2.1.1 直线的倾斜角和斜率 同步练习2（含答案）

2.1.1
直线的倾斜角和斜率
同步练习
1．对于下列命题
①若θ是直线l的倾斜角，则0°≤θ<180°；
②任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；
③任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是(　　)．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析　正确的命题为①②.
答案　B
2．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC、AB所在直线的斜率之和为(　　)．
A．－2
B．0
C.
D．2
解析　易知kAB＝，kAC＝－，∴kAB＋kAC＝0.
答案　B
3．已知A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(　　)．
A．a＝3，b＝1
B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3
D．a＝3，b∈R且b≠1
解析　由直线AB的倾斜角是90°，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等．于是a＝3，b≠1，b∈R，故选D.
答案　D
4．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．
解析　如图所示，直线AB的倾斜角为30°或150°，其斜率为或－.
答案　30°或150°　或－
5．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
解析　由三点共线可知：kAB＝kAC
即＝
即：ab－2a－2b＝0
∴＋＝.
答案　
6．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解　αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，
αAC＝30°，αBD＝120°.
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－.
7．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)．\
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
解析　由题图可知，k1＜0，k2＞0，k3＞0，且l2比l3的倾斜角大．
∴k1＜k3＜k2.
答案　D
8．设直线l过原点，其倾斜角α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)．
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α＋45°或α－135°
解析　倾斜角的范围是[0°，180°)．因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.
而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时l1的倾斜角为α－135°(如右图)．故应选D.
答案　D
9．已知点A(3，4)，在y轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为________．
解析　设B(0，a)，kAB＝＝2，∴a＝－2.
答案　(0，－2)
10．直线xcos
α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
解析　由直线xcos
α＋y＋2＝0，
得直线的斜率为k＝－.
设直线的倾斜角为β，则tan
β＝－.
∵－1≤cos
α≤1，
∴－≤－≤，
即－≤tan
β≤，
所以β∈∪.
答案　∪
11．已知A(1，1)，B(－1，2)，若直线l：y＝kx＋1与线段AB总有公共点，求实数k的取值范围．
解　若直线l：y＝kx＋1与线段AB总有公共点，
则直线l过点P(0，1)，且夹在直线PA与PB之间，
kPA＝＝0，kPB＝＝－1，
∴直线l的斜率k的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
12．(创新拓展)一条光线从点A(－1，3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3，1)，求P点的坐标．
解　设P(x，0)，
则kPA＝＝－，
kPB＝＝，
依题意，
由光的反射定律，得kPA＝－kPB，
即＝，
解得x＝2，即P(2，0)．