2.1.3 两条直线的位置关系 学案1（含答案）

2.1.3
两条直线的位置关系
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，并运用条件判断两直线是否平行或垂直．2．根据两条直线平行与垂直的条件，求参数的值．3．会求过一点且与已知直线平行或垂直的直线方程．4．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养合作交流的学习方式，激发学习兴趣.
重点：两条直线平行与垂直的条件的把握及灵活运用．难点：把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题．疑点：对于两条直线中有一条直线斜率不存在时，怎样判断平行与垂直？
预习导引
1．两条直线平行
(1)两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1∥l2.
(2)如果l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们互相平行或重合．
预习交流1
若两条直线平行，斜率一定相等吗？
提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．
预习交流2
若l1，l2是两条不同的直线，则有下列命题：
①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.
其中正确命题的个数为(　　)．
A．1
B．2
C．3
D．4
提示：C
2．两条直线垂直
设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
若
l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2.
特别地，对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以l1⊥l2.
预习交流3
利用两直线的斜率判定两直线垂直时应注意哪些问题？
提示：(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；
(2)使用时应注意l1⊥l2 k1·k2＝－1的前提条件是：l1与l2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．
预习交流4
经过点(－2，3)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为________．
提示：直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为y－3＝，即x－2y＋8＝0.
课堂合作探究
问题导学
1．两条直线平行的判定及应用
活动与探究1
直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：
2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
思路分析：分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)当l1，l2斜率都存在时，
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2，得－＝－，
解得m＝－4.
此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，
显然，l1与l2不重合，满足条件．
(2)当l1，l2斜率不存在时，
解得m＝3.
此时l1：x＝－，l2：
x＝，满足条件．
综上所述，m＝－4或m＝3.
活动与探究2
(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
(2)求过点P(3，2)且与经过点A(0，1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
思路分析：根据条件，求出已知直线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．
解：(1)方法一：已知直线的斜率为－，∵所求直线与已知直线平行，
∴它的斜率也是－.
根据点斜式，得到所求直线的方程是y＋4＝－(x－1)，
即2x＋3y＋10＝0.
方法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
∵所求直线经过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，
∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(0，1)，B(－2，－1)的直线方程为
＝，即x－y＋1＝0，
设所求直线的方程为x－y＋m＝0(m≠1)．
∵所求直线经过点P(3，2)，∴3－2＋m＝0，解得m＝－1，
∴所求直线方程为x－y－1＝0.
迁移与应用
1．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，求a的值．
解：当a＝0时，显然两直线不平行．
当a≠0时，由－＝－，得a＝6.
2．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程．
(1)A(1，2)，y＝x＋；
(2)B(2，－3)，2x＋y－5＝0.
解：(1)设所求直线方程为y＝x＋b，
由于所求直线过点A(1，2)，代入方程，得b＝，故所求直线方程为y＝x＋，即2x－3y＋4＝0.
(2)设所求直线方程为2x＋y＋λ＝0(λ≠－5)．
将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1.
因此所求直线方程为2x＋y－1＝0.
名师点津
1.判定两直线是否平行时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．
2．平行直线的求法：
(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．
2．两条直线垂直的判定及应用
活动与探究3
已知直线l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．
思路分析：已知两直线垂直，可利用k1·k2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
解：方法一：(1)当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－.
∵l1⊥l2，∴a·＝－1，即a＝1.
(2)当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直．
综上所述，a＝0或a＝1.
方法二：∵A1＝a，B1＝－1，A2＝2a－1，B2＝a，
∴由A1A2＋B1B2＝0，得a(2a－1)－a＝0，即a＝0或a＝1.
活动与探究4
直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，求直线l的方程．
思路分析：求出l的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．
解：方法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率k′＝，
由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直可得其斜率k＝－.
由直线的点斜式方程可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
方法二：设直线l的方程为－3x－2y＋D＝0，因为直线l过点(－1，2)，代入方程，得D＝1.
所以直线l的方程为－3x－2y＋1＝0，即3x＋2y－1＝0.
迁移与应用
1．已知直线l1的斜率为k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
解：当a＝0时，l1与l2不垂直．
当a≠0时，由于kAB＝＝，
由l1⊥l2，得·＝－1，得a＝1或a＝3.
2．如图，在平行四边形OABC中，点A(3，0)，点C(1，3)．
(1)求AB所在直线的方程；
(2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
解：(1)由题意知B点坐标为(4，3)，
kAB＝＝3，
∴AB所在直线的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)∵CD⊥AB，
∴kCD＝－，
∴CD所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋3y－10＝0.
名师点津
1.判断两直线垂直的方法：
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0判断；
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2k1·k2＝－1判断；
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
2．垂直直线的求法：
(1)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y＝－x＋m，然后通过待定系数法，求参数m的值；
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx－Ay＋m＝0，然后用待定系数法，求出m.
特别提醒：对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论！
当堂检测
1．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于(　　)．
A.
B．－
C.
D．－
解析：因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝.
答案：C
2．已知直线l1过A(2，3)和B(－2，6)，直线l2过点C(6，6)和D(10，3)，则l1与l2的位置关系为(　　)．
A．l1⊥l2
B．l1与l2重合
C．l1∥l2
D．以上都不对
解析：∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，
kAB＝kCD，l1：3x－4y－18＝0，l2：3x－4y－42＝0，∴l1∥l2.
答案：C
3．经过(m，3)与(2，m)的直线l与斜率为－4的直线相互垂直，则m的值为(　　)．
A．－
B．
C．－
D.
解析：由·(－4)＝－1，得m＝.
答案：D
4．过点(2，1)且与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线方程为__________．
解析：设所求直线为x－2y＋D＝0，
将(2，1)代入，得2－2＋D＝0，∴D＝0，
故所求直线方程为x－2y＝0.
答案：x－2y＝0
5．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；(2)
l1⊥l2.
解：(1)对于l1：y＝－x－，
若l1∥l2，则kl2存在．
∴y＝－x－.
∴解得a＝3.
(2)若l1⊥l2，则kl2也存在．
∴y＝－x－.
∴－×＝－1，解得a＝.