2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 同步练习1（含答案）

2.1.5
平面直角坐标系中的距离公式
同步练习
1．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)．
A.
B．2－
C.－1
D.＋1
解析　由点到直线的距离公式，
知d＝＝＝1，
∴a＝－1±，又a＞0，∴a＝－1.
答案　C
2．点P在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离等于，则P点坐标为(　)．
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1)
D．(2，1)或(－1，2)
解析　设P(x，y)，则
解得或
答案　C
3．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为
(　　)．
A.
B.
C．3
D．6
解析　|PQ|的最小值即为两平行线间的距离，d＝＝3.选C.
答案　C
4．等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5，4)，则腰长为________．
解析　|BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得腰长
|AB|＝＝2.
答案　2
5．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
解析　由题意，可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.
∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案　2x－y＋1＝0
6．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解　(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理，得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，
由点到直线的距离公式，得
＝3，
即＝3，
解得c＝1或c＝－29，
故所求直线方程3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
7．若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　)．
A．[－11，－1]
B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(6，－1]
D．[－1，＋∞)
解析　y＝－2x－k－2化为2x＋y＋k＋2＝0，
∴0＜≤，0＜|k＋6|≤5.
∴－5≤k＋6≤5，且k＋6≠0.
∴－11≤k≤－1，且k≠－6.
答案　C
8．直线l过点A(3，4)，且与点B(－3，2)的距离最远，则l的方程为(　　)．
A．3x－y－5＝0
B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0
D．3x＋y－13＝0
解析　当l⊥AB时符合要求，∵kAB＝＝，∴l的斜率为－3.
∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
答案　D
9．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)、B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．
解析　显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；
设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
由于点A、B到l的距离相等．
∴＝.
∴|1－3k|＝|3k－5|.∴1－3k＝±(3k－5)．
∴k＝1.∴l的方程为x－y－1＝0.
答案　x－y－1＝0或x＝1
10．已知实数x，y满足关系式5x＋12y－6＝0，则的最小值为________．
解析　表示直线5x＋12y－6＝0上的点到原点的距离，∴的最小值为原点到直线5x－12y－6＝0的距离，即＝.
答案　
11．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，求此点坐标．
解　设所求点的坐标为P(－3t，t)，
则点P到原点的距离为d＝＝|t|.
又P到直线x＋3y＋2＝0的距离d＝＝，
依题意有|t|＝，∴t＝±.
∴点P的坐标为或.
12．(创新拓展)△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示，用解析法证明：|AE|＝|CD|.
证明　如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，
则A(－a，0)，E，C(c，0)，
D，
于是|AE|＝
＝
＝.
|CD|＝
＝
＝.
所以|AE|＝|CD|.