2.1.4 两条直线的交点 学案2（含答案）

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2.1.4
两条直线的交点
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.会判断给定的两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．能用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．4．熟练掌握解析几何中的对称问题.
重点：求两条相交直线的交点坐标，直线过定点、对称问题的处理方法．难点：两直线相交与二元一次方程的关系．疑点：如何解决解析几何中的对称问题？
预习导引
1．两条直线的交点
设两条不重合的直线方程为
l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
要判断它们是否平行，即看它们的斜率是否相等，如果不等，则两直线相交．求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解．21cnjy.com
预习交流
直线2x－y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标是________．
提示：(－2，－3)
2．过两直线交点的直线系
(1)经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)交点的直线系为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，m2＋n2≠0)．
当m＝1，n＝0时，方程即为l1的方程；
当m＝0，n＝1时，方程即为l2的方程．
(2)上面的直线系可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R)．但是此方程中不包括直线l2，这个参数方程形式在解题中较为常用．2·1·c·n·j·y
课堂合作探究
问题导学
1．两条直线的交点问题
活动与探究1
设三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5交于一点，求k的值．
思路分析：先求出两条直线的交点，然后代入第三条直线求出k的值．
解：解方程组得
即前两条直线的交点为.
因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此交点，故有3k·＋＝5，
解得k＝1或k＝－.
迁移与应用
试求三条直线l1：ax＋y＋1＝0.l2：x＋ay＋1＝0.l3：x＋y＋a＝0构成三角形时a满足的条件．www-2-1-cnjy-com
解：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l1，l2，l3交于一点，由
解得将l2，l3的交点(－a－1，1)代入l1的方程，解得a＝1，或a＝－2.
②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1.
当a＝1时，l1，l2重合．
③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l2，l3重合．
④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l1，l3重合．
综上，a＝1时，l1，l2，l3重合；
当a＝－1时，l1∥l2；
a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1，且a≠－2.
名师点津
1.直线的交点坐标就是其相应方程组的解．
2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数满足的条件，可以先找构不成三角形的条件，然后求其反面．21
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2．过两直线交点的直线系
活动与探究2
求过两条直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
思路分析：所求直线经过两条已知直线的交点且在两坐标轴上的截距相等，故可以求出两直线的交点坐标，再利用截距相等分直线过原点和不过原点分类讨论求解．也可以设出过交点的直线系方程，分别求出在x轴，y轴上的截距，再利用在两坐标轴上的截距相等，求待定系数．【来源：21cnj
y.co
m】
解：(方法1)由得∴P(－2，1)．
由题意知，所求直线存在斜率，
设直线l：y－1＝k(x＋2)．
令x＝0，得y＝1＋2k；
令y＝0，得x＝－2－.
由1＋2k＝－2－，得k＝－1或k＝－.
故所求直线方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.
(方法2)设所求直线方程为x＋2＋λ(2x＋y＋3)＝0，
即(1＋2λ)x＋λy＋2＋3λ＝0，(※)
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
由题意得－＝－，
得λ＝－或λ＝－1.代入(※)式得所求直线方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
迁移与应用
已知直线方程为(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
解：原方程可化为x－2y＋5＋a(2x＋3y－18)＝0，它表示过直线x－2y＋5＝0与直线2x＋3y－18＝0交点的直线系(不包括直线2x＋3y－18＝0)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得2-1-c-n-j-y
所以直线必过定点(3，4)．
名师点津
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线系A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不含直线l2，若想包括l2，则可以写成A2x＋B2y＋C2＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0的形式．【出处：21教育名师】
3．两直线位置关系的综合应用
活动与探究3
已知三角形内角A的角平分线所在的直线是l：2x＋y＋1＝0，而B(1，2)和C(－1，－1)是三角形的另外两个顶点，求顶点A的坐标．【版权所有：21教育】
思路分析：求点B关于直线l的对称点B1，再求过B1C的直线方程，B1C与l的交点就是所求点的坐标．
解：设点B关于l的对称点为B1(x1，y1)，
∴l⊥BB1.线段BB1的中点在l上，
∵kl＝－2，kBB1＝，∴＝，即x1－2y1＋3＝0.①
又BB1中点坐标是，
∴2×＋＋1＝0.②
联立①②可得B1(－3，0)．
直线B1C的方程为＝，即x＋2y＋3＝0.
解方程组得A.
迁移与应用
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则点P，P′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
∴P′坐标为(－2，7)．
(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P2(x2，y2)关于l的对称点P1(x1，y1)一定在l1上，反之亦然．www.21-cn-jy.com
∴
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，
∴l2方程为7x＋y＋22＝0.
名师点津
点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)满足条件：P，Q中点在对称轴上；直线PQ与Ax＋By＋C＝0垂直，在解决对称问题时，要抓住垂直、平分这两个关键点，从而列方程组解决问题．21世纪教育网版权所有
当堂检测
1．下列直线中，与直线2x－y＋3＝0相交的是(　　)．
A．4x－2y－6＝0
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋5
D．y＝－2x－3
答案：D
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)．
A．(3，2)
B．(2，3)
C．(－2，－3)
D．(－3，－2)
答案：B
3．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)．
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定，与m，n取值有关
解析：两条直线的斜率分别是k1＝－2，k2＝－.
∵k1·k2≠－1且k1≠k2，
∴两条直线相交但不垂直．
答案：C
4．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为__________．21教育网
解析：由得
将x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0，得4a－4＋8＝0，∴a＝－1.
答案：－1
5．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；21·cn·jy·com
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．21·世纪
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解：(1)∵
∴交点为.
∵l与直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率为－3，
∴所求方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
(2)解方程组可以得到P(0，2)．
∵l3
的斜率为，∴直线l的斜率为－，
∴l的方程为y＝－x＋2.
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