2.1.1 直线的倾斜角和斜率 学案（含答案）

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2.1.1
直线的倾斜角和斜率
学案
课时目标　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．www-2-1-cnjy-com
知识梳理
1．倾斜角的概念和范围
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°．2-1-c-n-j-y
2．斜率的概念及斜率公式
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan
α
取值范围
当α＝0°时，______；当0°<α<90°时，______；且α越大，k越大；当90°<α<180°时，______；且α越大，k越大；当α＝90°时，斜率________．
过两点的直线的斜率公式
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝__________
(x1≠x2)．
作业设计
一、选择题
1．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　　)
A．a＝4，b＝0
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3
D．a＝－4，b＝3
3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)21cnjy.com
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．[0°，90°]
B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0°
D．[90°，135°]
5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k16．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是(　　)
A．mn>0
B．mn<0
C．m>0，n<0
D．m<0，n<0
二、填空题
7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．www.21-cn-jy.com
8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为____________________________________________________________________．
9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是______________．
三、解答题
10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．21世纪教育网版权所有
11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．
能力提升
12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，则，，的大小关系是
________________．
反思感悟
1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2·1·c·n·j·y
2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．
3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．【来源：21·世纪·教育·网】
答案
知识梳理
1．逆时针
2．
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan
α
取值范围
当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；且α越大，k越大；当90°<α<180°时，k<0；且α越大，k越大；当α＝90°时，斜率不存在．
过两点的直线的斜率公式
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝
(x1≠x2)．
作业设计
1．C　[①②③正确．]
2．C　[由题意，得即
解得a＝4，b＝－3．]
3．D　[因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：21教育网
当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°
＝α－135°．]
4．C　[倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．]
5．D　[由图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．
∴k16．C　[由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直线方程化为y＝－x＋，则－>0，且<0，即m>0，n<0．]21·cn·jy·com
7．30°或150°　或－
8．0
9．20°≤α<200°
解析　因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，
所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．
10．解　αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，αAC＝30°，
αBD＝120°．
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－．
11．解　设P(x,0)，
则kPA＝＝－，
kPB＝＝，
依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，
即＝，
解得x＝2，即P(2,0)．
12．解　
＝其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．
点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．21·世纪
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则kOA＝2，kOB＝．
所以得的最大值为2，最小值为．
13．>>
解析　画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
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