2.1.4 两条直线的交点 同步练习2（含答案）

2.1.4
两条直线的交点
同步练习
1．四条直线y＝3x，y＝x－3，x＋y－4＝0和x－4y＋11＝0的交点的个数共有
(　　)．
A．3
B．4
C．5
D．6
解析　y＝x－3与x－4y＋11＝0平行，y＝3x，x＋y－4＝0，x－4y＋11＝0交于一点．
答案　A
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是(　　)．
A．2x＋y－8＝0
B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0
D．2x－y＋8＝0
解析　首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
答案　A
3．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为(　　)．
A．－24
B．6
C．±6
D．以上答案均不对
解析　2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝，得m＝±6.
答案　C
4．已知l1过P1(0，－1)，P2(2，0)，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2的交点坐标为________．
解析　l1的方程为x－2y－2＝0，由解得
答案　
5．直线y＝kx＋3过直线2x－y＋1＝0与y＝x＋5的交点，则k的值为________．
解析　由得，交点(4，9)，
代入y＝kx＋3，得9＝4k＋3，∴k＝.
答案　
6．已知平行四边形的两边所在直线的方程为x＋y＋2＝0和3x－y＋3＝0，对角线的交点坐标为(3，4)，求其他两边所在直线的方程．
解　由得一顶点坐标为.又对角线交点坐标为(3，4)，则其相对顶点坐标为.设与x＋y＋2＝0平行的边为x＋y＋m＝0，因为该直线过点，所以m＝－16.设与3x－y＋3＝0平行的对边为3x－y＋n＝0，因该直线过点，所以n＝－13.综上，所求直线方程为x＋y－16＝0和3x－y－13＝0.
7．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)．
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
解析　由得交点A(1，1)，且可知所求直线斜率为－，排除B、C，又所求直线过点A(1，1)，故选D.
答案　D
8．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是(　　)．
A．(1，－3)
B．(3，－1)
C．(－3，1)
D．(－1，3)
解析　由得交点M(1，2)，而点M(1，2)又在直线mx＋ny＋5＝0上，
∴m＋2n＋5＝0.
对照选项，知m＝1，n＝－3.
答案　A
9．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析　由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得
故m＋n＝.
答案　
10．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
解析　直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．
答案　(－1，－2)
11．设三条直线：x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5交于一点，求k的值．
解　法一　解方程组：得
即前两条直线的交点为.
因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故
3k＋4＝5，
解得：k＝1或k＝－.
法二　过直线x－2y－1＝0与2x＋ky－3＝0的交点的直线可设为x－2y－1＋λ(2x＋ky－3)＝0(λ∈R)，
即(1＋2λ)x＋(kλ－2)y－1－3λ＝0.
由题设三条直线交于一点知，该直线与直线3kx＋4y－5＝0应重合，
即＝＝，
解得：λ＝－2，k＝1或者λ＝－，k＝－，
所以k的值为1或－.
12．(创新拓展)已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，
l2，l3三条直线能围成三角形．
解　(1)若l1，l2，l3三条直线交于一点．
显然m≠4，若m＝4，
则l1∥l2.
由得l1，l2的交点坐标为
.
代入l3的方程，得－3m·－4＝0.
解得m＝－1或m＝，
∴当m＝－1或m＝时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1∥l2，则m＝4，
若l1∥l3，则m＝－，
若l2∥l3，则m∈ .
(3)若l1∥l2∥l3，则m∈ .
综上知：当m＝－1或m＝或m＝4或m＝－时，三条直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是
m∈(－∞，－1)∪∪∪∪(4，＋∞)．