坐标，应用交点坐标；一是利用直线系，过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程可表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(但它不表示直线l2)；反之动直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0经过的定点就是l1与l2的交点，即方程组的解．
1．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是( )
A．y＝－x＋5 B．3x＋2y＝0
C.＋＝1
D.＋＝1
【解析】 kl＝－，又C所对应直线的斜率k＝－，∴kl≠k，从而两直线相交．
【答案】 C
2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－2，－1)
B．(－1，－2)
C．(1，2)
D．(2，1)
【解析】 由解得
【答案】 B
3．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．
【解析】 ∵直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)．
又直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)即2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0
4．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，求直线l的方程．
【解】 由方程组
得两直线的交点为(－1，2)，
其直线斜率为k＝＝－，
直线方程为y＋1＝－(x－1)，
即直线l的方程为：3x＋2y－1＝0.
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定
【解析】 ∵k1＝，k2＝－＜0，∴k1≠k2的两直线相交．
【答案】 B
2．直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：4x－3y－＝0的交点坐标为( )
A．(2，3)
B．
(，3)
C．(3，)
D．(，3)
【解析】 由得本题也可代入选项验证．
【答案】 B
3．两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2
B．a＜－2
C．a＞2
D．a＜－2或a＞2
【解析】 联立方程，得
解得由交点在第一象限，得解得a＞2.
【答案】 C
4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝( )
A．－4
B．20
C．0
D．24
【解析】 由两直线垂直得－×＝－1，∴a＝10，
将垂足代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，
再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，
∴a＋b＋c＝－4.
【答案】 A
5．已知点P(－1，0)，Q(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[－，]
D．[0，2]
【解析】 点P，Q所在直线的方程为y＝0，由得交点(，0)，由－1≤≤1，得－2≤b≤2.
【答案】 A
二、填空题
6．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
【解析】 由，得.
将(4，－2)代入ax＋2y＋8＝0，得4a＋2×(－2)＋8＝0
∴a＝－1.
【答案】 －1
7．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．
【解析】 直线y＝－x＋1交x轴于点(4，0)．
∵两条直线的交点在x轴上，
∴直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)．
∴0＝4k＋3k－2.∴k＝.
【答案】
8．若三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝________.
【解析】 因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－＝，解得a＝－1；当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－＝－，解得a＝.
【答案】 －1或
三、解答题
9．判断直线l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标．
【解】 ∵k1＝2，k2＝－，∴k1≠k2，∴l1与l2相交，
由得
∴l1与l2的交点坐标为(3，－1)．
10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．
【解】 ∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，
∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，
把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0，
∴m＝－1，
即直线AB方程为5x－4y－1＝0
由
得即B(1，1)．
同理可得C(6，0)，
∴kBC＝＝－.
∴直线BC的方程为y＝－(x－6)
即x＋5y－6＝0.
11．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
【解】 (1)由
解得
∴点P的坐标是(－2，2)．
又所求直线l与x－2y－1＝0垂直，
可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.
∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
S＝×1×2＝1.
备选例题
求直线m：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线n的方程．
【思路探究】 可转化为点的对称问题．
【自主解答】 由得交点E(3，－2)，E也在直线n上，在直线m上取A(2，0)，
设A关于l对称的点为B(x0，y0)，则
得B(，－)．
由两点式得直线n的方程为2x＋11y＋16＝0.
规律方法
1．线是点构成的集合．直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，
则l关于原点的对称直线方程是Ax＋By－C＝0；
l关于x轴的对称直线方程是Ax－By＋C＝0；
l关于y轴的对称直线方程是－Ax＋By＋C＝0；
l关于y＝x的对称直线方程是Bx＋Ay＋C＝0；
l关于y＝－x的对称直线方程是Bx＋Ay－C＝0.
备选变式
光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
【解】 设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
则
解之，得A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，
即4x－5y＋1＝0.
解方程组
得反射点P(－，－)．
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·.
即5x－4y＋2＝0.
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求点点距、点线距、两平行线距离．
(2)会根据图形建立适当的平面直角坐标系，并用解析法解决几何问题．
2.过程与方法
(1)通过公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、教学表达等基本数学思维能力．
(2)在推导过程中，渗透数形结合、转化、化归等数学思想以及特殊与一般的方法．
3．情感、态度与价值观
引导学生体验在探究问题的过程中受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
●重点难点
重点：两点间的距离公式及点到直线的距离公式．
难点：公式的推导．
●教学建议
点到直线的距离的教学情境设计
(1)教师帮助学生回忆学习过的两点间距离公式
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则|P1P2|＝把其中一个元素换成直线，提出新的问题，即已知点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，如何用x0，y0，A，B，C表示点P到直线l的距离．
(2)数形结合，分析任务，理清思路，画出框图．
学生已经有点到直线的距离的概念，即由点P0画直线l的垂线，垂足是Q，只要求两点P0与Q之间的距离．
这里体现了“化归”数学思想方法，把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 通过引导学生回答问题，进一步理解两点距离公式、点到直线距离公式 通过例1及变式训练，使学生掌握两点间距离公式的应用 通过例2及互动探究，使学生掌握点到直线距离公式的应用 通过例3及变式训练，使学生掌握用解析法证明几何问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用(重点)．2．能准确求出两平行直线间的距离．3．会用解析法证明几何问题(难点).
知识1
两点间的距离公式
【问题导思】
(1)若两点A(－5，1)，B(6，1)，它们的距离是多少呢？
(2)
若A(x1，y1)，C(x2，y1)，B(x2，y2)，能否求出|AC|，|BC|，|AB|？
【提示】 (1)|AB|＝|6－(－5)|＝11.
(2)能，|AC|＝|x2－x1||BC|＝|y2－y1|由勾股定理得|AB|＝
＝.
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式，|AB|＝.
知识2
点到直线的距离公式
【问题导思】
(1)点(x0，y0)到x轴，y轴的距离怎样用坐标表示？
(2)点(x0，y0)直线x＝a，y＝b的距离是多少？
(3)如何求点到直线的距离呢？
【提示】 (1)到x轴距离|y0|，到y轴距离是|x0|.
(2)|x0－a|，|y0－b|.
(3)转化为点点距，即过点作直线的垂线，求点与垂足的距离即可．
已知点P(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，则点P到直线l的距离公式是d＝.
类型1
两点间的距离公式
例1 已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，试求D点坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．
【思路探究】 根据两腰相等利用两点间的距离公式解决．
【自主解答】 设D点的坐标为(x，y)，若|AB|＝|CD|且AD∥BC，
则
解得或
当x＝4，y＝3时，kAB＝kCD，应舍去．∴D(2，3)．
若|BC|＝|AD|且AB∥CD，
则
解得或
当x＝4，y＝3时，kBC＝kAD，应舍去．∴D(，)．
故D点的坐标为(2，3)或(，)．
规律方法
1．本题通过一组对边相等，另一组对边平行来求解，很容易产生增解(x＝4，y＝3时，四边形ABCD为平行四边形)，也很容易遗漏其中的情形(|BC|＝|AD|，AB∥CD)．处理时，可以画出草图予以解决．
2．使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
变式训练
已知A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【解】 设所求的点为P(x，0)于是有|PA|＝＝，
|PB|＝＝，
由|PA|＝|PB|得x＝1，所以所求点为P(1，0)，且|PA|＝＝2.
类型2
点到直线的距离公式
例2 求点P(3，－2)到下列直线的距离．
(1)y＝x＋；(2)y＝1；(3)y轴．
【思路探究】 (1)先将直线化成一般式，再代入公式求值．(2)、(3)可考虑点P坐标的几何意义求解．
【自主解答】 (1)把方程y＝x＋写成一般式3x－4y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得
d＝＝.
(2)结合图形可知d＝|－2－1|＝3.
(3)结合图形可知d＝|3|＝3.
规律方法
1．在求本例中(2)、(3)时，我们仍可以使用点到直线的距离公式．
2．求点到直线的距离时首先要将直线方程化为一般式．对于点P(x0，y0)到垂直于x轴的直线x＝a或垂直于y轴的直线y＝b的距离，可直接用公式d＝|x0－a|及d＝|y0－b|求出．
互动探究
将本例中(1)中将直线方程改为x＋2y＋6＝0.
【解】 由点到直线距离公式得d＝＝.
类型3
解析法证明几何问题
例3 用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
【思路探究】 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得．
【自主解答】 分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，
则D(0，b)，又A(0，0)．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2.
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
规律方法
1．解析法证明几何问题的步骤：
(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；
(2)进行有关的代数运算；
(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．
变式训练
已知AO是△ABC边BC的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
【证明】 以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(x，y)，
由两点间距离公式得
|AB|2＝(x＋a)2＋y2，
|AC|2＝(x－a)2＋y2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2，
|AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2，
|AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
忽视斜率不存在的情况致误
典例 求经过点A(1，2)且到原点的距离等于1的直线方程．
【错解】 ∵所求直线过点A(1，2)，
∴可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
∵原点到此直线的距离为1，
∴＝1，解得k＝，
∴所求直线方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
【错因分析】 本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
【防范措施】 遇到有关直线斜率问题，当斜率不确定时，一定要考虑斜率存在与不存在两种情况．
【正解】 ①当直线过点A(1，2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0，0)到直线的距离等于1，所以满足题意．
②当直线过点A(1，2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，
又由原点到此直线距离等于1，
所以＝1，解得k＝，
所以直线方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式可以写成|P1P2|＝.
2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路
几何问题代数问题
↑
↓
几何结论代数结论
1．两点A(－1，1)，B(2，3)之间的距离为( )
A. B．13 C. D．2
【解析】 |AB|＝＝.
【答案】 A
2．点(1，1)到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．2
B.
C.
D.
【解析】 d＝＝＝.
【答案】 B
3．若点P(1，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为__________．
【解析】 由＝1，得a＝或.
【答案】 或
4．求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程．
【解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
由
＝，
解得k＝0，或k＝－.
故直线的方程为y＝1，或x＋2y＝0.
当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线l.
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A. B. C. D.
【解析】 d＝＝＝.
【答案】 D
2．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是( )
A．1
B．－3
C．1或
D．－3或
【解析】 由题意得＝4，
解得k＝－3或.
【答案】 D
3．设P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A.
B.
C.
D．2
【解析】 |OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0上的距离，d＝＝2.
【答案】 D
4．已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是( )
A．(－，)
B．(，)
C．(，－)
D．(－，－)
【解析】 当AB与x＋y＝0垂直时，AB最短，
∴AB的方程为y＝x＋1.
由，得交点坐标为B(－，)．
【答案】 A
5．过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A．4x＋y－6＝0
B．x＋4y－6＝0
C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0
D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
【解析】 ∵kAB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，
∴过点P(1，2)与AB平行的直线方程为
y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．
过点P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－(x－1)，
即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
【解析】 直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，∴|PQ|min＝3.
【答案】 3
7．已知两点A(0，m)，B(8，－5)之间的距离是17，则实数m的值为________．
【解析】 由题意得＝17，
解得m＝10或－20.
【答案】 10或－20
8．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
【解析】 由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m<0，∴m＝－4.
【答案】 －4
三、解答题
9．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
【解】 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，得k＝－，即l为5x＋12y－26＝0.
10．已知点A(0，0)，B(1，1)，C(2，－1)，求△ABC的面积．
【解】 直线AB的方程为x－y＝0，
点C到AB的距离d＝＝，
|AB|＝＝，
∴S△ABC＝|AB|d＝××＝.
11．已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF交于点G，求证：AG＝AD.
【证明】 建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2)
.
直线DE的方程为y＝2x－2，
直线CF的方程为y＝－x＋1，
由得即点G(，)．
从而|AG|＝＝2＝|AD|，
故AG＝AD.
备选例题
已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【思路探究】 (1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．
【自主解答】 (1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可知
，解得x＝2，y＝6，
∴A′点的坐标为
(2，6)．
(2)法一 在直线l′上任取一点P′(x，y)，其关于点A(－4，4)的对称点(－8－x，8－y)必在直线l上，
∴即3(－8－x)＋(8－y)－2＝0，即3x＋y＋18＝0，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
法二 由题意可知l′∥l，设l′的方程为3x＋y＋c＝0，
由题意可知＝
解得c＝18或c＝－2(舍)，
所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
规律方法
1．中心对称间点可转化为点点对称问题解决．
2．处理轴对称问题的关键是：一是转化为点关于线的对称问题；二是求对称点坐标时，注意利用中点在直线上及垂直关系建立方程组．
备选变式
直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0
D．x＋2y－1＝0
【解析】 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.